1、函数的应用多选题函数的应用多选题 1一般地，若函数 f x 的定义域为 , a b，值域为,ka kb，则称为 的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为 , a b，值域也为, a b，则称 , a b为 f x的“跟随区间”.下列结论正确的是（） A若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间，则2b B函数 1 1f x x 存在跟随区间 C若函数 1f xmx 存在跟随区间，则 1 ,0 4 m D二次函数 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间” 2下列命题正确的有（） A已知 0,0ab 且1ab，则 1 22 2 a b B3412 ab ，则 2 ab ab C 32 3yxx
2、x的极大值和极小值的和为6 D过 ( 1,0)A 的直线与函数 3 yxx有三个交点，则该直线斜率的 取值范围是 1 (,2)(2,) 4 3已知函数 2 1,0 log,0 kxx f x x x ，下列是关于函数 1yffx 的 零点个数的判断，其中正确的是（） A当0k 时，有 3 个零点B当k0时，有 2 个零点 C当0k 时，有 4 个零点D当k0时，有 1 个零点 4已知函数 21,01 ( ) (1) 1,1 x x f x f xx ，方程 0f xx 在区间 0,2n ( * nN)上的所有根的和为 n b，则（ ） A 20202019f B 20202020f 欢迎关注微
3、信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 2 页 共 47 页 C 211 22 nn n b D (1) 2 n n n b 5把方程 | | 1 4 x x y y 表示的曲线作为函数 yf x 的图象，则下 列结论正确的有（） A函数 f x 的图象不经过第三象限 B函数 f x 在 R 上单调递增 C函数 f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1 D函数 2g xf xx 不存在零点 6已知函数 5 2 log1,1 22,1 xx f x xx ，则方程 1 2fxa x 的实根 个数可能为（） A8B7C6D5 7已知当0 x 时， 2 ( )2
4、4f xxx ；0 x 时(2)yf x，以下结论 正确的是（） A f x 在区间 6, 4 上是增函数； B 220212ff ； C函数 yf x 周期函数，且最小正周期为 2； D 若方程 ( )1f xkx 恰有 3 个实根， 则 1 42 2 2 k 或2 24k ； 8 已知函数 2222 ( )4()() xx f xxxmm ee 有唯一零点， 则m的值 可能为（） A1B1C2D2 9已知函数 2 21,0 log1,0 x x f x xx ，则方程 22 210fxfxa 的 根的个数可能为（） A2B6C5D4 10已知函数 2,0 ( ) (1),0 x x emx
5、m x f x exx （e 为自然对数的底） ，若 ( )( )()F xf xfx=+- 且 ( )F x 有四个零点，则实数 m 的取值可以为 （） A1BeC2eD3e 11已知函数 2 2 ,0 ( ) (2),0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是（） A ( 3)(2019)3ff B f x 在区间 4,5上是增函数 C若方程 ( ) 1f xk x 恰有 3 个实根，则 11 , 24 k D若函数 ( )yf xb 在( ,4) 上有 6 个零点 (1,2,3,4,5,6) i x i ，则 6 1 ii i x f x 的取值范围是 0,6 12已知函数 3x
6、 f xex ，则以下结论正确的是() A f x 在R上单调递增B 1 2 5 log 2lnffef C方程 1f x 有实数解D存在实数k，使得方程 f xkx有4个实数解 13已知函数 2 2 21,0 21,0 xxx f x xxx ,则下列判断正确的是（） A fx 为奇函数 B对任意 1 x, 2 xR ,则有 1212 0 xxf xf x C对任意xR,则有 2f xfx D 若函数 yfxmx 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 ,04, 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 4 页 共 47 页 14若函数 1 ( )()
7、 2 f xa ln x 与函数 2 ( )g xx有四个不同的交点，则 实数a的取值可以是（） A14B16C 2 4eD 4 e 15设函数 2 ln0 2 ax f xax a e ，若 f x 有 4 个零点，则 a 的可 能取值为（） A 1 2 B1C 3 2 D2 16 已知函数( ) 2 xx ee f x ，( ) 2 xx ee g x ， 则 ( )f x ，( ) g x 满足 （） A ()( )fxf x ， ()( )gxg x B ( 2)(3)ff ， ( 2)(3)gg C (2 )2 ( ) ( )fxf x g x D 22 ( ) ( )1f xg x
