1、第第 2 课时课时简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 S2：sin 22sin cos . (2)公式 C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)公式 T2：tan 2 2tan 1tan2. 2常用的部分三角公式 (1)1cos 2sin2 2,1cos 2cos 2 2.(升幂公式) (2)1sin sin 2cos 2 2.(升幂公式) (3)sin21cos 2 2 ，cos21cos 2 2 ，tan21cos 2 1cos 2.(降幂公式) (4)asin bcos a2b2sin()，其中 sin b a2b2
2、，cos a a2b2.(辅助角公式) 微思考 1思考三角恒等变换的基本技巧 提示(1)变换函数名称：使用诱导公式 (2)升幂、降幂：使用倍角公式 (3)常数代换：如 1sin2cos2tan 4. (4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式 2进行化简求值时一般要遵循什么原则？ 提示异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)(2020全国改编)若为第四象限角，则 sin 20.() (2)R,1sin sin 2cos 2 2.( ) (3)R,2cos2cos 210.() (4)R，tan 22tan .
3、() 题组二教材改编 2sin 15cos 15等于() A1 4 B.1 4 C1 2 D.1 2 答案B 解析sin 15cos 151 2sin 30 1 4. 3已知 sin cos 1 5，0，则 cos 2等于( ) A24 25 B.24 25 C 7 25 D. 7 25 答案C 解析sin cos 1 5，sin 2cos21,0， sin 4 5，cos 212sin 212 4 5 27 25. 4已知 sin 22 3，则 cos 2 4 . 答案 1 6 解析方法一cos2 4 1 2 1cos 2 21 2(1sin 2) 1 6. 方法二cos 4 2 2 cos
4、 2 2 sin ， 所以 cos2 4 1 2(cos sin ) 2 1 2(12sin cos ) 1 2(1sin 2) 1 6. 题组三易错自纠 5计算： 4tan 12 3tan2 123 等于() A.2 3 3 B2 3 3 C.2 3 9 D2 3 9 答案D 解析原式2 3 2tan 12 1tan2 12 2 3tan 6 2 3 3 3 2 3 9 . 6(2020泸州模拟)若 tan 1 2，则 cos 2等于( ) A4 5 B3 5 C.4 5 D.3 5 答案D 解析tan 1 2， cos 2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 11
5、4 11 4 3 5. 题型一 三角函数式的化简 1(2020全国)已知(0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin 等于() A. 5 3 B.2 3 C.1 3 D. 5 9 答案A 解析由 3cos 28cos 5， 得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 2 3或 cos 2(舍去) 又因为(0，)，所以 sin 0， 所以 sin 1cos21 2 3 2 5 3 . 2(2020江苏改编)已知 sin2 42 3，则 sin 2的值是( ) A1 3 B.1 3 C2 3 D.2 3 答案B 解析sin2 42 3， 1cos 22
6、 2 2 3， 即1sin 2 2 2 3， sin 21 3. 3(2019全国)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin 等于() A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 答案B 解析由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12sin21，即 2sin cos 1sin2.因为 0， 2 ，所以 cos 1sin2，所以 2sin 1sin21sin2，解得 sin 5 5 ，故选 B. 42 1sin 4 22cos 4等于() A2cos 2B2sin 2 C4sin 22cos 2D2sin 24cos 2 答案B 解析2 1sin 4 22
7、cos 4 2 sin222sin 2cos 2cos22 222cos221 2 sin 2cos 22 4cos22 2|sin 2cos 2|2|cos 2|. 22， cos 20， sin 2cos 2 2sin 2 4 ，02 40， 原式2(sin 2cos 2)2cos 22sin 2. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征 (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式 子和三角函数公式之间的联系点 题型二 三角函数的求值 命题点 1给角求值 例 1 (1)cos 20cos 40co
