1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 4.5函数的应用函数的应用(二二) 4.5.1函数的零点与方程的解 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.理解函数零点的概念理解函数零点的概念,会求给定函数的零点会求给定函数的零点. 2.掌握函数的零点、方程的解与函数的图象之掌握函数的零点、方程的解与函数的图象之 间的关系间的关系. 3.掌握函数零点的存在性定理掌握函数零点的存在性定理,会判断函数零点会判断函数零点 的个数的个数. 4.感受数学抽象的不同层次感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作感受直观想象的作 用用
2、,提高数形结合的意识提高数形结合的意识. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、函数零点的概念一、函数零点的概念 【问题思考】【问题思考】 1.我们已经学习过二次函数我们已经学习过二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点的零点,它是指它是指 使得使得ax2+bx+c=0的实数的实数x. (1)二次函数的零点是几何中的二次函数的零点是几何中的“点点”吗吗? 提示提示:不是不是,二次函数的零点是一个实数二次函数的零点是一个实数. 提示提示:f(x),g(x),h(x)都存在
3、都存在,p(x)不存在不存在. ？ 2.填空填空:对于函数对于函数y=f(x),我们把我们把使使 f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数 y=f(x)的零点的零点. 3.函数函数y=2x-5,y=x2-3x+2,y=2x-1,y=ln(x-2)的零点分别是什么的零点分别是什么? 它们的图象与它们的图象与x轴的交点坐标分别是什么轴的交点坐标分别是什么?方程方程2x-5=0,x2- 3x+2=0,2x-1=0,ln(x-2)=0的解与它们有何关系的解与它们有何关系? ？ 4.填空填空:方程方程f(x)=0有实数解有实数解函数函数y=f(x)有零点有零点函数函数y=f(x) 的图象的图象与与x轴
4、有公共点轴有公共点. 答案答案:B ？ 二、函数零点存在定理二、函数零点存在定理 【问题思考】【问题思考】 1.给出下列函数图象给出下列函数图象,根据图象分析判断根据图象分析判断: (1) (2) (3) (4) ？ (1)如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上的图象连续不断上的图象连续不断,且且f(a)f(b)0, 那么那么f(x)在区间在区间(a,b)内是否一定有零点内是否一定有零点?有多少个零点有多少个零点? 提示提示:一定有一定有,至少有一个至少有一个. (2)如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上的图象不连续上的图象不连续,但但f(a)f(b)0, 那么那么f(x)在区间
5、在区间(a,b)内是否一定有零点内是否一定有零点? 提示提示:不一定不一定. ？ 2.填空填空:函数零点存在定理函数零点存在定理 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是一条上的图象是一条连续不断连续不断的曲线的曲线, 且且有有 f(a)f(b)0,则函数则函数f(x)在区间在区间(a,b)内内() A.必有唯一零点必有唯一零点 B.一定没有零点一定没有零点 C.必有无数个零点必有无数个零点 D.可能有两个零点可能有两个零点 解析解析:当函数当函数f(x)在区间在区间a,b上的图象连续不断上的图象连续不断,但但f(a)f(b)0 时时,f(a)在区间在区间(a,b)内的零点情况
6、不确定内的零点情况不确定,可以没有零点可以没有零点,也可也可 能有零点能有零点,有零点的话有零点的话,其个数也不确定其个数也不确定. 答案答案:D ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)所有的函数都有零点所有的函数都有零点.( ) (2)若方程若方程f(x)=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根x1,x2,则函数则函数y=f(x)的零的零 点为点为(x1,0),(x2,0).( ) (3)若函数若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点内有零点,则一定有则一定有f(a)
