1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 对一道对一道“切变变换切变变换”题的错解分析题的错解分析 题目：题目： 如图所示，四边形ABCD和四边形DCBA分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为 )2, 1(),2, 3(),2 , 3(),2 , 1(DCBA)3 , 3(),7 , 3(CB,求将四边形ABCD变成DCBA的变换矩阵M. 错解错解( (一一) )：由题意可知，该变换为切变变换，设矩阵 1 01 k M 矩阵M将)2 , 3(B变换为)7 , 3( B 7 3 2 3 1 01 k ，解得 3 5 k 1 3 5 01 M 错解错解( (二二) )：设矩阵 dc ba M
2、矩阵M将)2 , 3(B)2, 3( C变换为)7 , 3( B )3 , 3( C 7 3 2 3 dc ba ， 3 3 2 3 dc ba ，则有 323 323 723 323 dc ba dc ba 解得1, 3 5 , 0, 1dcba 1 3 5 01 M 错解分析错解分析：以上是我们解决变换问题的常用的方法，但不难发现，我们将点)2 , 1(A做矩阵M变换， 2 1 3 1 1 2 1 1 3 5 01 ，显然变换后的点并不在A处.同样)2, 1(D也是如此.可见矩阵 1 3 5 01 M并不能实现将四边形ABCD变成DCBA. 为什么会有这样的结果？让我们来回顾课本选修 4-
3、2 第 29 页有关切变变换的概念切变变换的概念. 矩阵 10 1k 把平面上点),(yxP沿x轴方向平移ky个单位，当0ky时，沿x轴正方向移动；当 0ky时，原地不动，在此变换作用下，x轴上的点为不动点轴上的点为不动点。在此，该变换称之为水平方向上的切变变切变变 换换. . 同理：竖直方向上的切变变换，在同理：竖直方向上的切变变换，在 1 01 k 的作用下，的作用下，y轴上的点为不动点。轴上的点为不动点。 下面我们来证明水平方向上的切变变换，不动点一定在x轴上. B D A B C C y x 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 设 1 01 k M)0(k的不动点为),( 00
4、yxP，则 0 0 0 0 1 01 y x y x k 00 000 yy xkyx 即0 0 ky0 0 y即点),( 00 yxP为x轴上的点. 所以水平方向上的切变变换，不动点一定在所以水平方向上的切变变换，不动点一定在x轴上轴上. .同理，我们也能证明竖直方向上的切变变换，不同理，我们也能证明竖直方向上的切变变换，不 动点一定在动点一定在y轴上轴上. .由此，切变变换都存在不动点，且不动点在由此，切变变换都存在不动点，且不动点在x轴或轴或y轴上轴上. . 现在，我们再来看本题，显然题中的不动点在线段) 11( 1yx，上并不符合课本中定义的切 变变换，那么如何求解此变换呢？ 其实我们
5、可以通过将图形整体平移使得不动点都在x轴或y轴上，再进行求解. 解：解：设在四边形ABCD上任取一点),(yxP，向右移1个单位得点), 1(yx 四边形DCBA上与P相对应点为),(yxP，也向右平移1个单位得点), 1(yx， 因此平移之后，可看成竖直方向的切变变换，设 1 01 k M 则 y x y x k 11 1 01 将)7 , 3(),2 , 3(BB代入左式得 4 5 k 1 4 5 01 M该变换为:T y x y x y x1 1 4 5 01 11 所以若此类变换是不动点在直线所以若此类变换是不动点在直线mx 上的竖直方向上的切变变换，设变换前任意一点为上的竖直方向上的切变变换，设变换前任意一点为),(yx，变，变 换后对应点为换后对应点为),(yx，有，有 y mx ky mx y mx 1 01 同理不动点在直线同理不动点在直线ny 上的水平方向上的切变变换上的水平方向上的切变变换 有有 ny xk ny x ny x 10 1 因此，我们在求解切变变换类型的问题时应分清不动点的位置，然后运用相应的变换. 以上是我们对切变变换的一点思考，不足之处恳请指正！
