1、高考数学培优专题库教师版 第一讲函数及其性质 A A 组题组题 1. （2017 年高考北京卷理）已知函数 1 3 3 x x f x ，则 f x（） A. 是奇函数，且在 R 上是增函数B. 是偶函数，且在 R 上是增函数 C. 是奇函数，且在 R 上是减函数D. 是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】 11 33 33 xx xx fxfx ，所以该函数是奇函数，并且3xy 是增函数， 1 3 x y 是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选 A. 2.函数 33 ( )11f xxx，则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象上的是（） A(,( )a
2、f aB( ,()a faC( ,( )af aD(,()afa 【解析】可验证函数( )f x满足()( )fxf x，( )f x是偶函数，故选B. 3.已知函数 2 1,0 ( ) cos ,0 xx f x x x ，则下列结论正确的是（） A f x是偶函数 B f x是增函数C f x是周期函数D f x的值域为1, 【解析】当0 x 时，( )cos 1,1f xx ，当0 x 时，), 1 (1)( 2 xxf，故选.D 4.如果奇函数( )f x在区间3,7上是增函数且最大值为 5，那么( )f x在区间 7, 3上是（） A增函数且最小值是-5B增函数且最大值是-5 C减函
3、数且最大值是-5D减函数且最小值是-5 【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题( )f x在 7, 3上递增，故在 7, 3上， min ( )( 7)(7)5f xff ，故选. A 5.若函数( )f x是R上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2ff，则(3)(4)ff() A.1B.1C.2D.2 【解析】因为函数( )f x是R上周期为5的奇函数，所以 (3)(4)( 2)( 1)(1)f(2)1.fffff 故选. A 6.函数 f(x)lg|sin x|是() A最小正周期为的奇函数B最小正周期为 2的奇函数 高考数学培优专题库教师版 C最小正周期为的偶函数D最小正周期为 2
4、的偶函数 【解析】 当,xkkZ时，()( )fxf x且()lg|sin()| lg|sin|( )f xxxf x， 故选.C 7.(2016哈尔滨联考)已知函数 f(x)恒满足( )(2)f xfx，且当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac 【解析】( )(2)f xfx( )f x图象关于直线1x 对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒 成立说明( )f x在(1,)上单减，故 51 ( )( )()(2) 22 f efff，故选.D 8.（2017 年全国 3 卷文）设函数 10 20 x xx f x x ， ，
5、 则满足 1 1 2 f xfx 的x的取值范围 是_。 【答案】(- 1 4 ，) 【解析】 由题意得：当 1 2 x 时， 1 2 221 x x 恒成立， 即 1 2 x ； 当 1 0 2 x时， 1 211 2 x x 恒成立，即 1 0 2 x；当0 x 时， 11 111 24 xxx ，即 1 0 4 x.综上，x的取值范 围是 1 , 4 . 9.若函数 2 ( )(36) loga f xaxa x 在), 2 上是增函数，则实数a的取值范围 是. 【解析】设 2 36uxaxa，因为外函数logayu是单调函数，故内函数 2 36uxaxa在2,) 上单增，应有 1 2
6、2 (2)20 a a ua ，解得24a.空填24a. 10.设函数)(Rxxf满足xxfxfsin)()(，当 x0时，0)(xf，则 ) 6 23 ( f. 【解析】由题(2 )()sin()( )sinsin()( )f xf xxf xxxf x，故 高考数学培优专题库教师版 ) 6 23 ( f 23 (4 ) 6 f 511 ()()sin()0. 66622 ff 11.二次函数( )yf x的图象与函数 2 1yx的图象关于点(1,0)成中心对称. （1）求函数( )f x的解析式； （2）是否存在实数,m n，满足( )f x定义域为 , m n时，值域亦为 , m n，若
