1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 利用几何画板探索轨迹的教学利用几何画板探索轨迹的教学 研究性学习一得研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科 学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或 问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解 决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强 调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲 求体验式、活
2、动化。 下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。 教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个 问题：怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子： 如图 1，过椭圆1 2 2 2 2 b y a x (0ba)的左焦点 F1作弦 AB。现在来研究焦点弦 AB 有关的问题。 轨迹轨迹 1 1过原点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。 图 1图 2 几何画板演示：拖动主动点 A 在椭圆上转动或制作点 A 在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点 M，得到点 M 的轨迹是一个小圆。如图 2 “怎样求出
3、这个小圆的方程？” 学生：按一般思路，假设弦 AB 所在直线的斜率为 k，则 AB 的垂线的斜率为 k 1 ，列出这两条直线的 方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数 k 就得到点 M 的轨迹方程。哇！好复杂。 学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。 教师： “你为什么不动手做？” 学生： “我在想这个轨迹是一个圆，而且是以 OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。 噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法： 因为 OMAB ，所以|OM| 2 +|F1M| 2 = |OF1| 2
4、，若设点 M 的坐标为(x ，y)，点 F 1的坐标为(c，0)，则 x 2 + y 2 + (xc) 2 + y 2 = c 2，即 222 ) 2 () 2 ( c y c x。这就是所求的轨迹方程。 ” “啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。 马上又有一个学生说： “大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点 F1 的坐标有 关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点 O 与 F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹 方程。 这当然很容易解得。 ” 教师： “很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几 何条件，寻找动点与不动点之间的
5、几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问 题改变一下： 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 轨迹轨迹 2 2如图 3，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。 ” “猜猜看，点 P 的轨迹是什么？” 不少学生已经利用几何画板演示了出来： 几何画板演示：拖动主动点 A，得到点 P 的轨迹是 一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OF1即 半焦距 2 c 。如图 4。 “真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。 “怎样求这个小椭圆的方程？” 教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生图 3 对这类问题无从下手。 教师： “根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该
6、点的坐标为(x，y)，因此 先设 P 点坐标为(x，y)。要建立点 P 的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点 A(x1，y1)、B(x2， y2)、P、F1，其中点 F1是定点，A、B、P 都是动点，但点 A 是主动点，引起点 P 运动的原因是由于点 A 在椭 圆上运动。因此要找到点 P 与 A、B、F 这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。 ” “点 P 与 A、B 两点的坐标的关系怎样？” 学生： “根据中点坐标公式得到 2 21 xx x ， 2 21 yy y 。 ” “如何将 A、B、P、F1这四点的坐标联系起来？” “利用直线的斜率。 ” “直线 AB 的斜率
7、怎样表示？” “有 21 21 xx yy k ，还有 cx y k 。 ” “如何得到 21 21 xx yy ？” “” “A、B 两点在哪？满足什么方程？”图 4 “在椭圆上。满足 222 1 22 1 2 bayaxb， 222 2 22 2 2 bayaxb。 ” “知道怎样求 21 21 xx yy 了吗？” 学生很快得到下列解法(经过整理)： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 22 bac，则 2 21 xx x ， 2 21 yy y ， 因为点 A、B 都在椭圆上，则 222 1 22 1 2 bayaxb， 222 2 22 2 2 bayaxb， 两
8、式相减得0)()( 2121 2 2121 2 yyyyaxxxxb， 于是有 cx y k ya xb yy xx a b xx yy 2 2 21 21 2 2 21 21 ， 化简得1 ) 2 () 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 a bc y c c x ，此即为所求的轨迹方程。 教师： “以上解法是很典型的。这里设点 A、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用 A、B 的坐标进行 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。 还有其它解法没有？” 一学生： “因为直线 AB 经过点 F1，可以设直
9、线 AB 的方程为 y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出 A、B 两点的坐标” 另一学生： “不必解出 A、B 的坐标，将直线 AB 的方程为 y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程 的两根就是点 A、B 的横坐标 x1，x2，正好可以利用韦达定理得到 2 21 xx x ， 2 21 yy y ，将点 A、B 的 横坐标都表示为直线 AB 的斜率 k 的函数，消去参数 k 就行了。 ” 教师： “很好。请同学们将解法写出来。 ” 以下是学生的另一种解法(经整理)： 解法二：假设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，代入椭圆方程1 2 2 2 2