8、 17已知直线 2yx 分别与函数 x ye和lnyx的图象交于点 1122 ,A x yB x y ，则下列结论正确的是() A 12 2xx B 12 2 xx eee C 1221 lnln0 xxxx D 12 2 e x x 18 已知 111 ln20 xxy ，22 22ln260 xy ， 记 22 1212 ()()Mxxyy ， 则（） AM的最小值为 16 5 B当M最小时， 2 14 5 x CM的最小值为 4 5 D当M最小时 2 12 5 x 19已知函数 1 ( ) x x f x e ，当实数m取确定的某个值时，方程 2( ) ( ) 10fxmf x 的根的个
9、数可以是（） A0 个B1 个C2 个D4 个 20已知函数 2 1,0 log,0 kxx f x x x ，下列是关于函数 1yff x 的 零点个数的判断，其中正确的是（） A当0k 时，有 3 个零点B当k0时，有 2 个零点 C当0k 时，有 4 个零点D当k0时，有 1 个零点 21 般地,若函数 f x 的定义域为 , a b,值域为,ka kb,则称, a b为 f x的“k倍跟随区间”;特别地,若函数 f x的定义域为, a b,值域 也为 , a b,则称, a b为 f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是() A若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间,则3b B函
10、数 3 2fx x 不存在跟随区间 C若函数 1f xmx 存在跟随区间,则 1 ,0 4 m D二次函数 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间” 22已知函数 32 fxxaxbxc ，下列结论中正确的是（） A 0 xR ， 0 0f x B若 f x 有极大值 M，极小值 m，则必有Mm C若0 x是 f x 极小值点，则 f x 在区间 0 ,x 上单调递减 D若 0 0fx ，则0 x是 f x 的极值点 23设函数 ln,0 1 ,0 x x x f x exx ，若函数 g xf xb 有三个零， 则实数b可取的值可能是 () A0B 1 2 C1D2 24在数学中，布劳
11、威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的 不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的 基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔 （L.E. J. Brouwer） ，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 6 页 共 47 页 f x，存在一个点 0 x，使得 00 f xx ，那么我们称该函数为“不动 点”函数，下列为“不动点”函数的是（） A 2xfxx B 2 3g xxx C 2 21,1 2,1 xx f x x x D 1 fxx x 25 下列选项中a的范围能使得关于x的不等式
12、 2 20 xxa 至少 有一个负数解的是（） A 9 ,0 4 B 2,3 C() 1,2 D() 0,1 26已知函数 2 ln,0 ,0 x x f x xmx x 和 g xa （aR且为常数） ，则 下列结论正确的是（） A当4a 时，存在实数m，使得关于x的方程 f xg x 有四个 不同的实数根 B存在 3,4m ，使得关于x的方程 f xg x 有三个不同的实数 根 C当0 x 时，若函数 2 h xfxbf xc 恰有3个不同的零点 1 x、 2 x、 3 x，则 123 1x x x D 当 4m 时， 且关于x的方程 f xg x 有四个不同的实数根 1 x、 2 x、
13、3 x、 4 x 1234 xxxx ，若 f x 在 2 34 ,xx 上的最大值为ln4，则 1234 221xxxx 27已知实数 a，b 满足等式 11 32 ab ，则下列五个关系式中可能成 立的是（） A0 1ba B10ab C1abD10ba E.ab 28已知函数 11,0, 2 ,0. xx f x f xx 则以下结论正确的是（） A 20200f B方程 1 1 4 fxx有三个实根 C当 4,6x 时， 51f xx D若函数 yf xt 在 ,6 上有 8 个零点 1,2,3,8 i x i ，则 8 1 ii i x f x 的取值范围为 16,0 29已知函数
14、2 logf xx ，下列四个命题正确的是（） A函数 fx 为偶函数 B若 f af b ，其中0a ，0b ，a b ，则1ab C函数 2 2fxx 在 1,3上为单调递增函数 D若01a，则 11fafa 30关于x的方程 2 | |0axxa 有四个不同的实数解，则实数a的 值可能是（） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 31 （多选）设函数 ( )|f xx xbxc ，给出如下命题，其中正确的 是（） A0c =时， ( )yf x 是奇函数 B0b ，0c 时，方程 ( )f x =0 只有一个实数根 C ( )yf x 的图像关于点(0, ) c对称 D方程 (
15、 )f x =0 最多有两个实根 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 8 页 共 47 页 E.方程 ( )f x =0 在(0, )上一定有根 32设 f x 是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等的实数12 ,x x， 使得 12 12 22 fxfxxx f ，则称函数 f x 具有性质 P，那么下 列函数中，具有性质 P 的函数为（） 1 ,0 0,0 x f xx x ； 2 1f xx ； 3 f xxx ； 2 x f x ABCD 33设函数 2 ln0 2 ax f xax a e ，若 f x 有 4 个零点，则a的可 能取值有（
