1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 集合中的创新型问题集合中的创新型问题 集合是整个高中数学最基础的知识点之一，集合中的创新型问题也成了高考热点；以集合内容为背景 即时设计一个陌生的问题情景，给出一个新的概念、运算、法则，要求学生在理解新概念、新运算、新法 则的基础上去解决问题，此类题的关键是理解新定义、新运算、新法则等。 新定义类： 例 1 设 A 是整数集的一个非空子集， 对于 kA,如果Ak1且Ak1那么 k 是 A 的一个 “孤立元” ， 给定 S=1,2,3,4,5,6,7,8由 S 中的 3 个元素构成的所有集合中不含“孤立元”的集合共有几个，并一一 列举出来， 分析：理解新
2、定义“孤立元”就是一个元素没有相邻元素，而无“孤立元”是指每一个元素都有相邻 元素。 解：依题意得， “孤立元”K 必须是没有与 K 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与 K 相邻 的元素，故符合题意的集合为： 1,2,3 ， 2,3,4 3，4,5 ， 4,5,6 ， 5,6,7 ， 6,7,8共 6 个。 评注：此题关键是理解新定义“孤立元”,从中找到做题突破口。 练习：1.若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中则称此集合对该运算是 封闭的，集合 M 由正整数的平方组成，即 M=1,4,9,16,25 ，那么 M 对下列运算封闭的是() (A) 加法(B) 减
3、法(C)(C)乘法(D)除法 2.若对任意 aM,都有-aM， 就称集合 M(M)是一个 “对称集合” ， 已知集合 U=R， A= xx-1 ,B= xx1,则下列集合是“对称集合”的是（） (A) AB(B) AB(C)(C)BA CU )(D)BA CC UU )( 新运算类： 例 2，设 M,P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集 为：M-P=xxM 且 xP则 M-(M-P)=_ (A) P(B) M (C) MP(D) MP 分析：这是集合创新题，“M-P”是同学们在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的 属性来解题。 解：剖析理解新运算差集 M-P=xxM 且 xP
4、 ，即元素属于被减集合而不属于减集合，结合维恩 图可知 M-(M-P)所指应为两集合的公共部分，即 MP，所以选 C 评注：此题易错选 A，因为 M-(M-P)可去括号化简得 P，错误原因就是对差集运算定义理解不足。 练习： 1.(2010 年广东（文）)在集合a,b,c,d上定义两种运算和如下 那么 d(ac)=() (A)(A).a(B).b(C).c(D).d 2.定义集合 A 与 B 的运算： AB=x|xA， 或 xB， 且 xBA， 已知集合 A=1， 2， 3， 4， B=3， M M-P P 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 4，5，6，7，则(AB)B 为() （A）
5、1，2，3，4，5，6，7（B B）1，2，3，4 （C）1，2（D）3，4，5，6，7 新法则类： 例 3.若集合 A1，A2满足 A1A2=A，则称(A1，A2)为集合 A 的一种分拆，并规定：当且仅当 A1=A2时， (A1，A2)与(A2，A1)为集合的同一种分拆，则集合 A=a1，a2，a3的不同分拆种数是() （A）27（B）26（C）9（D）8 分析：要理解拆分法则，并注意当且仅当 A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合的同一种分拆的细节问题。 解：考虑元素 a1有 3 种情形：a1A1，a1A2，a1A1，a1A2，a1A1，a1A2同理，元素 a2， a3也都有
6、3 种情况，故共有 333=27 种不同分拆种数。 评注:本题考查了阅读和理解能力,关键是对新法则分拆的理解，并注意其细节规定问题。 练习：1.设数集 M=XmX m 4 3 ，N=Xn- 3 1 Xn ，且 M，N 都是集合x|0 x1的子 集，如果把 b-a 叫做集合x|axb的“长度”，那么集合 MN 的“长度”的最小值是() （A） 3 1 （B） 3 2 （C C） 12 1 （D） 12 5 2.设 I=1，2，3，4，A 与 B 是 I 的子集，若 AB=1，3，则称(A，B)为一个“理想配集”.那么符 合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”)() （A）4（B）8（C C）9(D)16
