1、高考数学培优专题库教师版 第二十二讲三角函数高考选择填空压轴题专练第二十二讲三角函数高考选择填空压轴题专练 A 组 一、选择题 1 已知奇函数 cos(0,0,0)f xAxA的导函数的部分图象如图所示，E是 最高点，且MNE是边长为1的正三角形，那么 1 3 f （） A. 3 2 B. 1 2 C. 1 4 D. 3 4 【答案】D 【 解 析 】 由 奇 函 数 00 2 f ，MNE是 边 长 为1的 正 三 角 形 ， 可 得 12 2 T T ，E是 最 高 点 且 3 2 E y ， cosfxAx 得 A= 3 2 , 所 以 313 cos 2234 f xxf 2设函数 c
2、os3sincosf xxxx（其中02） ，若函数 f x图象的一条对称轴为 3 x ，那么（） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 【答案】A 【解 析】 2 3111 3sincoscossin2cos2sin 2 22262 f xxxxxxx ， 3 x 是对称轴，则2 362 k ，kZ，又02，则 1 2 ，故选 A 3在ABC中,角,AB C，所对的边分别为,ab c，若1,2 cos0bcbcA，则当角B取得最 大值时，ABC的周长为（） A.3B.22C.23D.32 【答案】C 【解析】由题意可得： 20, 20, 3, 3. 0,0. 2 sinBs
3、inCcosA sin ACsinCcosA sinAcosCcosAsinC tanAtanC b cosAtanC c 据此可得： 2 tantan2tan2 tantan 1 1tan tan1 3tan 3tan tan ACC BAC ACC C C ， 由均值不等式的结论： 223 1 32 3 3tan tan C C , 当且仅当 3 tan 3 C 时等号成立，此时角 B 取得最大值. 据此可知： 33 tan,tan3,tan 33 BAC ， 即ABC 时顶角为 120的等腰三角形， 结合余弦定理可得ABC的周长为23. 本题选择 C 选项. 4 已知ABC中，, ,A
4、B C的对边长度分别为, ,a b c， 已知点O为该三角形的外接圆圆心， 点,D E F 分别为边,BC AC AB的中点，则:OD OE OF （） A.: :a b cB. 1 1 1 : a b c C.sin :sin :sinABCD.cos :cos :cosABC 【答案】D 【解析】如图： 高考数学培优专题库教师版 在三角形AOD中 11 22 tantan cc OD AOBC ，同理 11 22 , tantan ab OEOF AB ，所以 OD:OE:OF= 1 2 tan c C ： 1 2 tan a A ： 1 2 tan b B ，由正弦定理，可得OD:OE:
5、OF=cosA:cosB:cosC， 选 D. 5在ABC中，2,cos1ABACBCA，则cosA的值所在区间为（ ） A.0.4, 0.3B.0.2, 0.1C.0.3, 0.2D.0.4,0.5 【答案】A 【 解 析 】 设BCa， 1 cos1,cos0,BCAA a ， 中ABC中 ， 22222 22818 2,cos, 2 2 288 aaa ABACA a ，化为 32 11 8810 aa ，令 1 x a ，则 32 8810f xxx ， 2 2416 ,fxxx可得 fx 在,0上递增， 0.41.4 1.28 1 0,0.30.064 0ff ，cos0.4, 0.
