1、圆锥曲线中一个面积比的定值性质的推广 干 志 华 （ 上海市金山中学， ） 文给出了圆锥曲线中一个关于三角形面积 之比为定值的新性质， 椭圆的情形如下： 性质如图， 椭圆 （ ） 的 弦 经过左焦点 ， 点 ，处的切线相交于， 是椭圆的右顶点， 直线 ， 交左准线于， 则 （ ）为的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 （为离心率） 图 在众多研究圆锥曲线性质的文献中， 有关面积 之比为定值的性质并不多见上述优美性质立即引 起了笔者探究的兴趣借用超级画板的动态功能， 笔者发现该性质还可将焦点推广到长轴上的其它 点， 进一步甚至可以推广到椭圆内的任意点（ 椭圆中 心除外） ， 面积
2、之比依然为定值 以椭圆为例， 我们有如下结论： 定理设（，） （） 为椭圆 （ ） 长轴上一定点， 是椭圆的右顶 点， 过点的动直线与椭圆交于，两点， 点， 处的切线相交于， 直线 ， 分别交直线： 于点， ， 则 （ ）为线段的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 定理如图， 设 （，） （ 非坐标原点）为 椭圆 （ ） 内一定点， 直线 与 椭圆交于点， 过点的动直线与椭圆交于，两 点， 点，处的切线相交于， 直线 ， 分别交 直线： 于点 ， ， 则 （ ）为线段的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 槡 图 定理是定理的特例， 限于篇幅， 本文将直接 证明更
3、具普遍性的定理 几个引理 若沿用文 的证明思路， 计算量将非常大， 因 此笔者希望尽可能挖掘定理中所蕴含的几何本质， 借助几何性质简化计算证明过程中， 需要用到下 面这些引理 引理 过定 点（， ）的两条 动直线 ， 分别与圆锥曲线相交于，设 ， 相交于点， ， 相交于点 ， 则 （ ）当圆锥曲线为椭圆 （ 数学通讯 年第期（ 下半月） 专论荟萃 ） ， 且（，） 不为坐标原点时， 点，的轨迹都 是定直线 ； （ ）当圆锥曲线为双曲线 （ ， ） ， 且（，）不为坐标原点时， 点，的轨 迹都是定直线 ； （ ）当圆锥曲线为抛物线 （ ） ， 且 （，）不为坐标原点时， 点，的轨迹都是定 直线（
4、） 我们称直线是点关于圆锥曲线的极线， 点 为直线关于圆锥曲线的极点 因此， 定理中的直线： 即为点 （，）关于椭圆 （ ） 的极线 极线与极点有许多有趣的性质， 详细介绍请参 考文 、 、 引理 如图， 过点 作直线 ， 与圆 锥曲线分别交于，和， 直线 ， 交于点 ， 圆锥曲线在点，处的切线交于点 ， 则 ， 三点共线 引理（ 牛顿线 ） 四边形两对角线中点、 两 组对边交点连线的中点， 三点共线 引理设点，在直线上的射影为， 的中点在直线上的射影为 ， 则 （ ）当，在直线的同侧时， ； （ ）当，在直线的异侧时， 图图 引理如图， 已知直线 ： 是点 （，） （ 非坐标原点） 关于椭圆
5、 （ ）的极线， 椭圆上一点处的切线与极线交于 点 过 作平行于 的直线与过所作平行于 的直线交于点 ， 则 ，三点共线 证明设点的坐标为（， ） ， 则切线 的 方程为 又点在直线： 上， 故点的坐 标适合方程 ， 即点在过坐标 原点的直线 上 此外， 由直线 平行 ， 得直线 的方程为 又直线 平行于， 故直线 的方程为 从而， 两直线 ， 的交点的坐标也适合方 程 ， 即点也在直线 上 从而， ，三点共线 定理的证明 对于（ ） ， 我们的证明思路是： 先证明两切线的 交点在极线上， 后证明直线 经过弦 的中 点， 再得到为线段的中点 如图， 设点 ，的坐标分别为（，） ， （， ） ，
6、 则切线 ， 的方程分别为 ， 又设 ， 的交点的坐标为（， ） ， 则 ， ， 从而直线 的 方程为 将（，）代入， 得 ， 即（， ） 适合方程 ， 故点在直线 上 专论荟萃 数学通讯 年第期（ 下半月） 记 的中点为（ ， ） 由 ， ， 两式相减， 得 （ ） （） （ ） （） ， 从而 ， 即 又 ， 故 ， 从而， 直线 经过 的中点 如图， 设直线 与椭圆的另一个交点为， 与直线的交点为， 则由极线的性质可知， 三点共线， ，三点共线 从而， 在四边形 中，分别是对角线 ， 的中点， 由引理得，为对边交点，连 线的中点， 即为线段的中点 对于（ ） ， 我们的证明思路是： 借助
7、几何性质， 将 面积之比转化为线段长度之比 图图 设点，在直线上的射影为， ， 则 由引理 ， 得 （ ） 设点，在直线 上的射影分别为， 直线 与 交于点 ， 则 如图， 过 作椭圆的切线， 与切线 交于点 ， 由引理 ， 得 ，三点共线 设 （） ， 则点的坐标为（ ， ） ， 切线 的方程为 ， 从而 过作平行于 的直线与过所作平行于 的直线交于点， 由引理得，三点共线 过点作 交 于 ， 则 ， 且四边形 为平行四边形， 从而 ， 于是 将（ ， ）代入椭圆方程， 得 ， 即 设 ， 则点的坐标为（ ， ） ， 代入 极线的方程， 得 ， 即 ， 从 而 于是 槡 定理得证 事实上，