10、b y a x 得 02)( 22222222222 bakcaxckaxkab 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则 222 22 21 2kab ckaxx x ， )2 2 ( 2 )2( 2 1 2 )()( 2 222 22 21 2121 c kab ckak cxxk cxkcxkyy y = 222 2 kab ckb ，由得 ya xb k 2 2 ，代入 y=k(x+c)得)( 2 2 cx ya xb y， 整理得1 ) 2 () 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 a bc y c c x ，即为所求的方程。 学生： “我改变原椭圆的长轴或短轴的长，
11、所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然 十分相似 ，也不知有没有必然的联系？” 学生： “ 2 ) 2 ( c 与 2 ) 2 ( a bc 的比例正好等于 22 :ba，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们 的形状相同。 ” 教师： “很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。 刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据 这个椭圆及弦 AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。 ” 学生们立即投入到探索中。 一位学生： 轨迹轨迹 3 3“在弦 AB 上任意取一点 Q，跟踪点 Q，动画哇！怎么点 Q
12、的轨迹是这样的？” 不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦 AB 上任取一点 Q，跟踪点 Q，拖动主动点 A，取到如下几何图形(如图 57 所示)： 图5 图6 图 7 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 “呀！这是什么图形？” “怎么会有这样的图形？” “自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。 ” “该给这个轨迹起个什么名字呢？” 学生们发出惊叹。 拖动点 Q，发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点 Q 接近中点 P 时，点 Q 的轨迹图形接近于中点 P 的轨迹 小椭圆(如图 6)，而当点 Q 接近于点 A 或 B 时，轨迹图形就接近于大
13、椭圆(如图 7)。 轨迹轨迹 4 4“老师，我发现，如果将弦 AB 的两端 A、B 分别与椭圆长轴两个端点 A1、A2连起来，则这两 条直线 A2A 与 A1B 的交点 C 好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫起来。 “老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点 C 的 轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。 ” 教师： “试试看吧。 ” 采取常规方法“交轨法”求解： 设直线 AA2、BA1的方程分别为 y = k1(xa)，y = k2(x+a)， 将 AA2的方程代入椭圆方程整理得 02)( 222 1 42 1 3222 1 2 bakaxk
14、axbka, 此方程的两根是 A、A2 的横坐标 x1与 a， 故可求得 A(x1，y1)点坐标为 ) 2 ,( 22 1 2 1 2 22 1 2 22 1 3 bka kab bka abka A ,图 8 同理可求得 B(x2，y2)点坐标为) 2 ,( 22 2 2 2 2 22 2 2 22 2 3 bka kab bka abka B 。 由 A、F1、B 三点共线可得 11 BFAF kk，即 cx y cx y 2 2 1 1 ， 将 A、B 两点坐标代入并整理得 a 2(a+c)k 1 2k 2+ a 2(c-a)k 1k2 2 + b 2(a+c)k 1+ b 2(c-a)
15、k 2= 0， 将 ax y k 1 ， ax y k 2 代入上式得 0)()()()()()( 2222222 axaxacbaxaxcabyacaycaa， 分解因式得0)()( 222222 baxbyaaxacaxca， 因为直线 AA2、BA1的交点在椭圆外，所以0 222222 bayaxb， 故0)()(axacaxca，即 c a x 2 。 即为直线 AA2、BA1的交点的轨迹方程， 而这就是椭圆的准线方程。 “同样的道理，直线 A2B 与 A1A 的交点 D 也在准线上。 ” “老师，不管 C、D 两点在左准线上怎 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 样运动，CF1
16、D 是一个定值 90。如图 9 所 示。 ”又一个学生发现了一个结论。同学们利 用上个问题的解决方法，很快证明了出来。 教师： “很高兴看到你们能探索出这么多图 9 结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什 么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。 ” 轨迹轨迹 5 5“老师，如图 10 作OAB 的重心 G，其轨迹也是一个椭圆 。 ”一位学生说。 (以下是学生课后提供的解答过程： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)， AB 中点为 M(x0，y0)，则 210 2xxx， 210 2yyy， 3 21 xx x ， 3 21 yy y ， 0 3 2
17、xx ， 0 3 2 yy ， 由 222 1 22 1 2 bayaxb， 222 2 22 2 2 bayaxb， 得 ya xb yy xx a b xx yy 2 2 21 21 2 2 21 21 ， 此即为直线 AB 的斜率 k，图 10 又 cx y cx y cx y k 3 2 2 3 2 3 0 0 ， cx y ya xb 3 2 2 2 ， 整理得 0) 3 2 ( 2222 yacxxb.故OAB 重心 G 的轨迹方程为：1 ) 3 () 3 ( ) 3 ( 2 2 2 2 a bc y c c x 。) 下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线： 轨迹轨迹 6 6“OA
18、B 的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图 11 所示)。 ” 轨迹轨迹 7 7 “OAB 的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图 12 所示)。 ” 图11 图 12 轨迹轨迹8 8 “OAB 的外心的 轨迹是一条反 形状的曲线(如图 13 所示)。 ” 轨迹轨迹 9 9 “OAB 中，过点 A 作 OB 的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 14 所示)。 ” 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 图 13图 14 轨迹轨迹 1010 “老师，如图 15 作ABF2的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ” (以下是学生课后的解答：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，则由 F2(c