8、s 100. 答案1 8 解析cos 20cos 40cos 100 cos 20cos 40cos 80 sin 20cos 20cos 40cos 80 sin 20 1 2sin 40cos 40cos 80 sin 20 1 4sin 80cos 80 sin 20 1 8sin 160 sin 20 1 8sin 20 sin 20 1 8. (2) cos 40 cos 25 1sin 40的值为( ) A1B. 3C. 2D2 答案C 解析原式 cos220sin220 cos 25cos 20sin 20 cos 20sin 20 cos 25 2cos 25 cos 25 2
9、. 命题点 2给值求值 例 2 (1)已知 cos 4 10 10 ， 0， 2 ，则 sin 2 3 . 答案 43 3 10 解析由题意可得 cos2 4 1cos 2 2 2 1 10，cos 2 2 sin 24 5，即 sin 2 4 5. 因为 cos 4 10 10 0， 0， 2 ， 所以 0 4，2 0， 2 ， 根据同角三角函数基本关系式，可得 cos23 5， 由两角差的正弦公式，可得 sin 2 3 sin 2cos 3cos 2sin 3 4 5 1 2 3 5 3 2 43 3 10 . (2)若 tan 1 tan 10 3 ， 4， 2 ，则 sin 2 4 2
10、cos2的值为 答案0 解析tan 1 tan 10 3 ， 4， 2 ， tan 3 或 tan 1 3(舍)， 则 sin 2 4 2cos2， sin 2cos 4cos 2sin 4 2 1cos 2 2 2 2 sin 2 2cos 2 2 2 2 2 (2sin cos ) 2(cos2sin2) 2 2 2 2 2sin cos sin2cos2 2 cos2sin2 sin2cos2 2 2 2 2 2tan tan21 2 1tan2 tan21 2 2 2 2 6 91 2 19 19 2 2 0. 命题点 3给值求角 例 3 已知，均为锐角，cos 2 7 7 ，sin
11、3 3 14 ，则 cos 2，2. 答案 1 7 3 解析因为 cos 2 7 7 ，所以 cos 22cos211 7. 又因为，均为锐角，sin 3 3 14 ， 所以 sin 21 7 ，cos 13 14， 因此 sin 22sin cos 4 3 7 ， 所以 sin(2)sin 2cos cos 2sin 4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 . 因为为锐角，所以 020，所以 02 2， 又为锐角，所以 220， 2sin 3cos ，又 sin2cos21， cos 2 13，sin 3 13， sin 4 sin 2cos 21 2 2 sin cos si
12、n cos 2cos2sin2 2 4cos 26 8 . (3)已知，(0，)，且 tan()1 2，tan 1 7，则 2的值为 答案3 4 解析tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 30， 00， 02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . 题型三 三角恒等变换的综合应用 例 4 已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若(0，)，且 f 4 8
13、2 2 ，求 tan 3 的值 解(1)因为 f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x cos 2xsin 2x1 2cos 4x 1 2(sin 4xcos 4x) 2 2 sin 4x 4 ， 所以函数 f(x)的最小正周期 T 2. 令 2k 24x 42k 3 2 ，kZ， 得k 2 16x k 2 5 16，kZ. 所以函数 f(x)的单调递减区间为 k 2 16， k 2 5 16 ，kZ. (2)因为 f 4 8 2 2 ， 所以 sin 4 1. 又(0，)， 所以 4 4 3 4 ， 所以 4 2， 故3 4 ， 因此 tan 3 tan 3 4 tan 3
14、1tan 3 4 tan 3 1 3 1 3 2 3. 思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合， 通过变换把 函数化为 f(x)Asin(x)b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等 特征，注意利用整体思想解决相关问题 跟踪训练 2 已知函数 f(x) 2 4 sin 4x 6 4 cos 4x. (1)求函数 f(x)在区间 4， 3 2 上的最值； (2)若 cos 4 5， 3 2 ，2 ，求 f 2 3 的值 解(1)由题意得 f(x) 2 4 sin 4x 6 4 cos 4x 2 2 1 2sin 4x 3 2 cos 4x 2 2
