1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 平面向量在解题中的应用平面向量在解题中的应用 向量作为一种重要的解题工具，一直是高考的热点和重点内容，向量的基础性和工具性一直备受关 注本文通过一些例子来谈谈平面向量在解题中的应用 一、用向量证明垂直一、用向量证明垂直 例例 1 1过抛物线)0(2 2 ppxy的焦点F的直线与抛物线相交于、A B两点，自、A B向准线作垂 线，垂足分别为、C D，求证： 90CFD 证明：证明：显然)0 , 2 ( p F，同时设、A B两点的纵坐标分别为 21, y y，则 2 21 pyy ), 2 ( 1 y p C ，), 2 ( 2 y p D ，),( 1
2、 ypFC，),( 2 ypFD FC0 22 21 2 ppyypFDFCFDFCFD，即 90CFD 说明说明：用向量垂直的充要条件处理解析几何中的垂直问题，可以化繁为简，使知识前后联系，融汇贯 通，从而提高解题质量 二、用向量证明三点共线二、用向量证明三点共线 例例 2 2在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，N是BD上一点，BDBN 3 1 求证：M、N、 C三点共线 证明：证明：设ADa a，ABb b，则BDABMN 3 1 2 1 2 1 b b 3 1 a a 3 1 b b2( 6 1 a ab b) 又BCMBMC 2 1 b ba a2( 2 1 a ab b)， MN
3、MC3MCMN， M、N、C三点共线 说明：说明：充分利用三点共线和两个向量共线（平行）的关系 三、用向量证明不等式三、用向量证明不等式 例例 3 3试证不等式：)()( 22222 dcbabdac 证明：证明：设向量),(baOA ，),(dcOB ， 22 |baOA， 22 |dcOB，则cdacOBOA 又 222 |)(OBOAOBOA， )()( 22222 dcbabdac 说明：说明：本题结论亦称柯西不等式等号只有在向量OA、OB共线时成立 四、用向量证明等式四、用向量证明等式 例例 4 4试证：sinsincoscos)cos( 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 证
4、明：证明：设向量)sin,(cosAB，)sin,(cosCD， sinsincoscosCDAB 设向量AB与CD的夹角为，则)cos(cos 由 | cos CDAB CDAB sinsincoscos， 即得sinsincoscos)cos( 例例 5 5已知111 22 abba，求证：1 22 ba 证明：证明：设向量)1,( 2 aaAB，CD),1( 2 bb，且设向量AB与CD的夹角为， 1cos|CDABCDAB 又1| CDAB， 1cos，即0 ABCD， 2 1ba，即1 22 ba 说明：说明：本题中可把已知条件看作两向量的数量积的坐标表示，由此构造出向量)1,( 2
5、 aaAB， CD),1( 2 bb是解决本题的关键，本题也可以利用恒等变形或三角代换等证法，但都不及引入向量， 然后运用向量的数量积证明简便 五、用向量求最值五、用向量求最值 例例 6 6求函数xxxf65)(的最大值及相应的x的值 解：设向量a a1 ,5，b bxx6,， 则)(xfa ab b|a a|b|b|6615， 当且仅当b b=ka a)0(k时取等号， 1 6 5 xx ， 5x时， xf有最大值为 6 例例 7 7求函数xxxxfcossinsin2)(的最大值 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 解：解：xxxxxxf2sin2cos1cossin2sin2)( 2 ， 设向量a a1, 1，b bxx2cos,2sin， 则)(xfa ab b1|a a|b|b|121， 函数xxxxfcossinsin2)(的最大值为12 说明：说明：利用a ab=b=|a a|b|b|cos|a a|b|b|，恰当设置向量，联想数量积的结构形式，求和式 的最值较为方便