6、3A ，故选 A. 6在ABC中，5AC ， 115 0 tantantan 222 ACB ，则BCAB() A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B 【 解 析 】 因 为 115 0 tantantan 222 ACB ， 所 以 coscos5cos 222 sinsinsin 222 ACB ACB ， 则 cossinsincos5cos 22222 sinsinsin 222 ACACB ACB ，即 sin()5cos 222 sinsinsin 222 ACB ACB ， 即5sinsinsincos 22222 ACBAC ，即6sinsincoscos 2222 AC
7、AC ； 由正弦定理，得 5 sinsinsin BCAB ACB ，则 5sin(+)sin()5sin() 5 sinsin 222222 sin sincoscos 222 ACACAC AC BCAB BBB B 5 coscossinsin 35sinsin 2222 22 7 coscossinsin5sinsin 222222 ACAC AC ACACAC ；故选 B. 7 在ABC中,内角, ,A B C的对边分别为, , ,a b c O是 ABC外接圆的圆心,若2 cos2Bcb, 且 coscos sinsin BC ABACmAO CB ,则m的值是() A. 2 4
8、B. 2 2 C.2D.2 2 【答案】C 【 解 析 】 因 为2 cos2aBcb， 由 余 弦 定 理 得 222 22 2 acb acb ac ， 整 理 得 222 2bcabc，所以 222 2 cos 22 bca A bc ，即 4 A ，因为O是ABC的外心，则对于平 面内任意点P， 均有： coscoscos 2sin sin2sin sin2sin sin ABC POPAPBPC BCACAB ， 令P与A重合， 及 4 A 得 coscos2coscos 2sinsin2sin2sin BCBC AOABACABAC CBCB ， coscos sinsin BC
9、ABACmAO CB ， 2m 故选 C 记忆：三角形的四心与向量关系： （1）O是ABC重心0OAOBOC ， P是平面ABC内任一点， 1 2 PGPAPBPCG 是ABC重心 （2）O是ABC垂心OA OBOB OCOC OA ， 若O是ABC垂心，则tantantan0AOABOBCOC （3）O是ABC外心OAOBOC ， 若O是ABC外心，则sin2sin2sin20AOABOBCOC 若O是ABC外心，则对于平面内任意点P，均有： coscoscos 2sin sin2sin sin2sin sin ABC POPAPBPC BCACAB （4）O是ABC内心0 ABACBABC
10、CACB OAOBOC ABACBABCCACB 高考数学培优专题库教师版 O是ABC内心0aOAbOBcOC ， O是ABC内心sinsinsin0AOABOBCOC 二、填空题 8 （2017 年全国 2 卷理）函数 2 3 sin3cos 4 fxxx（0, 2 x ）的最大值是 【答案】1 【解析】 22 31 1 cos3coscos3cos 44 fxxxxx 2 3 cos1 2 x ，0, 2 x ，那么cos0,1x，当 3 cos 2 x 时，函数取得最大值 1. 9 已知 33 sin2,sin2xxm yym ， 且, 4 4 x y ，mR， 则tan 3 xy _
11、【答案】3 【解析】令 f(x)=x3+sinx,则 f(x)=x3sinx， f(x)为奇函数,且 f(x)在, 4 4 为单调函数， f(x)=m,f(y)=m， x+y=0， tantan3 33 xy . 故答案为：3. 10 已 知 函 数 sinf xx， 若 存 在 12 , m x xx满 足 12 06 m xxx， 且 * 12231 122, mm f xf xf xf xf xf xmmN ， 则m的 最 小 值 为 _ 【答案】8 【解析】ysinx对任意,1,2,3,., ij x xi jm，都有 maxmin 2 ij f xf xf xf x，要使m取得最小值
12、，尽可能多让1,2,3,., i x im取得 最高点，考虑 12 0.6 m xxx， 12231 .12 mm fxfxfxfxfxfx ，按下图取值可满足 条件，m最小值为8，故答案为8. 11在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 222 acbac，3b ，则2ac的取值 范围是_ 【答案】3,2 7 【解析】由题意得 222 1 cos 22 acb B ac ，又因为0,B，可知 3 B 。又b3，由正弦定 理可得， 2 2ac4sin2sin4sin2sin 3 ACAA =5sin3cosAA=2 7sin,A（其中 35 sin,cos 2 72 7
