1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解利用三角函数的定义画正弦曲线的方法了解利用三角函数的定义画正弦曲线的方法. 2.能用能用“五点法五点法”画正弦函数和余弦函数的图象画正弦函数和余弦函数的图象. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 4.体会直观想象的过程体会直观想象的过程,加强直观想象能力和逻加强直观想象能力和逻 辑推理能力的培养辑推理能力的培养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探
2、究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、作正弦函数的图象一、作正弦函数的图象 【问题思考】【问题思考】 1.课本上是利用什么来比较精确地画出正弦函数的图象课本上是利用什么来比较精确地画出正弦函数的图象?其其 基本步骤是什么基本步骤是什么? 提示提示:利用正弦函数的定义利用正弦函数的定义.其基本步骤如下其基本步骤如下: 作出单位圆作出单位圆,O与与x轴正半轴的交点为轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上在单位圆上, 将点将点A绕着点绕着点O旋转旋转x0弧度至点弧度至点B,根据正弦函数的定义根据正弦函数的定义,点点B
3、的纵坐标的纵坐标y0=sin x0.由此由此,以以x0为横坐标为横坐标,y0为纵坐标画点为纵坐标画点,即得即得 函数图象上的点函数图象上的点T(x0,sin x0). ？ 等分单位圆等分单位圆,若把若把x轴上从轴上从0到到2这一段分成这一段分成12等份等份,使使x0的的 值分别为值分别为 ,它们所对应的角的终边与单位圆的它们所对应的角的终边与单位圆的 交点将圆周交点将圆周12等分等分. 按上述画点按上述画点T(x0,sin x0)的方法的方法,就可画出自变量取这些值时就可画出自变量取这些值时 对应的函数图象上的点对应的函数图象上的点. ？ 利用信息技术利用信息技术,可使可使x0在区间在区间0,
4、2上取到足够多的值而画上取到足够多的值而画 出足够多的点出足够多的点T(x0,sin x0),将这些点用光滑的曲线连接起来将这些点用光滑的曲线连接起来, 可得到比较精确的函数可得到比较精确的函数y=sin x,x0,2的图象的图象,如图如图. ？ 2.填空填空:正弦函数的图象正弦函数的图象叫做正弦曲线叫做正弦曲线,是一条是一条“波浪起伏波浪起伏”的的 连续光滑曲线连续光滑曲线. ？ 答案答案:B ？ 二、二、“五点法五点法”作正弦函数的图象作正弦函数的图象 【问题思考】【问题思考】 1.在确定正弦函数的图象时在确定正弦函数的图象时,哪些点是关键点哪些点是关键点? 2.“五点法五点法”作正弦函数
5、图象的一般步骤是什么作正弦函数图象的一般步骤是什么? 提示提示:列表列表描点描点连线连线. 3.利用五点法作正弦函数图象的关键是什么利用五点法作正弦函数图象的关键是什么? 提示提示:利用五点法作图的关键是抓住三角函数中的最值点以利用五点法作图的关键是抓住三角函数中的最值点以 及与及与x轴的交点轴的交点. ？ ？ 答案答案:A ？ 三、余弦函数的图象三、余弦函数的图象 【问题思考】【问题思考】 1.如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象? 2.余弦函数图象的关键点是什么余弦函数图象的关键点是什么? ？ 3.填空填空:余弦函数余弦函数y
6、=cos x,xR的图象叫做的图象叫做余弦曲线余弦曲线. 它它是与是与正弦曲线正弦曲线具有相同形状的具有相同形状的“波浪起伏波浪起伏”的连续光滑曲线的连续光滑曲线. ？ 4.做一做做一做:不等式不等式cos x0,x0,2的解集为的解集为. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)正弦函数正弦函数y=sin x(xR)的图象关于的图象关于x轴对称轴对称.( ) (2)正弦函数正弦函数y=sin x与函数与函数y=sin(-x)的图象完全相同的图象完全相同.( ) (3)余弦函数余
7、弦函数y=cos x的图象与的图象与x轴有无数个交点轴有无数个交点.( ) (4)余弦函数余弦函数y=cos x的图象与的图象与y=sin x的图象形状和位置都不的图象形状和位置都不 一样一样.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 【例【例1】 用用“五点法五点法”作出下列函数的简图作出下列函数的简图. (1)y=1+2sin x,x0,2; (2)y=2+cos x,x0,2. 分析分析:在区间在区间0,2上找出五个关键点上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即用光滑的曲线连接即 可可. 探究一探究一 “五点法五点法”画正弦函数、余弦函数的图象画正弦函数、余弦函数的图象 ？ ？ ？
