1、 第 6 讲 函数的单调性 玩前必备 1 1函数的单调性函数的单调性 (1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M 中的任意两个值x1，x2， 定义 改变量 xx2x10，则 当yf(x2)f(x1)0 时， 就称 函数yf(x)在区间M上是增函数 改变量 xx2x10， 当 yf(x2)f(x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间M上是减函数 增函数 减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf
2、(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间 2 2函数的最值函数的最值 前 提 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条 件 (1)对于任意xI， 都有f(x) M； (1)对于任意xI， 都有f(x) M； (2)存在x0I，使得f(x0)M (2)存在x0I，使得f(x0)M 结 论 M为最大值 M为最小值 玩转典例 题型一题型一 函数单调性的判断和证明函数单调性的判断和证明 例例 1判断并证明函数 y在(1，)上的单调性 x2 x1 例例 2 2.设函数f(x)Error!g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_ 例例 3.3. 函
3、数 2 23yxx的单调递增区间为 . 玩转跟踪 1.已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数. 2x x1 2.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有0，则必有() fafb ab A.函数 f(x)先增后减 B.f(x)是 R 上的增函数 C.函数 f(x)先减后增 D.函数 f(x)是 R 上的减函数 3.画出函数 yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间. 题型二题型二 函数单调性的应用函数单调性的应用 角度一：利用函数的单调性求最值 例 4(1)函数 f(x)Error!的最大值为_ (2)已知函数 f(x)ax (1x)(a0)，且
4、f(x)在0,1上的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值 1 a 角度二：利用函数的单调性求解不等式 例 51.(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(a3)，则实数 a 的取值范围为_ 2.探究与创新 设 f(x)是定义在(0，)上的函数，满足条件： (1)f(xy)f(x)f(y)； (2)f(2)1； (3)在(0，)上是增函数. 如果 f(2)f(x3)2，求 x 的取值范围. 角度三：利用函数的单调性求参数 例 6 (1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是() A. B. ( 1 4，) 1 4，) C
5、. D. 1 4，0) 1 4，0 (2).已知 f(x)Error!是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是_. 题型三题型三 分类讨论二次函数单调性和最值分类讨论二次函数单调性和最值 例 7 求函数在闭区间上的单调性和最小值 12)( 2 axxxf2 , 0 【玩转跟踪】 1已知函数 2 ( )22f xxax，求( )f x在5,5上的最大值与最小值 2已知函数，当，时，求的最大值与最小值 32)( 2 xxxftx 1t)(xf 题型四题型四 抽象函数单调性和最值抽象函数单调性和最值 例 8 已知函数对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x
6、)0，f(1)(xf 2 3 . （1）求证：在 R 上是减函数； )(xf （2）求在3,3上的最大值和最小值 )(xf 【玩转跟踪】 1.已知函数的定义域为，且当时，且 )(xf0()1x0)(xf)()()(yfxfyxf （1）求的值； ) 1 (f （2）证明在定义域上的增函数； )(xf （3）解不等式 0) 2 1 (xxf 玩转练习 1.下列说法中，正确的有() 若任意 x1，x2I，当 x1x2时，0，则 yf(x)在 I 上是增函数； fx1fx2 x1x2 函数 yx2在 R 上是增函数； 函数 y 在定义域上是增函数； 1 x 函数 y 的单调区间是(，0)(0，).
7、1 x A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是() A.y|x| B.y3x C.y D.yx24 1 x 3.若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，则 k 的取值范围是() A.(，40) B.40,64 C.(，4064，) D.64，) 4.若 f(x)为 R 上的增函数，kf(x)为 R 上的减函数，则实数 k 的取值范围是() A.k 为任意实数 B.k0 C.k0 D.k0 5.函数 yx|x1|的单调递增区间是_. 6. 函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则 f(1) _
8、. 7.求证：函数 f(x) 1 在区间(，0)上是增函数. 1 x 8.如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是() A.a B.a 1 4 1 4 C. a0 D. a0 1 4 1 4 9.已知函数 f(x)x2bxc 的图象的对称轴为直线 x1，则() A.f(1)f(1)f(2) B.f(1)f(2)f(1) C.f(2)f(1)f(1) D.f(1)f(1)f(2) 10.讨论函数 yx22(2a1)x3 在2,2上的单调性. 11.已知函数 f(x)在实数集中满足 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)在定义域内是减函数. (1)求 f(1)的值； (2)若 f(2a3)0，试确定 a 的取值范围.