13、） ， 2 0, 3 A 。所以 23,2 7ac 。填3,2 7 。 12已知函数 sin(0,0)f xx是R上的偶函数，其图象关于点 3 ,0 4 M 对 称，且在区间0, 2 上是单调函数，则_ 【答案】 2 3 或 2 【解析】由题意sin1，又0， 2 ，又 3 sin0 42 ， 3 42 k ， 342,kkZ，当0 2 x 时，1 222 x ，由于函数在0, 2 上单调，所以 3 1 22 ，2，036，所以4226k 或，即 2 2 3 或， B B 组组 一、选择题 高考数学培优专题库教师版 1 已知函数 2 31 cossin(0,R) 222 x f xxx .若函
14、数 f x在区间,2内没有零 点 ， 则的取值范围是（） A. 5 0, 12 B. 55 11 0, 126 12 C. 5 0, 6 D. 55 11 0, 126 12 【答案】D 【解析】 1 cos3131 sinsincossin 222226 x f xxxxx ， 2 ,2,2 666 xxx , 函数 f x在区间,2内没 有零点 (1),22,2, 66 kkkZ ，则 2 6 22 6 xk k ，则 1 2 6 5 12 k k ， 取0k ，0, 5 0 12 k ； （2）,22,22, 66 kkkZ ，则 2 6 222 6 k k ，解得： 5 2 6 11
15、12 k k ，取0k ， 511 612 k； 综上可知：k的取值范围是 55 11 0, 126 12 ，选D. 2已知函数 2 log,02 ,210 4 xx f x sinxx ，若存在实数 1 x， 2 x， 3 x， 4 x满足 12 f xf x 34 f xf x，且 1234 xxxx，则 34 12 11xx xx 的取值范围是（） A.9,21B.20,32C.8,24D.15,25 【答案】A 【解析】画出函数 f x的图象， 122 122 ,loglogf xf xxx， 2 12 log0 x x ， 12 1x x ， 34 f xf x， 3434 12,2
16、10 xxxx， 34 343434 12 11 111 xx x xxxx x x x ，由于 34 12xx，则 2 2 3444444 1212636x xxxxxx ， 34 x x为2,4上单调增函数，因为 4 24x， 则 34 2032x x，有 34 91121x x，所以由此可得： 34 12 11xx xx 的取值范围是9,21，选 A. 3已知函数 17 sincos(0) 326 f xxx ，满足 3 64 f ，则满足题意的 的最小值为 A. 1 3 B. 1 2 C. 1D. 2 【答案】C 【解析】由题意可得： 1 326 1 3226 1 323 3 . 23
17、 f xsinxcosx sinxsinx sinxsinx sinx 则： 33 sin 62634 f ， 据此有：2 636 k 或 5 2 6 kkZ， 则：1 12k 或123kkZ ， 高考数学培优专题库教师版 结合0可得，令0k ， min 1. 本题选择 C 选项. 4已知函数 2sin 4 f xx （0）的图象在区间0,1上恰有 3 个最高点，则的取值范 围为（） A. 1927 , 44 B. 913 , 22 C. 1725 , 44 D.4 ,6 【答案】C 【解析】因为函数 2sin 4 f xx （0）的图象在区间0,1上恰有 3 个最高点，所以 1725 416
18、 24244 ，的取值范围为 1725 , 44 ，故选 C. 5已知sincossin cos，则角所在的区间可能是（ ） A., 4 2 B. 3 , 24 C., 24 D. 5 , 4 【答案】C 【解析】令sincossin cosa，则 11 1 sin2, 22 2 a ，又由 2 sincos2sin cos10 ， 得 2 210aa ， 解 得12a ， 舍 去 12， 则 sin cos120 ，在 第 二 或 第 四 象 限 ， 排 除 A 和 D ， 又sincos120 而 sincos2sin 4 ，当 3 , 24 时，sincos2sin0 4 排除 B，只有