7、f(b)0.( ) ？ (5)若若y=f(x)在区间在区间a,b上的图象连续上的图象连续,且是单调函数且是单调函数,则则f(x)在在 区间区间(a,b)内至多有一个零点内至多有一个零点.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 求求函数的零点函数的零点 ？ ？ 反思感悟反思感悟 求求函数零点的基本方法函数零点的基本方法 (1)求函数的定义域求函数的定义域; (2)令令f(x)=0,求出求出x的值的值; (3)判断判断x的值是否符合函数的定义域的值是否符合函数的定义域,若符合若符合,则其即为函数则其即为函数 的零点的零点. ？ 【变式训练【变式训练1】 若函数若函数f(x)
8、=x2+ax+b的两个零点是的两个零点是-1,4,则函则函 数数g(x)=bx-a的零点是的零点是. ？ 探究探究二二 求求函数零点所在的区间函数零点所在的区间 A.(3,4)B.(2,e) C.(1,2) D.(0,1) (2)根据表格内的数据根据表格内的数据,可以断定方程可以断定方程ex-x-3=0的一个解所在的的一个解所在的 区间是区间是() A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) ？ 解析解析:(1)因为因为f(1)=ln 2- 0,且函数且函数f(x)在区间在区间 (0,+)内的图象连续不断内的图象连续不断, 所以函数的零点所在区间为所以函数的零点所在区间为(1,
9、2). (2)构造函数构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.630, f(0)=1-3=-20,f(1)=2.72-4=-1.280, f(3)=20.08-6=14.080, 可知可知f(1)f(2)0,所以方程的一个解所在区间为所以方程的一个解所在区间为(1,2). 答案答案:(1)C(2)C ？ ？ 反思感悟反思感悟 判断判断函数的零点所在区间的三个步骤函数的零点所在区间的三个步骤 (1)代入代入:将区间端点值代入函数求出函数的值将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断判断:把所得的函数值相乘把所得的函数值相乘,并进行符号判断并进行符号
10、判断. (3)结论结论:若符号为负且函数的图象是连续的若符号为负且函数的图象是连续的,则在该区间内至则在该区间内至 少有一个零点少有一个零点. ？ 探究探究三三 判断判断函数零点的个数函数零点的个数 【例【例3】 求函数求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数的零点个数. 解解:(方法方法1)因为因为f(0)=1+0-2=-10, 所以所以f(x)在区间在区间(0,1)内一定存在零点内一定存在零点. 又又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间在区间(-1,+)内为单调递增函数内为单调递增函数, 故函数故函数f(x)有且只有一个零点有且只有一个零点. ？ (方法方法2)由由f(x)=
11、2x+lg(x+1)-2=0得得2-2x=lg(x+1). 在同一坐标系下分别画出函数在同一坐标系下分别画出函数h(x)=2-2x和和g(x)=lg(x+1)的草的草 图图. 由图象知由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一的图象有且只有一 个交点个交点,故故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点有且只有一个零点. ？ 反思感悟反思感悟 判断判断函数存在零点的两种方法函数存在零点的两种方法 (1)方程法方程法:若方程若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数的解可求或能判断解的个数,可通过可通过 方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个
12、数方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数. (2)图象法图象法:由由f(x)=g(x)-h(x)=0,得得g(x)=h(x),在同一坐标系内作在同一坐标系内作 出出y1=g(x)和和y2=h(x)的图象的图象,根据两个图象交点的个数来判定根据两个图象交点的个数来判定 函数零点的个数函数零点的个数. ？ ？ ？ x0,x3-1=0. (x-1)(x2+x+1)=0. x=1或或x2+x+1=0. 方程方程x2+x+1=0的根的判别式的根的判别式=12-4=-30,即即m1. 答案答案:m1 ？ 5.已知函数已知函数f(x)=x2-x-2a. (1)若若a=1,求函数求函数f(x)的零点的零点; (2)若若f(x)有零点有零点,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 解解:(1)当当a=1时时,f(x)=x2-x-2.令令f(x)=x2-x-2=0,得得x=-1或或x=2. 即函数即函数f(x)的零点为的零点为-1和和2.