16、） A1B2C3D4 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 9 页 共 47 页 参考答案参考答案，仅供参考，仅供参考 1ABCD 【分析】根据“k倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值 范围逐个判断即可. 【解析】对 A, 若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间,因为 2 22f xxx 在区间 1,b为增函数,故其值域为 2 1,22bb ,根据题 意有 2 22bbb,解得1b 或2b ,因为1b 故2b .故 A 正确； 对 B,因为函数 1 1f x x 在区间 ,0 与 0,+ 上均为减函数,故若 1 1f x x 存在跟随区
17、间 , a b则有 1 1+ 1 1+ a b b a ,解得： 15 2 15 2 a b . 故存在, B 正确. 对C, 若函数 1f xmx 存在跟随区间 , a b,因为 1f xmx为 减函数,故由跟随区间的定义可知 1 11 1 bma abab amb ,ab 即 1+111abababab ,因为ab,所以 1+11ab . 易得0111ab . 所以 111ambma ,令1ta代入化简可得 2 0ttm ,同 理1tb也满足 2 0ttm ,即 2 0ttm 在区间 0,1上有两根不相等 的实数根. 故 140 0 m m ,解得 1 ,0 4 m ,故 C 正确. 欢迎
18、关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 10 页 共 47 页 对 D,若 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间”,则可设定义域为 , a b,值域 为 3 ,3a b.当1ab 时,易得 2 1 2 f xxx 在区间上单调递增,此时易 得 , a b为方程 2 1 3 2 xxx 的两根,求解得0 x 或4x .故存在定义域 4,0,使得值域为12,0. 故 D 正确. 故选：ABCD. 【点评】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数 的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解 析式列式求解.属于难题. 2ACD 【
19、分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b 的范围；利用指对数 互化，结合对数的运算法求 ab ab ；利用导数确定零点关系，结合原函 数式计算极值之和即可；由直线与 3 yxx有三个交点，即可知 2 ( )h xxxk有两个零点且1x 不是其零点即可求斜率范围. 【解析】A 选项，由条件知1ba 且01a，所以 21( 1,1)aba ， 即 1 22 2 a b ； B 选项，3412 ab 有 3 log12a ， 4 log12b ，而 1212 11 2(log 3log 4)2 ab abab ； C 选项， 2 361yxx 中 且开口向上，所以存在两个零点 12 ,x x且
20、12 2xx 、 12 1 3 x x ，即12 ,x x为y两个极值点， 所以 22 1212121 2121 212 ()()3 3()2 ()6yyxxxxx xxxx xxx； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 11 页 共 47 页 D 选项，令直线为 (1)yk x 与 3 yxx有三个交点，即 2 ( )()(1)g xxxkx有三个零点，所以 2 ( )h xxxk有两个零点即可 140 ( 1)20 k hk ，解得 1 (,2)(2,) 4 k 故选：ACD 【点评】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极 值，由函数
21、交点情况求参数范围，属于难题. 3CD 【分析】令 y0 得 1ff x ，利用换元法将函数分解为 f（x）t 和 f（t）1，作出函数 f（x）的图象，利用数形结合即可得到结 论 【解析】令 10yffx ，得 1ff x ，设 f（x）t，则方程 1ff x 等价为 f（t）1， 若 k0，作出函数 f（x）的图象如图：f（t）1， 此时方程 f（t）1 有两个根其中 t20，0t11，由 f（x） t20，此时 x 有两解， 由 f（x）t1（0，1）知此时 x 有两解，此时共有 4 个解， 即函数 yff（x）+1 有 4 个零点 若 k0，作出函数 f（x）的图象如图：f（t）1，此
22、时方 程 f（t）1 有一个根 t1，其中 0t11， 由 f（x）t1（0，1） ，此时 x 只有 1 个解，即函数 yff（x）+1 有 1 个零点 故选：CD 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 12 页 共 47 页 【点评】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断， 利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题 4BC 【分析】 先推导出 f x 在 * ,1n nnN 上的解析式， 然后画出 f x 与 yx 的图象，得出 f xx 时，所有交点的横坐标，然后得出 n b. 【解析】因为当 0,1x 时， 21 x f x ，所以