19、 C 答案满足，故选 C. 6已知函数 2 2sin(0), 123 fxxx 的图象如图所示，若 12 f xf x，且 12 xx，则 12 f xx（） A. 1B.2C.3D. 2 【答案】A 【 解 析 】 由 12 f xf x及 图 形 知 12 2 63 xx ， 又4 612 T ， 所 以 22 2 T ，22, 62 kkZ ， 取 6 ， 即 2sin 2 6 fxx ， 所 以 12 5 2sin 22sin1 3366 f xxf ，故选 A 7已知函数 2sin2cos(0)f xxx，若 4 yfx 的图象与 4 yfx 的 图象重合，记的最大值为 0 ，函数
20、0 cos 3 g xx 的单调递增区间为（） A., 32122 kk kZ B., 12262 kk kZ C.2,2 312 kkkZ D.2,2 126 kkkZ 【答案】A 【解析】 2sin 4 f xx , 4 yfx 的图象与 4 yfx 的图象重合，说明函数的 周期 2 ，由于0， 22 2 T ，4 ， 0 4 , cos4cos 4 33 g xxx ， 242 3 kxk ，则 23212 kk x ，kZ，选A 高考数学培优专题库教师版 二、填空题 8若3sin2 12 yx 的图象向右平移 6 个单位后与自身重合，且tanyx的一个对称中 心为,0 48 ，则的最小
21、正值为_ 【答案】24 【解析】由题意可知3sin2 12 yx 的周期为 T,满足, 6 kkN ，即6k，由 tanyx的一个对称中心为,0 48 可得24k。所以24为最小值。填 24. 9在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， cos c B 是 cos b B 与 cos a A 的等差中 项且8a ，ABC的面积为4 3，则bc的值为_ 【答案】4 5 【解析】由 cos c B 是 cos b B 以 cos a A 的等差中项，得 2 coscoscos cba BBA .由正弦定理，得 22 coscoscoscos coscos sin ABsinBsinAsin
22、CsinC BAABAB ， 由,cos cos0sin ABsinCBA所 以 12 cos, 23 AA .由 1 4 3 2 ABC SbcsinA ， 得16bc .由 余 弦 定 理 ， 得 2 222 2cosabcbcAbcbc，即 2 6416,4 5bcbc ，故答案为4 5. 10在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形 面积， 若三角形的三边长为a，b，c， 其面积Sp papbpc， 这里 1 2 pabc 已 知在ABC中，6BC ，2ABAC，则ABC面积的最大值为_ 【答案】12 【解析】由题意可知 1 6,2 ,63 2
23、acb pb，且26b则 13 63333 2222 bbb Sb 2 222 936369209 256 1616 bbb ，当且仅当 2 20b 即2 5b 时， min 12S，且22 56b，符合题意 11已知函数 sin 332sincos 22f xxxx，其中，若 f x在区间 2 , 63 上单调递减，则的最大值为_ 【答案】 5 6 【 解 析 】 sin222sincos 22sinf xxxxxx ， 由 3 2 2 22 kxk， 解 得 3 2 2 22 kxk， 2 63 x是 其 子 集 ， 故 2 26 32 2 23 k k ，解得 2 3 5 2 6 k k
24、 ，由于，故令0k 可求得的最大值为 5 6 . 12在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足sincosaBb A，则2sincosBC的 最大值是_ 【答案】1 【解析】由asinBbcosA，得sin sinsin cos ,tan1,ABBAA因为在三角形中，所以 4 A 即， 2sinBcosC= 3 2sincossin 4 CCC ， 3 0, 4 C ，所以 max sin1C。填 1. C C 组组 一、选择题 1如图，三角形ABC中，1AB ，3BC ，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD， 当ABC变化时，线段BD的长度最大值为 A.61B
25、.6C.61D.2 3 【答案】C 【解析】 设,ABCACB，则 2 42 3cosAC， 由正弦定理可得 sin sin 42 3cos ， 所以 20 342 3cos2342 3coscos 90BD 0 72 3cos2 3sin72 6sin45 所以 0 135时，BD取得的最大值61，故选 C. 高考数学培优专题库教师版 2在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且2sin cos2sinsin ,3CBAB cab，则ab的 最小值是（） A. 1 9 B. 1 3 C. 23 9 D. 23 9 【答案】B 【解析】2sinCcosB2sinAsinB