15、sin x7 12 . 因为 x 4， 3 2 ，所以 x7 12 3， 11 12 ， 所以 sin x7 12 3 2 ，1 ， 所以 2 2 sin x7 12 2 2 ， 6 4 ，即函数 f(x)在区间 4， 3 2 上的最大值为 6 4 ，最小值为 2 2 . (2)因为 cos 4 5， 3 2 ，2 ， 所以 sin 3 5，所以 sin 22sin cos 24 25， 所以 cos 2cos2sin216 25 9 25 7 25， 所以 f 2 3 2 2 sin 2 3 7 12 2 2 sin 2 4 1 2(sin 2cos 2) 1 2(cos 2sin 2) 1
16、 2 7 25 24 25 31 50. 求证：sin 2tan 2 1tan2 2 ，cos 1tan2 2 1tan2 2 ，tan 2tan 2 1tan2 2 . 证明：(1)sin sin 1 2sin 2cos 2 sin2 2cos 2 2 2tan 2 1tan2 2 . (2)cos cos 1 cos2 2sin 2 2 sin2 2cos 2 2 1tan2 2 1tan2 2 . (3)tan sin cos 2sin 2cos 2 cos2 2sin 2 2 2tan 2 1tan2 2 . 注意：(1)上述三个公式统称为万能公式 (2)上述公式左右两边定义域发生了变
17、化，由左向右定义域缩小了 例 1 已知2sin cos sin 3cos 5，求 3cos 24sin 2的值 解2sin cos sin 3cos 5， cos 0(否则 25) 2tan 1 tan 3 5， 解得 tan 2. 原式31tan 2 1tan2 42tan 1tan2 312 2 122 422 122 7 5. 例 2 已知 sin cos 1 2，2，求 tan 2和 tan 的值 解sin cos 1 2， 2tan 2 1tan2 2 1tan2 2 1tan2 2 1 2， 化简得 tan2 24tan 230. tan 2 4 1612 2 2 7， 2， 2
18、2， tan 20，即 tan 22 7， tan 2tan 2 1tan2 2 22 7 12 72 42 7 104 7 2 7 52 7 4 7 3 . 课时精练课时精练 1已知 sin cos 4 3，则 sin 2等于( ) A7 9 B2 9 C.2 9 D.7 9 答案A 解析(sin cos )212sin cos 1sin 2， sin 21 4 3 27 9. 2已知，为锐角，tan 4 3，则 cos 2等于( ) A. 7 25 B 7 25 C.24 25 D24 25 答案B 解析tan 4 3，tan sin cos ， sin 4 3cos ， sin2cos2
19、1， cos2 9 25， cos 22cos21 7 25. 3计算： 1cos210 cos 80 1cos 20等于( ) A. 2 2 B.1 2 C. 3 2 D 2 2 答案A 解析 1cos210 cos 80 1cos 20 sin210 sin 10 112sin210 sin210 2sin210 2 2 . 4若 sin 31 4，则 cos 32等于() A7 8 B1 4 C.1 4 D.7 8 答案A 解析cos 32cos 2 3 2 cos 2 3 2 12sin2 3 12 1 4 2 7 8. 5(多选)已知函数 f(x)sin xsin x 3 1 4，则
20、 f(x)的值不可能是( ) A1 2 B.1 2 C2D2 答案CD 解析方法一f(x)sin xsin x 3 1 4 sin x 1 2sin x 3 2 cos x 1 4 1 2sin 2x 3 2 sin xcos x1 4 1 2 1cos 2x 2 3 4 sin 2x1 4 3 4 sin 2x1 4cos 2x 1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin 2x 6 ， f(x) 1 2， 1 2 . 方法二f(x)sin xsin x 3 1 4 1 2 cos xx 3 cos xx 31 4 1 2 cos 2x 3 cos 31 4 1 2cos 2
21、x 3 1 4 1 4 1 2cos 2x 3 f(x) 1 2， 1 2 . 6(多选)下列说法不正确的是() A存在 xR，使得 1cos3xlog2 1 10 B函数 ysin 2xcos 2x 的最小正周期为 C函数 ycos 2 x 3 的一个对称中心为 3，0 D若角的终边经过点(cos(3)，sin(3)，则角是第三象限角 答案ABC 解析在 A 中，因为 cos x1,1， 所以 1cos3x0， 因为 log2 1 10log 210， 所以不存在 xR， 使得 1cos3xlog2 1 10，故 A 错误； 在 B 中，函数 ysin 2xcos 2x1 2sin 4x 的
22、最小正周期为 2，故 B 错误； 在 C 中，令 2 x 3 2k，kZ， 得 x 12 k 2 ，kZ， 所以函数 ycos 2 x 3 的对称中心为 12 k 2 ，0 ，kZ，故 C 错误； 在 D 中，因为 cos(3)cos 30，sin(3)sin 30，所以角是第三象限角，故 D 正确 7若 2，sin 3 10 10 ，则 tan 2. 答案 3 4 解析 2，sin 3 10 10 ， cos 1sin2 10 10 ， tan sin cos 3， tan 2 2tan 1tan2 23 132 3 4. 8已知 sin cos 2， 2，则 tan . 答案 3 3 解析