23、当 1,2x 时， 10,1x ， 则 1 121 x fx ，故 11 1121 12 xx fxfx ， 即 10,1x 时， 10,1x ， 1 2xf x 同理当 2,3x 时， 11,2x ， 2 1121 x f xf x ； 当 3,4x 时， 12,3x ，则 3 1122 x f xf x ； 故当 ,1xn n 时， 21 x n fxn ， 当 21,2 nn x 时， 21 222 n x n fx . 所以 20202020f ，故 B 正确； 作出 f x 与y x 的图象如图所示，则当 0f xx 且 0,2n 时，x的值 分别为： 0,1,2,3,4,5,6,2
24、n 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 13 页 共 47 页 则 1211 221 0 122222122 2 nn nnnnn n b ，故 C 正确. 故选：BC. 【点评】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每 一段上的解析式并找到其规律是关键. 5ACD 【分析】根据函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可 判定 A 准确，B 不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判 定 C 正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定 D 正确. 【解析】由题意，方程 | | 1 4 x x y y ， 当 0,0 xy
25、 时， 2 2 1 4 x y，表示椭圆在第一象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，表示双曲线在第四象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y ，表示双曲线在第二象限的部分； 当 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，此时不成立，舍去， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 14 页 共 47 页 其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以 A 是正 确的； 由函数的图象可得，该函数在R为单调递减函数，所以 B 不正确； 由图象可得，函数 f x 的图象上的点P到原点的距离的最小的点在 0,0 x
26、y 的图象上， 设点 ( , )P x y ，则点P满足 0,0 xy 时， 2 2 1 4 x y，即 2 2 1 4 x y 则 2 2 222 3 11 44 POx x xyx，当0 x 时， min 1PO ，所以 C 正确； 令 0g x ，可得 20f xx ，即 1 2 f xx ， 则函数 2g xf xx 的零点，即为函数 yf x 与 1 2 yx 的交点， 又由直线 1 2 yx 为双曲线 2 2 1 4 x y和 2 2 1 4 x y 渐近线， 所以直线 1 2 yx 与函数 yf x 没有交点， 即函数 2g xf xx 不存 在零点， 所以 D 是正确的. 故选
27、：ACD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 15 页 共 47 页 【点评】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零 点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合 性强，属于中档试题. 6ABC 【分析】以 1f x 的特殊情形为突破口，解出1x 或3或 4 5 或4，将 1 2x x 看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【解析】由基本不等式可得 1 20 x x 或 1 24x x ， 作出函数 5 2 log1,1 22,1 xx f x xx 的图像，如下： 当2a 时， 1 224x x 或 1 021x
28、x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为4； 当2a 时， 1 224x x 或 1 021x x 或 1 22x x ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 16 页 共 47 页 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为6； 当1 2a 时， 1 2424x x 或 1 021x x 或 1 122x x 或 1 223x x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为8； 当 1a 时， 1 24x x 或 1 021x x 或 1 21x x 或 1 23x x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为7； 当01a时， 1 42
