1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例谈转化与化归思想的应用例谈转化与化归思想的应用 在日常教学中，常遇到一些问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题 转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化 的思想方法”.比较常见的表现形式有：陌生与熟悉的转化，复杂与简单的转化、变量与常量的转化、数与 形的转化、函数与方程的转化、空间与平面的转化、正与反的转化、抽象与具体的转化等等.下面就一些题 目谈谈一些处理策略. 1陌生与熟悉的转化陌生与熟悉的转化 例例 1已知, 321 bcad bdac m dc dc m ba ba
2、 m 求证： 321321 mmmmmm. 解 析 ：解 析 ： 原 条 件 可 化 为, 1 , 1 1 , 1 1 321 a b c d ac bd m c d c d m a b a b m 令tan,tan c d a b 则 ), 4 tan(), 4 tan( 21 mm )tan( 1 tantan tantan1 3 m ) 2 tan( ，因为 ) 2 () 4 () 4 (， 所以 ) 2 (tan) 4 () 4 (tan 即 2 tan( ) 4 () 4 (1 ) 4 () 4 tan( ),整理得) 4 tan() 2 tan() 4 tan() 4 tan( )
3、 4 tan( ), 2 tan( 所以 321321 mmmmmm成立. 点评点评将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.本题巧妙的 将陌生的的分式经过整理变形，转化为熟悉的两角和差正切公式来解决. 2复杂与简单的转化复杂与简单的转化 例例 2已知函数xxy111 2 ，求函数的定义域，并证明是单调递减函数. 解析：解析：由 , 01 , 01 2 x x 得11x，所以函数的定义域为1 , 1. 设, 0,cosx，)(x是单调递减函数. 则cos1sin1y 2 cos)21 ( 2 sin ， 由于 2 cos)21 ( , 2 sin 在, 0均为
4、单调函数，由复合函数的单调性知：函数xxy111 2 在1 , 1上是单调递减函数. 点评点评：本题函数形式较复杂，直接化简较难，通过引入三角进行换元，将复杂函数转化为简单的函数 形式.但在引入参数角时，还需跟上合适的范围以便求解. 3变量与常量的转化变量与常量的转化 例例 3 3 对于满足40 p的一切实数，不等式34 2 pxpxx恒成立，试求x的取值范围 解析解析： 习惯上把x当作自变量， 记函数pxpxy3)4( 2 ， 于是问题转化为： 当4 , 0p时， 0y恒成立，求x的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可 想而知，这是相当复杂的 设函数)34(
5、) 1()( 2 xxpxpf，显然1x，则)(pf是p的一次函数，要使0)(pf恒成 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 )3 , 2(A P )3, 2( C ) 1 , 6(B x y O 立，当且仅当0)0(f，且0)4(f时，解得x的取值范围是), 3() 1,( 点评点评本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次 函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位， 我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况 下是正确的.但在某些特定条件下，此路往
6、往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使 问题迎刃而解. 4空间与平面的转化空间与平面的转化 例例 4 如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥ABCP . （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形APPP 321 ，如图（b）所示.求证： 侧棱ACPB ； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中2,PBACPA，求侧面PAC与底面ABC所成角； 解析解析： （1） 在 平 面 图 中 BPAP 21 ， CPBP 22 . 故三棱锥中， PAPB ，PCPB ，且PPCPAPB平面 PAC，ACPB . （2）由（1）在三棱锥中作ACPD 于D，连结BD.