23、sin cos 212sin2， 2， sin 1 2或 sin 1(舍去)， 5 6 ，则 tan tan 5 6 tan 6 3 3 . 9(2021淄博模拟)已知 tan 43，则 sin 22cos2. 答案4 5 解析tan 4 3， tan tan 4 4 tan 4 tan 4 1tan 4 tan 4 31 13 1 2， sin 22cos22sin cos 2cos 2 sin2cos2 2tan 2 tan21 12 1 41 4 5. 10. 3tan 123 4cos2122sin 12 . 答案4 3 解析原式 3sin 12 cos 12 3 22cos2121s
24、in 12 2 3 1 2sin 12 3 2 cos 12 cos 12 2cos 24sin 12 2 3sin48 2cos 24sin 12cos 12 2 3sin 48 sin 24cos 24 2 3sin 48 1 2sin 48 4 3. 11已知 sin 4 2 10， 2，.求： (1)cos 的值； (2)sin 2 4 的值 解(1)sin 4 2 10， 即 sin cos 4cos sin 4 2 10， 化简得 sin cos 1 5， 又 sin2cos21， 由解得 cos 3 5或 cos 4 5， 因为 2，.所以 cos 3 5. (2)因为 2，co
25、s 3 5， 所以 sin 4 5， 则 cos 212sin2 7 25，sin 22sin cos 24 25， 所以 sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 17 2 50 . 12已知，为锐角，tan 2 1 2，cos() 5 5 . (1)求 cos 2的值； (2)求 tan()的值 解(1)tan 2 1 2， tan 2tan 2 1tan2 2 21 2 11 4 4 3. 又为锐角，且 sin2cos21，tan sin cos ， sin 4 5，cos 3 5， cos 2cos2sin2 7 25. (2)由(1)得，sin 22sin cos 2
26、4 25， 则 tan 2sin 2 cos 2 24 7 . ， 0， 2 ，(0，) 又 cos() 5 5 ， sin() 1cos22 5 5 ， 则 tan()sin cos2， tan()tan2() tan 2tan 1tan 2tan 2 11. 13设R，则“01”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析3sin cos 21 3sin 1cos 22sin2(2sin 3)sin 00sin 3 2 .当 0 3时，0sin 3 2 ；当 0sin 3 2 时，2k 32k，kZ 或 2 3 2k2k，kZ. 所以 01 的
27、充分不必要条件故选 A. 14在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 交单位圆 O 于点 P(a，b)，且 ab7 5，则 cos 2 2 的值是 答案24 25 解析由任意角的三角函数的定义得，sin b，cos a. 又 ab7 5，sin cos 7 5， 两边平方可得 sin2cos22sin cos 49 25， 即 1sin 249 25，sin 2 24 25. cos 2 2 sin 224 25. 15公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄 金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m
28、2sin 18，若 m2n4，则 m n 2cos2271等于 () A8B4C2D1 答案C 解析因为 m2sin 18，m2n4，所以 n4m244sin2184cos218. 所以 m n 2cos2271 2sin 18 4cos218 2cos2271 4sin 18cos 18 2cos2271 2sin 36 cos 54 2sin 36 sin 36 2. 16.如图，有一块以点 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开 辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另两点 B，C 落在半圆的圆周上已知半圆的 半径长为 20 m，如何选择关于点 O 对称的点 A，D 的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大， 最大值是多少？ 解连接 OB(图略)，设AOB， 则 ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ， 且 0， 2 . 因为 A，D 关于原点 O 对称， 所以 AD2OA40cos . 设矩形 ABCD 的面积为 S， 则 SADAB40cos 20sin 400sin 2. 因为 0， 2 ， 所以当 sin 21， 即 4时，S max400(m2) 此时 AODO10 2(m) 故当点 A，D 到圆心 O 的距离为 10 2 m 时，矩形 ABCD 的面积最大，其最大面积是 400 m2.