7、存在，求出,m n的值； 若不存在， 说明理由. 【解析】 （1）设( ,( )A x f x，则点A关于点(1,0)的对称点(2,( )xf x在函数 2 1yx图象上， 故 2 ( )(2)1f xx，得 2 ( )43f xxx . （2） 2 ( )(2)1 1f xx ，假设存在满足条件的,m n，则1n，则( )f x在 , m n上单 调递增， 所以 2 2 ( )43 ( )43 f mmmm f nnnn mn ，解知,m n不存在. B 组题组题 1.（2016 海南中学考前模拟）已知函数( )f x关于直线2x 对称，且周期为 2，当 3, 2x 时， 2 ( )(2)f
8、 xx，则 5 ( ) 2 f（） A0B 1 4 C 1 16 D1 【解析】由题意可得 5135 ( )( )()() 2222 ffff 2 51 (2) 24 ，故选 B. 2.【2016 山东滨州二模】若函数 xx eaexf )(为奇函数，则 1 1fxe e 的解集为（） A,0B,2C2,D0, 【解析】由于函数 f x为R上奇函数，所以 001fa，所以 1 x x f xe e ，由于 x e为增 函数，而 1 x e 为减函数，所以 1 x x f xe e 是减函数，又因为 1 1fe e ，由 1 1fxe e 可得 11f xf，从而110 xx ，故选.D 3设(
9、 )f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，又( 3)0f ，则( )0 x f x的解集是（） 高考数学培优专题库教师版 A| 303xxx 或B|303x xx 或C|33x xx 或D| 3003xxx 或 【解析】( )f x是奇函数，(3)( 3)0ff ，且( )f x在(,0)上单增，对于不等式( )0 xf x ， 当(0,3)x时，( )0f x ，满足；当(3,)x时，( )0f x ，不满足. 当.( 3,0)x 时，( )0f x ，满足；当(, 3)x 时，( )0f x ，不满足.故选.D 4. 已知 f x是定义在R上的以 3 为周期的偶函数，若(1)1f， 23
10、 (5) 1 a f a ，则实数a的取值范 围为() A(1，4)B(2，0)C(1，0)D(1，2) 【解析】因为 f x是定义在R上的以 3 为周期的偶函数， 23 (5)( 1)(1)1 1 a fff a ，解得 选项. A 5.已知函数)(xf定义域为R，且不恒为零，若函数) 1( xf的图象关于)0 , 1 (对称，函数)3( xf的 图象关于直线1x对称，则下列式子中错误的是（） A.)()(xfxfB.)6()2(xfxfC.0)2()2(xfxf D.0)3()3(xfxf 【解析】) 1( xf的图象关于)0 , 1 (对称( )f x关于(2,0)对称( )(4)f x
11、fx ；)3( xf的图象关于直线1x对称( )f x图象关于直线4x 对称( )(8)f xfx 所以(8)(4)fxfx ( )f x的周期8T ，且( )f x的所有对称轴为：4 ,xn nZ，所有对 称中心为 (42,0)()nnZ，故选.D 6.【2016 辽宁抚顺一中四模】已知函数)(xf满足) 1 ()( x fxf，且当 1 , 1 x时，xxfln)(， 若当, 1 x时，函数axxfxg)()(与x轴有交点，则实数a的取值范围是（） A ln ,0 Bln,0C 1 ln (, e D 1 (, 2 e 【解析】由对数的性质，及) 1 ()( x fxf知当, 1 x时，x
12、xfln)( 11 ( )lnlnf ， ln ln 1 OA k ，方程axxfxg)()(与x轴有交点，则0)( axxf有解，即函数 , 1 ),( xxfy的图象与直线axy 有交点，作出函数, 1 ),( xxfy的图象与直线axy ， 高考数学培优专题库教师版 如图，由图象知0 ,lna 7.已知函数)9lg() 1(xxf，则)(xf. 【解析】设1xt ， 2 (1)xt，因为09x，所以 1,2)t 2 ( )lg9(1) f tt 2 lg(28)tt，故此空填 2 ( )lg(28), 1,2)f xxxx 8.( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 2 ( )