26、，又A(BC)，cosC 1 2 c3ab，9 abcab2 ab cos Cabab3ab解得 ab 1 3 所以选 B 3已知函数 1 cos(0)g xx 的图象过 1 ,2 2 ，若有 4 个不同的正数 i x满足 (01) i g xMM，且41,2,3,4 i xi，则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过 5 的概 率为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】D 【解析】由题意 1 1 cos2 2 ， 2 ，所以 1 cos1 sin 2 g xxx ，由 ,01 i g xMM，4 i x ， 不 妨 设 1234 xxxx， 则 12 3xx
27、， 34 7xx， 3142 2,2xxxx， 1423 4xxxx， 从 1234 ,x xx x中选两个有 6 种选法， 和大于 5 的有 24 ,x x 和 34 ,x x，其他 4 个和不超过 5，因此所求概率为 42 63 P ，故选 D 4已知函数 sin(0) 3 f xx 向左平移半个周期得 g x的图像，若 g x在0,上的 值域为 3 ,1 2 ，则的取值范围是（） A. 1 ,1 6 B. 2 3 , 3 2 C. 1 7 , 3 6 D. 5 5 , 6 3 【答案】D 【解析】由题意得 sinsinsin 333 g xxxx 由0, 333 xxx ， f x在0,
28、上的值域为 3 ,1 2 即最小值为 3 2 ，最大值为1，则 4 233 x ，得 55 63 综上的取值范围是 5 5 , 6 3 5如图，把画有函数 2sin(0,) 2 f xx 部分图象的纸片沿x轴折成直二面角， 若A、B两点之间的空间距离为2 6，则 4 3 f （） A. -2B.3C. -1D.3 【答案】C 【解析】设函数 yf x的周期为 2 T ,由 01f有 1 sin, 2 2 ,所以 5 6 , 在 折 叠 后 的 图 象 中 , 2 22 1 222 6 2 ABT , 解 出8, 4 T , 所 以 5 2sin 46 f xx ,则 4457 2sin2sin
29、2sin1 334666 f ,选 C. 6 已知函数 2 2cos 22f xx 给出下列命题： ,R f x 为奇函数； 3 0, 4 ， 2f xf x对xR恒成立； 12 ,x xR，若 12 2f xf x，则 12 xx的最小值为 4 ； 12 ,x xR，若 12 0f xf x，则 12 xxkkZ其中的真命题有（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数变形为 cos41f xx，不可能通过左右平移变为奇函数，所以 错。 8 时， cos 421 2 fxxfx 成立，所以对。 12 f xf x2，即 12 ,f xf x分别为最 大值 1 与最小值-1，所以 2
30、1 min | 24 T xx 成立，所以对。 0f x 即cos41, 2 k xxkZ ， 高考数学培优专题库教师版 21 2 k xx ，所以错。选 C. 二、填空题 7已知函数 2 sin2 3sin cossinsin 44 fxxxxxx ，若 00 0 2 xxx 为函 数 f x的一个零点，则 0 cos2x _ 【答案】 3 51 8 【 解 析 】 由 2 sin2 3sin cosf xxxxsinsin 44 xx ， 化 简 可 得 1 ( )2sin(2) 62 f xx ， 又 00 1 ()2sin(2)=0 62 f xx ， 得 0 1 sin(2)=-0
31、64 x ,又 0 0 2 x 得 0 5 2 666 x ，所以 0 20 66 x ，故 0 15 cos(2) 64 x 此时： 0000 3 51 cos2cos (2cos(2)cossin(2)sin 6666668 xxxx 8已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 3 C ，2c 当AC AB 取得最大值时， b a 的值为_ 【答案】23 【解析】设ABC的外接圆半径为R，则 4 3 2 sin3 c R C . 4 38 3 cos2 cos2sin cossin cos 33 AC ABbcAbABABA , 2 3 BA , 8 32 cos sin