29、0 x x 或 1 324x x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为2； 当0a 时， 1 20 x x 或 1 324x x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为3； 当 0a 时， 1 23x x ， 故方程 1 2fxa x 的实数根个数为2； 故选：ABC 【点评】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类 讨论的思想，属于难题. 7BD 【分析】利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的 周期性及函数的单调性， 重点理解函数周期性的应用， 是解题的关键， D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同 欢迎关注微信公众号（QQ
30、群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 17 页 共 47 页 一图像中分别研究两个函数， 临界条件是直线与函数 f x 相切，结合 图像将问题简单化. 【解析】对于 A，0 x 时 (2)yf x ， 即 f x 在区间 6, 4 上的单调性与 f x 在区间 0,2上单调性一致， 所以 f x 在 6, 5 上是增函数，在 5, 4 上是减函数，故 A 错误； 对于 B，当0 x 时， 2( )f xf x ， 2 2 =22 24 2=0ff ， 20211 =1+2 =1 =2+42ffff，故 B 正确； 对于 C，当0 x 时， 2( )f xf x ， 当0 x 时，
31、 f x 不是周期函数，故 C 错误； 对于 D，由0 x 时， 2 ( )24f xxx ； 0 x 时(2)yf x，可求得当20 x 时， 2 ( )24f xxx ； 直线 1ykx 恒过点(0,1)，方程 ( )1f xkx 恰有 3 个实根， 即函数 f x 和函数 1ykx 的图像有三个交点， 当0k 时，直线 1ykx 与函数 f x （0 x ）相切于点 00 (,)xy ， 则 0 2 000 1 2 44 124 k kx kxxx ，解得 0 42 2 2 = 2 k x ， 要函数 f x 和函数 1ykx 的图像有三个交点， 则k的取值范围为： 1 42 2 2 k
32、 ； 当k0时，当0 x 时，直线 1ykx 与函数 f x 有两个交点， 设直线 1ykx 与函数 f x （0 x ）相切于点 00 (,)xy ，则 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 18 页 共 47 页 0 2 000 44 124 kx kxxx ，解得 0 2 24 2 = 2 k x 综上，方程 ( )1f xkx 有 3 个实根， 则 1 42 2 2 k 或2 24k ,故 D 正确. 故选：BD. 【点评】本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主 要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题. 8BC 【分析】
33、由已知可得 4( )fxf x ，所以 ( )f x 图象关于2x 对称，结 合函数图象的对称性分析可得结论. 【解析】 22222222 ( )4()()(2)4()() xxxx f xxxmm eexmm ee ， 令2tx，则 22 ( )4()() tt g ttmm ee ，定义域为R， 22 ()()4()()( ) tt gttmm eeg t ，故函数( )g t为偶函数， 所以函数 ( )f x 的图象关于2x 对称， 要使得函数 ( )f x 有唯一零点，则 (2)0f ， 即 2 482()0mm ，解得1m 或2， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群
34、 416652117 第 19 页 共 47 页 故选：BC 【点评】该题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与 化归的思想，属于较难题目. 9ACD 【分析】先画出 ( )f x 的图象，再讨论方程 22 210fxfxa 的根， 求得 ( )f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【解析】画出 ( )f x 的图象如图所示： 令 ( )tf x ，则 22 210tta ，则 2 4(2)a ， 当0 ，即 2 2a 时，1t ，此时 ( )1f x ，由图 1y 与 ( )yf x 的图象有 两个交点， 即方程 22 210fxfxa 的根的个数为 2 个，A 正确； 当 时，
35、即 2 2a 时， 2 12ta ，则 2 022a 故 2 11212a ， 2 12121a ， 当 2 12ta 时，即 2 ( )12f xa ( 1,1) ，则x有 2 解， 当 2 12ta 时，若t (1,2 ，则x有 3 解；若t(2,12，则x有 2 解， 故方程 22 210fxfxa 的根的个数为 5 个或 4 个，CD 正确； 故选：ACD 【点评】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 20 页 共 47 页 分类讨论思想和数形结合思想，难度较大. 10CD 【分析】首先判断