13、2f xxx，若 2 (2)( )faf a，则实数a的 取值范围是 . 【解析】由题示意图象，可知( )f x恒增，故 2 2aa，解得21a . 9.设函数 1 ( )2ln 1 x f x x ，若( )4f a ，则()fa. 【解析】设 1 ( )ln 1 x g x x ， 1 11 ()lnln()( ) 11 xx gxg x xx ，故 ()2()2( )2 ( )20.fagag af a故填0. 10.设 2 ( )( ,)f xxbxc b cR，若2x 时，( )0f x ，且( )f x在(2,3上的最大值为 1. （1）求(3)f的值； （2）若 2 ( )f x
14、xbxc不存在零点，求b的取值范围，并求 22 bc的最大值； （3）若 2 ( )f xxbxc存在零点，求b值. 【解析】 （1） 2 ( )f xxbxc在(2,3上的最大值为 1(3)1f， 且(2)24(3)39fbcfbc，故5b . （2）(3)1c3b 8f ，又 2 ( )f xxbxc不存在零点，则 22 412320bcbb 解得84b ，又由（1）知5b ，所以b的取值范围为 5, 4) 高考数学培优专题库教师版 则 222 104864bcbb，由 5, 4)b ，当5b 时， 22 bc的最大值为74. （3）若 2 ( )f xxbxc存在零点，则 22 4123
15、20bcbb ，8b 或4b 又因为5b ，所以4b ，则( )f x对称轴2 2 b x ，又因为2x 时，( )0f x ， 所以 (2)2440fbcb ，得4b ，所以4.b C C 组题组题 1.设函数 f xx xa，若对 12 ,3,x x， 12 xx，不等式 12 12 0 f xf x xx 恒成立，则 实数a的取值范围是（） A., 3 B.3,0C.,3D.0,3 【解析】由题意分析可知条件等价于 f x在3,上单调递增，又 f xx xa，当0a 时，结论显然成立，当0a 时，则, , , )( 2 2 axaxx axaxx xf， f x在, 2 a 上单调递增，
16、在, 2 a a 上单调递减，在, a 上单调递增，03a，综上，实数a的取值范围是,3. 2.已知集合1,2,3M ，1,2,3,4N ，定义映射:fMN，则从中任取一个映射满足由点 1,1 ,2,2,C 3,3AfBff 构成 ABC 且ABBC的概率为() A. 3 32 B. 5 32 C. 3 16 D. 1 4 【解析】映射:fMN满足由点 1,1 ,2,2,3,3AfBfCf构成ABC，又因为若 11f时，1,1A可构成44214个三角形， 12f时，1,2A可构成44214个三角形， 若 13f时，1,1A可构成44214个三角形，若 14f时，1,1A可构成44214个 三角
17、形，共计56个，其中等腰三角形 12 个，映射:fMN共有4 4 464 个，构成ABC且 ABBC的概率 123 = 6416 ， 3.函数 2 sin6 2 41 x x x y 的图象大致为（） 高考数学培优专题库教师版 【解析】 2 sin6 2 cos62 4141 x x xx x x yf x ， 2cos62 cos6 4114 x x xx xx fxfx 是 奇函数，排除A，又在区间0, 12 上， 0f x ，排除B，当x 时， 0f x ，排除C，故选.D 4.已知函数 2 2 ( )2(2)f xaxa x ， 22 ( )2(2)8g xxaxa ， 设 1( )
18、max ( ), ( )H xf x g x ， 2( ) min ( ), ( )Hxf x g x ，（max , p q、min , p q 分别表示 , p q 中的较大者及 较小者，记 1min2max ( ),( )H xA HxB ，则A B（ ） A. 2 216aa B. 2 216aa C.-16D.16 【解析】令 ( )( )f xg x 得， 2xa ，则 ( )f x与( )g x图象交于(2,124 )aa ，( 2, 44)aa ， 示意图象可知： 44Aa ， 124Ba ，所以 16.AB 故选 .C 5.已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，当x0 时
19、， f x1 2(|xa 2|x2a2|3a2)若 xR， 1f x f x，则实数a的取值范围为（） A 1 1 , 6 6 B 66 , 66 C 1 1 , 3 3 D 33 , 33 【解析】画出 ( )f x图象，由xR，1f x f x，即( )f x图象向右平移1个单位后的图象总在 ( )f x图象下方， 故 2 61a ，故选.B 6.定义在R上的函数 f x对任意 1212 xxxx、都有 12 12 0 f xf x xx ，且函数1yf x的 图像关于1,0成中心对称，若s，t满足不等式 22 22f ssftt 则当41 s时， 2ts st 的 取值范围是() 高考数