32、33 AC ABAA 2 8 3314 3 coscossin4cos 3223 AAAA sin cosAA 2 32 34 313 2 1cos2sin2sin22cos22sin2cos2 33322 AAAAAA 4 3 sin 22 33 A . 24 0,02 33 AA , 5 2 333 A ， 则当2 32 A ， 即： 12 A 时，AC AB 取 得最大值为 4 3 2 3 ，此时ABC中， 7 , 12 B , 7 sinsin 1212 ab 231 7 sin 124 23 231 sin 12 4 b a . 9ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2A
33、B，则 2cb ba 取值范围是 _ 【答案】2,4 【解析】由正弦定理可知 sin2sin2sin2sinsin cos2sin cos sinsinsinsinsinsin ABcbCBBABB A baBABABA ，又2AB，则 2 2 sin cossin2 cos2sin cos 2cos sinsinsin ABBBBB B BBB ， 2sin2sin1 sinsin2cos BB ABB ，从而 2 21 4cos1 cos cb B baB ，又2AB，知3ABB，所以 0 3 B，则 1 cos1 2 B，换元 可令costB，则 22 11 minmax2 2121 4
34、1 |2,41 |4 t t cbcb tt aataat ，故本题应填 2,4 10如图，在扇形AOB中， 3 AOB ，1OA，点C为弧AB 上任意一点，D为OB上一点， 且CDOA，AOC，则ACCD 的取值范围是_ 【答案】 2 3 1, 6 【解析】由, 3 CDOAAOBAOC ，得 2 , 33 OCDODCCOD ， 在OCD中，由正弦定理，得 高考数学培优专题库教师版 22 ,0, 33333 CDsinACCDsin ， 设 2 cos 33 f ，则 2 1cos 33 f 易知函数 f在0, 6 上递 增 ， 在, 6 3 上 递 减 ， 所 以 当 6 时 ， f取
35、得 最 大 值 2 3 6 ， 又 2 3 01,1, 336 fff ，即ACCD 的取值范围为 2 3 1, 6 ，故答案为 2 3 1, 6 . 11 如图， 将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状， 下底AB是半圆的直径， 上底CD的 端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为_ 【答案】3 3 【 解 析 】 设 半 圆 圆 心 为O设(0),2 2 COBDOADOC ， 22 11 22sin2sin2 22 OADOBCOCD SSSS =4sin2sin2 4sin2sin2 (0) 2 f ，即求 f最大值。 4cos4cos24 2cos1 cos1f ，导数等于
36、0 只有一个极值点，即 3 ，所以 max3 3 3 ff 。填3 3。 12在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且满足sin12,cos5 22 CC abab， 则c _ 【答案】13 【解析】解：由题意可知： 12 sin 2 5 cos 2 ab C ab C ， 22 +可得： 22 22 14425 2 sincos 22 ab CC ， 22 可得： 22 14425 4 sincos 22 ab CC ， 则： 222 2222 1442514425 224cos2 169 sincossincos 2222 cababC CCCC ， 据此有：13c
37、. 13函数 sinf xAx（0， 2 ）的部分图象如图所示，将函数 f x的图 象向右平移 7 24 个单位后得到函数 g x的图象，若函数 g x在区间, 3 （ 3 ）上的值 域为1,2，则_ 【答案】 4 【解析】因为 732 2 2882 T T ，又由 33 0 844 fk ，再由2 8 fA ，所以 2sin 2 4 f xx ，则 7 2sin 22sin 2 2443 g xxx ，函数 g x在区间, 3 （ 3 ）上的值域 为1,2，必有2 364 ，故答案为 4 . 14在ABC中，a，b，c分别是角A， B，C的对边，ABC的面积为S， 22 tan8abCS，则 22 2 sinsin sin AB C _ 高考数学培优专题库教师版 【答案】2 【解析】由题意可知 22 sin1 8sin cos2 C ababC C ， 22 4 cos ab ab C ，由余弦定理： 222 cos 2 abc C ab ，可得 22 2 2 ab c ，又由正弦定理可得 2222 22 sinsin 2 sin abAB cC 。答案：2