36、( )F x 为偶函数，考虑0 x 时， ( )F x 的解析式和零点 个数， 运用导数的几何意义和数形结合思想， 即可得到所求m的范围. 【解析】解：因为 ( )( )()F xf xfx=+- ，可得 ( )()F xFx ，即 ( )F x 为偶函 数， 由题意可得0 x 时， ( )F x 有两个零点， 当0 x 时，0 x ，()2 x fxemxm 即0 x 时，( )22 xxxx F xxeeemxmxemxm， 由 ( )0F x ，可得20 x xemxm， 由 ,21 x yxeymx 相切，设切点为 , t t te ， x yxe的导数为(1) x yxe ，可得切线
37、的斜率为(1) t te， 可得切线的方程为(1) () tt ytete xt， 由切线经过点 1 ,0 2 ，可得 1 (1) 2 tt tetet ， 解得：1t 或 1 2 （舍去） ，即有切线的斜率为2e， 故2 2 ,meme ， 故选：CD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 21 页 共 47 页 【点评】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问 题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大. 11BCD 【分析】利用函数的图象结合四个选项进行分析，注意函数 ( )f x 在大 于 0 部分的周期性，从而进行选项判断，即可得
38、到答案. 【解析】函数 ( )f x 的图象如图所示： 对A，( 3) 963f ，(2019) (1)( 1)1fff ， 所以 ( 3)(2019)2ff ， 故 A 错误； 对 B，由图象可知 f x 在区间 4,5上是增函数，故 B 正确； 对 C，由图象可知 11 , 24 k ，直线 ( ) 1f xk x 与函数图象恰有 3 个 交点，故 C 正确； 对 D，由图象可得，当函数 ( )yf xb 在( ,4) 上有 6 个零点 (1,2,3,4,5,6) i x i ，则 01b，所以当0b 时， 6 1 0 ii i x fx ；当 1b 时， 6 1 6 ii i x fx
39、， 所以 6 1 ii i x f x 的取值范围是 0,6，故 D 正确. 故选：BCD. 【点评】本题考查利用函数的图象研究分段函数的性质，考查数形结 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 22 页 共 47 页 合思想的应用，求解时画出函数图象是求解问题的关键. 12BCD 【分析】求导得到函数的单调性得到A错误；判断 1 2 5 1 1 0log 2,l1 2 2 , n1e 得到B正确； 根据 3 27 31f e 得到C正 确；构造函数 2x g xe x ，画出函数图象知D正确，得到答案. 【解析】 3x f xex ，则 322 33 x
40、xx fxexexx ex ， 故函数在 , 3 上单调递减，在 3, 上单调递增，A错误； 1 2 5 1 1 0log 2,l1 2 2 , n1e ， 根据单调性知 1 2 5 log 2lnffef ， B正确； 00f， 3 27 31f e ，故方程 1f x 有实数解，C正确； f xkx， 易知当0 x 时成立， 当0 x 时， 2x f x ke x x ， 设 2x g xe x ， 则 2 x gxe x x ， 故函数在 0, 上单调递增， 在 2,0 上单调递减， 在 , 2 上单调递增，且 2 4 2g e . 画出函数图象，如图所示：当 2 4 0k e 时有 3
41、 个交点. 综上所述：存在实数k，使得方程 f xkx 有4个实数解，D正确； 故选：BCD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 23 页 共 47 页 【点评】 本题考查了函数的单调性， 比较函数值大小， 方程解的个数， 意在考查学生对于函数知识的综合应用. 13CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断 AB 选项；对x进行分类 讨论，判断 C 选项；对选项 D，构造函数，将函数的零点问题转化为 函数图象的交点问题，即可得出实数 m 的取值范围. 【解析】对于 A 选项，当0 x 时，0 x ，则 22 ()()2()2( ) 11 fxxxx
42、xf x 所以函数 fx 不是奇函数，故 A 错误； 对于 B 选项， 2 21yxx的对称轴为1x ， 2 21yxx 的对称轴 为1x 所以函数 2 21yxx在区间0, ) 上单调递增，函数 2 21yxx 在 区间( ,0) 上单调递增，并且 22 02 0 102 0 1 所以 fx 在R上单调递增 即对任意 1122 ,xxxxR ，都有 12 fxfx 则 12121212 0,00 xxf xf xxxf xf x ，故 B 错误； 对于 C 选项， 当0 x 时，0 x ， 则 22 ()()2(2 ) 11fxxxxx 则 22 ( )()21212f xfxxxxx 欢迎
43、关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 24 页 共 47 页 当0 x 时， ( 0)(0)1ff ，则 ( 0)(0)2ff 当0 x 时，0 x ，则 22 ()()2() 121fxxxxx 则 22 ( )()21212f xfxxxxx 即对任意xR,则有 2f xfx ，故 C 正确； 对于 D 选项，当0 x 时， 010yf ，则0 x 不是该函数的零点 当0 x 时， 0 f x fx x mxm 令函数 ( )g x fx x ，函数 ym 由题意可知函数y m 与函数 ( )g x fx x 的图象有两个不同的交点 因为 0f x 时，