20、学培优专题库教师版 A 1 3, 2 B 1 3, 2 C 1 5, 2 D 1 5, 2 【解析】由1yf x的图像相当于 f x的图像向右平移了一个单位；又由1yf x的图像 关于1,0中心对称，知 f x的图像关于0,0中心对称，即 f x为奇函数，得 22 22f ssftt ，从而 22 22ttss，化简得20tsts ，又14s，故 2sts ，从而 2 11 t ss ，而 21 1,1 2s ，故 1 ,1 2 t s ，又 2 21 5, 2 1 t ts s t st s ， 故选.D 7.【2016 四川绵阳三诊】已知函数 , 0,| , 0|,| )( xaax xa
21、xa xf其中常数0a，给出下列结论： )(xf是R上的奇函数； 当4a 时， 2 f xaf x对任意xR恒成立； f x的图象关于xa和xa 对称； 若对 12 , 2 , 1xx ，使得 12 1f xf x，则 1 ,1 2 a 其中正确的结论是（请填上你认为所有正确结论的序号） 【解析】因为 , 0,| , 0|,| )( xaax xaxa xf所以 .,2 , ,2 )( axxa axax axxa xf其图象如下图所示，由于图 象关于原点对称，故正确；因为4a时，aa4 2 ，故可得)( 2 axfy的图象是由)(xfy 向右 平移 2 a个单位，故正确；观察图可知错误；对于
22、当2a，即2a时， ),)(),)( 21 axfaxf，故当)( 1 xf从负方向接近于 0 时，)( 2 xf不满足题意，当 12a，即21 a时，),()(),22()( 21 axfaxf，同上可知不满足题意，当 1a，即1a时，),22()( 1 axf，),21 ()( 2 axf，要使得和)( 1 xf时相对应时， 需满足021 a，即 2 1 a，故错误故此空填. 高考数学培优专题库教师版 8.函 数 ) 1( ) 1(4) 13( )( log xx xaxa xf a 在 定 义 域R上 不 是不 是 单 调 函 数 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是. 【解析】0,1
23、aa，若( )f x在R上单调， （1）( )f x为增，则 1 310 710 a a a ，无解； （2）( )f x为减，则 01 310 071 a a a ，解得 11 73 a，由题 11 (0, ) ,1)(1,) 73 a 9.已知 1212 ,x xxx是方程 2 4410,xkxkR 的两个不等实根，函数 2 2 1 xk fx x 的定义 域为 12 ,x x， maxmin g kf xf x，若对任意kR，恒有 2 1g kak成立，则实数a的取 值范围是. 【解析】 1212 ,x xxx是方程 2 4410,xkxkR 的两个不等实根，结合图像可知，当 12 ,x
24、x x时， 2 4410 xkx ，所以 2 22 222 ( )0 (1) xkx fx x 在 12 ,x x恒成立，故函数 f x在定 义域内是增函数，所以 21 maxmin =g kf xf xf xf x 21 22 21 22 11 xkxk xx ，又因为 1212 ,x xxx是方程 2 4410,xkxkR 的两个不等实根，则 1212 1 , 4 xxk x x ，代入化简 得： 2516 )4016(1 )( 2 22 k kk kg，由对任意的 2 ,1kR g kak成立，得： 2 22 164015 1 16251625 k a kk ，结合 2 0k ，得 38
25、 1 55 a ，故实数a的取值范围是 8 , 5 . 高考数学培优专题库教师版 10.0a ，函数( ) 2 xa f x xa ，记( )f x在区间0,4上的最大值为( )g a，求( )g a的表达式. 【解析】0a 时， ,0 2 ( ) 2 , 2 ax xa xa xa f x xaxa xa xa （1）若4a ，( ),0,4 2 ax f xx xa ，( )f x单调递减，则 1 ( )(0) 2 g af； （2）若04a， ,0 2 ( ) ,4 2 ax xa xa f x xa ax xa ，可判断( )f x在0, )a上递减，在( ,4a上递增， 则( )max (0),(4)g aff（选大） ， 141 (0)(4) 2422 aa ff aa ， 所以 1 ,14 2 ( ) 4 ,0a1 42 a g a a a 综上所述： 1 ,1 2 ( ) 4 ,01 42 a g a a a a .