7、ACPB ,ACPD 且PPDPBACBD ，PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连 3 BP得 ACBP 3 ，作 3 CPAE 于E，得4 21 PPAE.设xACPA， 则xAPACAP 31 ，由 32 CPCP， 3 EPCE 3 x 22 4x， 3 EP=2. 故22 3 CP,24 32 PP，由AECPDPAC 33 得 3 8 3 DP，又 3 BP 6 2 32 2 2 PPBP，所以 3 10 BD. 在PDB中， 5 4 cosPDB，侧面 PAC 与底面ABC所 成的角的大小为 5 4 arccos. 点评点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转
8、化，有关空间角的计算往往是转化 为平面内的角来求解. 5数与形的转化数与形的转化 例例5求函数3712134)( 22 xxxxxf的最小值. 解析：解析：3712134)( 22 xxxxxf 22 )30()2(x 22 ) 10()6(x，设)0 ,(),1 , 6(,3 , 2xPBA，则上述问 题转化为求PBPA 的最小值，如图点A关于x轴的对称 点为)3, 2( C,因为 BCPBPCPBPA24, 所以)(xf的最小值为24. 点评点评本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点 距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把
9、代数问题转化为几何问题. 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 6方程与函数的转化方程与函数的转化 例例 6若关于x的方程02sin42cosaxax在区间, 0上有两个不同的解，则实数a的取值 范围是. 解析：解析：2sin4sin212sin42cos 2 axaxaxax 1sin4sin2 2 axax 令xtsin，1 , 0t，则原题转化为方程0142 2 aatt在1 , 0上有两个根. 令142)( 2 aatttf，由二次函数图象可知： 1 4 4 0 0) 1 ( 0)0( 0 a f f 解得： 5 3 2 1 a 点评点评本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名
10、，三角函数转化为代数问题，二是方程的问 题转化为函数的问题. 7正与反的转化正与反的转化 例例 7给定实数a，0a且1a，设函数 1 1 ax x y（其中xR R且 a x 1 ） ，证明：经过这个函数 图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴 证明证明：设 111 , yxM、 222 , yxM是函数图象上任意两个不同的点，则 21 xx 假设直线 21M M平 行于x轴，则必有 21 yy ，即 1 1 1 1 2 2 1 1 ax x ax x ，整理得 2121 xxxxa 由 21 xx ，得1a，这与已知条件“1a”矛盾，因此假设不成立，即直线 21M M不平行于x轴 点评点评该
11、题正面求证很困难，但通过找出反面的矛盾，从而证明原命题的正确.本题中“不平行”的 否定是“平行” ，通过假设“直线平行” ，然后得出矛盾，从而推翻假设 8抽象与具体的转化抽象与具体的转化 例例 8设)(xf定 于 在 实 数 集R上 ， 当0 x时 ，1)(xf， 且 对 于 任 意 实 数yx,都 有 )()()(yfxfyxf，同时2) 1 (f，解不等式4)3( 2 xxf. 解析解析：由)()()(yfxfyxf中取, 0 yx得 2 )0()0(ff，若0)0(f，则令0, 0yx， 则0)(xf与0 x时，1)(xf矛盾.所以1)0(f. 当0 x时，01)(xf，当0 x时，0
12、x，01)(xf，而1)()(xfxf所以 0 )( 1 )( xf xf又因1)0(f，所以0)(,xfRx，设Rxx 21, 且 21 xx 则1)(, 0 1212 xxfxx，)()( 12 xfxf)()( 1121 xfxxxf )()()( 1121 xfxxfxf01)()( 121 xxfxf所以)(xfy 在R上为单调增函数.又因 2) 1 (f，所以)2() 11 () 1 () 1 ()3( 2 ffffxxf.由)(xf得单调性可得23 2 xx，解得 21 x. 点评点评由于指数函数有类似)()()(yfxfyxf的性质 yxyx aaa ，所以猜想模型函数为 ) 1, 0()(aaaxf x ，由) 11 ()2(ff4) 1 () 1 ( ff，则将不等式化为)2()3( 2 fxxf，只 需证明)(xf的单调性即可. 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 数学中的转化比比皆是，但实质都是揭示内在联系，实现转化.除极简单的数学问题外，几乎每个数学 问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲， 解决数学问题就是从未知向已知转化的过 程，但还应注意转化中的等价性，即转化前后必须是等价的、合理的.