8、根据极线的性质（ 文 ， 定理） ， 当点 关于圆锥曲线的极线为时， 过点任作一割线交 圆锥曲线于， ， 交 于， 则有 因此， 点，具有对称性， 如在定理中， 若为椭 圆的左顶点， 结论亦不变 类比到双曲线 类比椭圆的情形， 我们可以得到双曲线的相关 结论然而， 过点的动直线与双曲线的两交点， 可能位于双曲线的同一支上， 也可能位于双曲线 的不同支上， 由引理， 视，两点在直线的同侧 与异侧， 会有不同的结论 定理 设（，） （ ）为双曲线 数学通讯 年第期（ 下半月） 专论荟萃 （ ，） 内一定点，是双曲线的右顶 点， 过点的动直线与双曲线交于，两点， 点， 处的切线相交于， 直线 ， 分
9、别交直线： 于点， ， 则 （ ）为线段的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 （ ）当，两 点 在 双 曲 线 上 的 同 一 支 时， ； （ ）当，两 点 分 别 在 双 曲 线 两 支 上 时， 定理设（，） 为双曲线 （ ， ）内一定点， 直线 与双曲线交于点， 过 点的动直线与双曲线交于，两点， 点，处的 切线相交于， 直线 ， 分别交直线： 于点， ， 则 （ ）为线段的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 （ ）当，两 点 在 双 曲 线 上 的 同 一 支 时， 槡 ； （ ）当，两 点 分 别 在 双 曲 线 两 支 上 时， 槡 证明过程同样可
10、以类比椭圆情形得到， 不再赘述 类比到抛物线 椭圆情形下， 过点的弦 为椭圆的直径 对于抛物线， 其直径平行于抛物线的对称轴， 故交点 可视为无穷远点， 从而直线 ， 也平行于抛 物线的对称轴我们有相应的结论： 定理 设（，） 为抛物线 （） 内一定点， 过点的动直线与抛物线交于，两 点， 点，处的切线相交于， 直线 ， 分别平 行于轴且交直线：于点， ， 则 （ ）为线段的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 定理 设（，）为抛物线 （ ） 内一定点， 过点的动直线与抛物线交于，两 点， 点，处的切线相交于， 直线 ， 分别平 行于轴且交直线： （）于点， ， 则 （ ）为线段
11、的中点； （ ）记 ， ， 的面积分别为 ， ， 则 图 证明如图 ，设，两点的坐标分别为 （ ， ） ， （ ， ） （） ， 则切线 的方 程为 （ ） ， 即 同理， 切线 的方程为 联立 ， 烅 烄 烆 ， 解得 ， （ 烅 烄 烆 ） ， 即交点为（ ，（） ） 由，三点共线， 得 化简后整理得 （）（）（ ） 因为 ， 故 （） 从而，（ ，（） ）适合直线的方程 （） ， 即点在直线上 设 的中点为， 则点的坐标为（ （ ） ，（） ） ， 从而， 轴， 进而 ， 故 为线段的中点， 且 同定理的证明过程， 得 ， 因 此 专论荟萃 数学通讯 年第期（ 下半月） 参考文献： 杨雨
12、融关于圆锥曲线焦点弦端点处切线的一 个新性质 中学数学研究 （ 华南师范大学 版） ， （） （ 上） ： 于先金圆锥曲线定点弦与定直线相关性的推 广 河北理科教学研究， （） ： 冯克勤射影几何趣谈上海： 上海教育出 版社， 梅向明等高等几何（ 第三版） 北京： 高等 教育出版社， ， 王文彬极点、 极线与圆锥曲线试题的命制 数学通讯（ 上半月） ， （） ： 封底 沈康身历史数学名题赏析上海： 上海教 育出版社， （ 收稿日期： ） 蕴涵于数学高考中的几个“ 阿波罗尼斯问题” 虞关寿潘建伟 （ 浙江省绍兴鲁迅中学， ） 阿波罗尼斯是古希腊数学家， 与欧几里得、 阿 基米德齐名， 他的代表作
13、 圆锥曲线论是一部经典 巨著， 对圆锥曲线进行了系统全面的研究， 其中一些 研究成果常常出现在我们日常的数学教学和各级各 类考试中， 比如在数学高考中比较多出现的阿波罗 尼斯圆 本文例举几个在近几年各地高考试题、 竞赛 试题与自主招生试题中出现的阿波罗尼斯问题， 感 悟阿波罗尼斯问题在中学几何中的地位 一、 阿波罗尼斯圆 设，为两定点， 且 ， 动点满足 （） ， 则动点的轨迹是一个圆， 这个轨迹最先 由阿波罗尼斯发现， 通常称之为阿波罗尼斯圆 如图 ， 为直径， 显然有 若 为 圆的切 线，则 ，阿 波 罗 尼 斯 圆 的 直 径 图 例（ 年江苏高考）在 中， 已知 ， 槡 ， 则 的面积的最大值是 解因为 ， 槡 ， 所以， 点的 轨迹是个阿波罗尼斯圆，且该圆的直径为 槡 （槡） 槡 ，即 半 径 槡 所 以， （ ） 槡 槡 例 （ 年杭州二模）已知 ， 是不共 线的非零向量， 设 ， 定义 点集 当 ， 时， 若对于任意的， 不等式 恒成立， 则实数的最小值为 解因为 ， 所以，三点 共线，因 为 ，所 以 为 的平分线， 所以 ， 即 的轨 迹是阿波罗尼斯圆， 且该圆的直径为 因为， 所以 数学通讯 年第期（ 下半月） 专论荟萃