19、，0)与 G(x，y)可得 AB 中点 M 的坐标为) 2 3 , 2 3 (y cx ， 因为 ya xb yy xx a b xx yy 2 2 21 21 2 2 21 21 ， 所以 ccx y ya xb )3( 2 1 2 3 2 2 ， 整理得 3 22 2222 cb yaxb，即 1 9 3 2 22 2 2 2 a cb y c x 。 此即为ABF2的重心 G 的轨迹方程。)图 15 又是几条奇妙的曲线： 轨迹轨迹 1111 “ABF2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图 16 所示)。 ” 轨迹轨迹 1212 “ABF2的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图 17 所示
20、)。 ” 轨迹轨迹 1313 “ABF2的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图 18 所示)。 ” 轨迹轨迹 1414 “ABF2中，过点 A 作 BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 19 所示)。 ” 图 16图 17 图18 图 19 轨迹轨迹 15151818 “延长 AF2交椭圆于另一点 C，联 BF2，ABC 的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 不知名的曲线(如图 2023 所示)。 ” 图 20图 21 图 22图 23 “老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲 线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线 与抛物线中是不是也具有相似的
21、结论？” “问得好。同学们探讨一下这位同学提出的 问题。 ” 以下是学生经过探索得出下面的结论(限于 篇幅，本文略去解题过程)： 轨迹轨迹 1919如图 24，过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的右焦点 F2作弦 AB，则弦 AB 的中点 M 的轨图 24 迹是以 OF2为实轴即实半轴长为 2 c 的双曲线， 其方程为1 ) 2 () 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 a bc y c c x ，其解答过程与 椭圆相似，这里略去。并且此双曲线与原双曲 线的离心率相同。若在弦 AB 上任取一点 P， 则点 P 的轨迹图形如图 2526，并且当点 P图 25 接近中点 M 时，P 点轨
22、迹接近中点 M 的轨迹 双曲线；当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点 轨迹接近原双曲线。 轨迹轨迹 2020如图 27，OAB 的重心 G 的轨 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 迹是一双曲线，其方程为1 ) 3 () 3 ( ) 3 ( 2 2 2 2 a bc y c c x 。 轨迹轨迹 2121如图 28，ABF1的重心的轨迹是 一双曲线，其方程为1 9 3 2 22 2 2 2 a cb y c x 图 26 图 27图 28 轨迹轨迹 2121如图 28，ABF1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为1 9 3 2 22 2 2 2 a cb y c x 。 轨迹轨迹 222
23、2如图 29，过抛物线pxy2 2 的焦点 F 作弦 AB，则弦 AB 的中点 M 的轨迹是以 F 为顶点的抛 物线，其方程为) 2 ( 2 p xpy. 图 29图 30图 31 如图 3031，若在弦 AB 上任取一点 P，则点 P 的轨迹并且当点 P 接近中点 M 时，P 点轨迹接近中点 M 的轨迹抛物线，当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点轨迹接近原抛物线 轨迹轨迹 2323 如图 32，OAB 的重心 G 的轨迹是一条抛物线，其方程为) 3 ( 3 4 2 p xpy。 轨迹轨迹 2424 如图 33，K 是抛物线的准线与 x 轴的交点，KAB 的重心的轨迹是一条抛物 图 32图
24、33 图 34 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 线，其方程为) 6 ( 3 4 2 p xpy。 如图 34，通过探索还可得到抛物线有关的一些性质： 如 以 AB 为直径的圆与准线相切； 连接 OA、OB 两条直线，分别交抛物线的准线于 M、N 两点，则MFN= 90,并且 AM、BN 都垂直于准 线。 教师： “今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实 验室，同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题，找到了主动点与被动 点之间的关系，问题就不难解。 下面的这个问题，同学们课后去加以研究，下周将你们研究的结果展示出来： 问题如图 35
25、所示，过椭圆的左顶点 A1作两条互相垂直的弦 A1A、A1B。对于弦 AB 提出一些问题并 加以解决。例如： 弦 AB 是否经过一个定点； 弦 AB 上中点的轨迹问题； 过 A1或 O 点作弦 AB 的垂线，垂足的轨迹问题； A1AB 的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题； A2AB 的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题 更一般的问题： 如果在椭圆上取其它点 M，过点 M 作两条互相垂直的弦 MA、MB。对弦 AB 提出一些问题并加以解决。 同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。 有关结果在下周展示出来。 ” 课后对学生进行了调查。以下是一些 学生的感受： “今天这堂课收获很大。以往很多想
26、不通的知其然而不知其所以然问题， 通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。 ” “今天这堂课真有意思。通过几何画 板这个工具，不仅掌握了如何研究问题，图 35 同时也知道了如何去发现问题。 ” “通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。 ” “我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训 练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的产生过程。 ” 记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过，在数学方面的研究性学习，不必将问题搞得太大，可 以让学生 对某个小问题进行讨论，进行深入的研究。因此，研究性学习重在探索过程，注重知
27、识的产生过 程，改变学生在教室里等老师教知识，学生在课堂上被动接受知识的学习方式；教会学生学会学习，学会 寻找解决问题所需的信息、资料、数据并不断提高思维能力，进一步增强主体意识；引导学生学会利用多 种方法思考问题，尝试用相关学科知识分析和解决问题；引导学生在亲身体验成功与失败、发现与创造中 初步获得科学研究的一般方法；培养学生的团队精神与合作意识。总之，研究性学习强调：开放性、自主 性、实践性、探索性。 参考书目： 1.几何画板在数学教学中的应用 ，忻重义、万福永编著； 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 2.利用几何画板教解析几何 ，陶维林编著； 3.几何画板范例教程 ，陶维林编著。
