1、第 3 讲不等式的性质和基本不等式 玩前必备 1不等式的基本性质 性质性质内容特别提醒 对称性abbb，bcac 可加性abacbc 可乘性 ab c0 acbc 注意 c 的符号 ab c0 acb cd acbd 同向同正可乘性 ab0 cd0 acbd 可乘方性ab0anbn(nN，n1) a， b 同为正数 可开方性 ab0nanb(nN， n1) 2两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0ab ab0ab ab0a1ab a b1ab a b1a0) 3基本(均值)不等式 abab 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等
2、号 4几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)(2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2(a，bR)(4)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR) 5算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正 数的算术平均数不小于它们的几何平均数 6利用基本(均值)不等式求最值问题 已知 x0，y0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p 2 4
3、 .(简记：和定积最大) 玩转典例 题型一题型一 不等式的性质应用不等式的性质应用 例例 1 1(1)给出下列命题： 若 ab0，ab，则1 ab，cd，则 acbd； 对于正数 a，b，m，若 ab，则a bQBPQCPQDPQ （3）已知 12a60,15bb，且1 a 1 b，则 a0，bb，b0，则a b1 C若 ab，且 acbd，则 cd D若 ab，且 acbd，则 cd 2已知 1ab2 且 2ab4，求 4a2b 的取值范围 3.已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系是() AcbaBacb CcbaDacb 题型二题型二 基
4、本不等式求最值基本不等式求最值 角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值 例例 2 2(1)已知 0 x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( ) A1 2B1 3C3D4 (3)已知 x5 4，求 f(x)4x2 1 4x5的最大值； 已知 x 为正实数且 x2y 2 2 1，求 x1y2的最大值； 求函数 y x1 x3 x1的最大值 角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值 例例 3 3已知 a0，b0，ab1，则1 a 1 b的最小值为_ 探究 1本例的条件不变，则 11 a 11 b 的最小值为_ 探究 2本例的条件和结论互换即：已知 a0，b0，1 a 1 b4，
5、则 ab 的最小值为_ 探究 3若将本例中的“ab1”换为“a2b3”，如何求解？ 题型题型三三均值不等式实际应用均值不等式实际应用 例例 4 4某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储 时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最 小，每批应生产产品() A60 件B80 件C100 件D120 件 玩转跟踪 1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元) 与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 yx218x25(xN*)， 则该公司年平
6、均利润的最大值是_ 万元 玩转练习 1如果 a0，那么下列不等式中正确的是() A.1 a 1 b B. a b Ca2|b| 2若 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是() AacbcBacbc C. c2 ab0 D(ab)c20 3给出下列条件： ab0；ab0，b0；a0，b0，则下列不等式中恒成立的是() Aa2b22abBab2 ab C.1 a 1 b 2 ab D.b a a b2 5设 x0，则 33x1 x的最大值是( ) A3B32 2 C1D32 3 6已知x 2x1 x1 (x1)在 xt 时取得最小值，则 t 等于() A1 2B2 C3D4 7已知正数
7、 a，b 满足 a2b2，则2 a 1 b的最小值为_ 8已知 a0，b0，2 a 1 b 1 6，若不等式 2ab9m 恒成立，则 m 的最大值为( ) A8B7C6D5 9 设 abc0， x a2bc2， y b2ca2， z c2ab2， 则 x， y， z 的大小顺序是_ 10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为 _m. 11若1ab3,2ab0，y0 且 2x5y20. (1)求 xy 的最大值； (2)求1 x 1 y的最小值 13某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为 100 km，按交通法规定： 这段公路车速限制在 40100(单位：km/h)之间假设目前油价为 7.2 元/L，汽车的耗油率为 3 x2 360 L/h， 其中 x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量租车需付给司机每小时的工资为 76.4 元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速 x 是多少？(注：租车总费用耗油 费司机的工资) 玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，拿来就可以上课，方便 你我，我们会定期上传最新编写讲义，本群由泉优数学教育管理。教师版群内下载，