44、 12,x ， ( )0f x 时， ,12x 所以 1 2,0 1 2,12 2 )0 1 ,12 ( xx x xx x xx x g x 当0 x 时，设12 01xx ，故 fx 在() ,0- 上为增函数； 当0 x 时，( ) 0fx 时，有() 2 log20kx += ，解得 1 x k ； 20kx +时，有() 210k kx+ = ，解得 2 12 x kk = - ， 若0 x ，则( ) 2 1log1fxx+ =+ ， 2 log10 x+ 时，有() 2 log110kx + = ，解得 1 1 2 k x - - =， 2 log10 x+ 时，有() 22 l
45、oglog10 x += ，解得1x ， 故当0k 时，有 4 个零点，C 正确， 当k0时： 若0 x ，则( ) 122fxkx+ =+ ，有() 2 log20kx += ，解得 1 x k ， 因为 1 0 x k = - ，所以不满足0 x ，舍去； 若0 x ，则( ) 2 1log1fxx+ =+ ， 2 log10 x+ 时，有() 2 log111kx + ，无解； 2 log10 x+ 时，有() 22 loglog10 x += ，解得1x ， 故当k0时，有 1 个零点，D 正确， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 34 页
46、共 47 页 故选：CD. 【点评】 本题考查函数零点的求解，考查学生对分段函数的理解，能否明确每 一个区间所对应的函数是解决本题的关键，考查分类讨论思想，考查 计算能力，是难题. 21BCD 【分析】根据“k倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值 范围逐个判断即可. 【解析】对 A, 若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间,因为 2 22f xxx 在区间 1,b为增函数,故其值域为 2 1,22bb ,根据题 意有 2 22bbb,解得1b 或2b ,因为1b 故2b .故 A 错误. 对 B,由题,因为函数 3 2fx x 在区间 ,0 与 0,+ 上均为增函数, 故若
47、3 2fx x 存在跟随区间 , a b则有 3 2 3 2 a a b b ,即 , a b为 3 2x x 的两 根. 即 2 230 xx,无解.故不存在.故 B 正确. 对C, 若函数 1f xmx 存在跟随区间 , a b,因为 1f xmx为 减函数,故由跟随区间的定义可知 1 11 1 bma abab amb ,ab 即 1+111abababab ,因为ab,所以 1+11ab . 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 35 页 共 47 页 易得0111ab . 所以 111ambma ,令1ta代入化简可得 2 0ttm ,同 理1
48、tb也满足 2 0ttm ,即 2 0ttm 在区间 0,1上有两根不相等 的实数根. 故 140 0 m m ,解得 1 ,0 4 m ,故 C 正确. 对 D,若 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间”,则可设定义域为 , a b,值域 为 3 ,3a b.当1ab 时,易得 2 1 2 f xxx 在区间上单调递增,此时易 得 , a b为方程 2 1 3 2 xxx 的两根,求解得0 x 或4x .故存在定义域 4,0,使得值域为12,0. 故 D 正确. 故选：BCD 【点评】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数 的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,
49、并根据函数的解 析式列式求解.属于难题. 22ABC 【分析】对于 A，利用零点存在性定理解决，对于 B、C 可根据条件 及 f x 的单调性判断，对于 D 利用极值点的概念即可判断. 【解析】因为当x 时， f x ，当x 时， f x ，由 零点存在性定理知 0 xR ， 0 0f x ，故 A 正确； 因为 2 ( )32fxxaxb ， 若 f x有极大值 M， 极小值 m， 则 ( ) 0fx 有 两根 1 x， 2 x，不妨设 1 x 2 x ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 36 页 共 47 页 易得 ( )f x 在 1 (x
50、2 ,)x 上单调递增，在 1 (,)x ， 2 (,)x 单调递减，所以 2 ()f xM 1 ()f xm ， 故 B、C 正确；导数为 0 的点不一定是极值点，故 D 错误. 故选 ABC 【点评】 本题考查利用导数研究三次函数的性质， 涉及到函数的零点、 极值、极值点、单调性等性质，是一道中档题. 23BC 【分析】根据函数零点的定义转化为 f xb 有三个根，利用数形结 合进行求解即可. 【解析】由题意，函数 g xf xb 有三个零点，则函数 0g xfxb， 即 f xb 有三个根， 当0 x 时， 1 x fxex ，则 12 xxx exexxef 由 0fx 得20 x，即
