1、高观点下圆锥曲线一组性质的统一 曾建国 （ 赣南师范学院数学与计算机科学学院 ） 文 得到与圆锥曲线极点和极线有关的一 个“ 等角定理” 命题若（，） （） 为椭圆（ 或双曲线） 内一点， 直线 （ 非轴） 过点 ， （） 且与椭 圆 （ ） （ 或双曲线 （ ，） ） 交于不同的两点， 则直线 ， 与轴所成的角（ 锐角） 相等 命题若（，） 为抛物线内一点， 直线 过点（，） ， 且与抛物线 （ ） 交于不同的两点， 则直线 ， 与轴所 成的角相等 文 、 、 各自得到与圆锥曲线相关的 “ 等差定理” 命题直线 过点（，） （） 且与椭圆 （ ） （ 或双曲线 （，） ） 交于不同的两点，
2、点 ， （） 是极线 上的任意一点， 则直线 、 、 的斜率成等差数列 命题 直线 过点（，） （） ， 且与 抛物线 （ ） 交于不同的两点， ， 点 （，） 是极线 上任意一点， 则 直 线 、 、 的斜率成等差数列 文 不仅得到上面的定理和定理， 还得 到有关直线斜率的倒数成等差数列的许多定理和 推论， 这 里 只 列 出 椭 圆 中 的 一 个， 其 余 结 论 都 类似 命题直线 过点（，） （，） 且与椭圆 （ ） 交于不同的两点 ， ， 点 是直线 上的任意一点， 则直线 、 、 的斜率的倒数成等差数列 经笔者研究发现， 上述性质密切相关， 它们都 可以看作二次曲线（ 也包括圆）
3、 下述性质的各种特 例（ 参看图） 定理在直角坐标平面内， 设是不在二 次曲线上的一点， 直线是点的极线，是 直线上任一点， 过点的直线交于两点、 ， 设直线 、 、 和直线的斜率依次为 ，和， 则有（ ） （） （ ） （） 为了证明这个统一的性质， 需要用到高等几 何的简单知识 线束的交比在直角坐标系中， 若直线， ，的斜率依次为， 则四直线的交 比为 （ ， ）（，）（ ） （） （ ） （） 引理（ 完全四线形的调和性） 通过完全四线 形的每个顶点有一个调和线束（ 四直线的交比等 于 ） ， 其中一对线偶是过此点的两边； 另一对线 偶， 一条是对顶边， 另一条是这个顶点与对顶三线 形的
4、顶点的连线 例如， 图中， 有（ ，）等 图 数学通报 年第 卷第期 图 二次曲线极线的作图： 如图，为不在二次 曲线上的点， 过点引两条割线依次交于四 点、， 连接、 交于， 连接 、 交于 ， 则 为点的极线若为二次 曲线上的点， 过点的切线即为点的极线 图 由上面的作图可知， 为点的极线， 为点的极线，称为自极三角形 上述内容详见于文 或 高等几何 课本 定理证明 如图， 设 ， 分别交二次 曲线于， 可以证明：、三点共线 事实上， 假设 交于 ， 连 与直线 交于点 ， 根据二次曲线极线的作图可知， 在点的极线上， 表明 就是 ， 则 就是 ， 也即、三点共线 同理可知， 与 的交点在
5、上 根据引理及线束交比的定义知， （ ，）（，） （ ） （） （ ） （） 证毕 下面说 明 前 文 所 述 诸 命 题 均 为 定 理的 特例 在定理中， 若极线垂直于轴， 则 ， 此时交比为 （ ，）（） （ （ ） 为简比 ） 即有 ， 即直线 、 、 的斜 率成等差数列这就是命题和命题 在定理中， 若极线平行于轴， 则 ， 此 时交比为 （ ） （ ） （ ） （） ， 即有 ， 即直线 、 、 的斜率的倒数成等差数 列 这就是命题（ 包括文 的其他结论） 命题、 命题分别是命题、 命题的特例， 这里仅以椭圆的情形加以说明 根据定理， 命题中无需限制， 可改为结论仍成立即有： 命题直
6、线 过点（，） （） 且与椭圆 （ ） 交于不同的两点 ， ， 点 ， （） 是极线 上的任意一点， 则 直线 、 、 的斜率成等差数列 在命题中， 当时， 点（，） 在椭圆 外， 极线 与椭圆相交取为极线上 特殊点 ， （） （ 如图） ， 根据命题知， 直线 、 、 的斜率成等差数列即有但 此时 的斜率， 所以有 表明： 直线 ， 与轴所成的角（ 锐角） 相等 这正是命题的结论 图 本文定理内涵丰富， 考察其特例， 还可以得 到许多新命题 肯定也能从中编拟出一些圆锥曲 线试题 参考文献 俞永锋与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角定理 数 学通讯， ， （ 下半月） （ 下转第 页） 年第 卷
7、第期 数学通报 书书书 一个无理不等式的修正 姜坤崇 （ 上海市宝山区宝林路宝林六村 号 室 ） 笔者拜读了文献 ， 受益匪浅， 同时发现文 中给出的一个无理不等式有误， 这个不等式是： 深化设，是正 实数， 求证： （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ）（ ） （） （ ） （） 由于证明中将恒等式 （ ） （ ） 误 写为 （ ） （ ） ， 因此不等式（ ） 应 修正为 设，是正实数， 求证： （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ）（ ） （） （ ） （） 证明实施配方变形， 得 （ ） （ ） ， 于是， 可构造复数 槡 （ ） 槡 （ ），
8、槡 （ ） 槡 （ ）， 槡 （ ） 槡 （ ） 易算得 （ ） （ ） （ ） 从而， 不等式 （ ） 的 左 边 （ ） （） （ ） （ ） （） （ ） ， 故不等式（ ） 成立 文 中的问题及推论也分别应修正为 （ 在（） 式中分别令、 的结论） ： 设，是正实数， 则 （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ） 设，是正实数， 则 （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ） （ ） （ 槡 ）（ ） 参考文献 安振平一类无理不等式的深入探究 数学通报， ， ： ， （ 上接第 页） 张留杰， 李慧 圆锥曲线的一个性质的证明与推广中学数 学（ 高中版） ， ， 俞永锋与圆锥曲线极点和极线有关的一个统一等差定理 数学通讯， ， （ 下半月） 舒金根 圆锥曲线中的等差数列数学通讯， ， （ 下半 月） 王兴华漫谈圆锥曲线的极点与极线 两高考试题的统一 背景与解法中学数学教学， ， 朱德祥 高等几何 北京： 高等教育出版社， 数学通报 年第 卷第期