8、反思感悟反思感悟 1.“五点法五点法”是作三角函数图象的常用方法是作三角函数图象的常用方法,“五点五点”即三角函数即三角函数 图象与图象与x轴的交点、最高点和最低点轴的交点、最高点和最低点. 2.列表、描点、连线是列表、描点、连线是“五点法五点法”作图过程中的三个基本环节作图过程中的三个基本环节, 注意用光滑的曲线连接五个关键点注意用光滑的曲线连接五个关键点. ？ ？ 探究二探究二 利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式利用正弦函数、余弦函数的图象解不等式 ？ ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 用用三角函数的图象解三角不等式的方法三角函数的图象解三角不等式的方法:(1)作出相应正弦函作出相应正弦函
9、数或余弦函数在区间数或余弦函数在区间0,2上的图象上的图象;(2)写出适合不等式在区写出适合不等式在区 间间0,2上的解集上的解集;(3)根据诱导公式一写出不等式的解集根据诱导公式一写出不等式的解集. ？ ？ 探究探究三三 正弦正弦函数、余弦函数的图象与其他曲线交点的问题函数、余弦函数的图象与其他曲线交点的问题 【例【例3】 判断方程判断方程sin x=lg x的解的个数的解的个数. 分析分析:在同一平面直角坐标系中准确作出函数在同一平面直角坐标系中准确作出函数y=sin x,y=lg x 的图象的图象,观察两个函数图象的交点个数可得结论观察两个函数图象的交点个数可得结论. ？ 解解:先用先用
10、“五点法五点法”画出函数画出函数y=sin x的图象的图象,再在同一平面直角再在同一平面直角 坐标系内描出坐标系内描出 ,并用光滑曲线连接得到并用光滑曲线连接得到 y=lg x的图象的图象,如图如图. 由图象可知方程由图象可知方程sin x=lg x的解的个数为的解的个数为3. ？ 反思感悟反思感悟 1.确定方程解的个数问题确定方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方常借助函数的图象用数形结合的方 法求解法求解. 2.三角函数的图象是研究函数的重要工具三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便通过图象可较简便 地解决问题地解决问题,这正是数形结合思想方法的应用这正是数形结合思
11、想方法的应用. ？ 【变式训练【变式训练3】 判断方程判断方程x2-cos x=0的解的个数的解的个数. 解解:先用先用“五点法五点法”画出函数画出函数y=cos x的图象的图象,再在同一平面直角再在同一平面直角 坐标内画出坐标内画出y=x2的图象的图象,如图如图.由图象可知方程由图象可知方程x2=cos x,即方即方 程程x2-cos x=0的解的个数为的解的个数为2. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 画函数的图象不准致画函数的图象不准致错错 根据图象可知方程有根据图象可知方程有4个根个根. 以上求解过程中都有哪些以上求解过程中都有哪些 错误错误?出错的原因是什么出错的原因是什么? 你如何改
12、正你如何改正?你如何防范你如何防范? ？ 答案答案:C ？ 防范措施防范措施 确定确定方程解的个数问题方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方常借助函数的图象用数形结合的方 法求解法求解,准确画图是关键准确画图是关键. ？ 【变式训练】【变式训练】 方程方程cos x=lg x的实根的个数是的实根的个数是() A.1B.2C.3D.无数无数 解析解析:如图如图,作出函数作出函数y=cos x和和y=lg x的图象的图象,由图象可知两条由图象可知两条 曲线有曲线有3个交点个交点,故方程有故方程有3个实根个实根. 答案答案:C ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 答案答案:C ？ 2.在同一平面直角坐标系内在同一平面直角坐标系内,函数函数y=sin x,x0,2与与y=sin x,x2,4的图象的图象() A.重合重合 B.形状相同形状相同,位置不同位置不同 C.关于关于y轴对称轴对称 D.形状不同形状不同,位置不同位置不同 解析解析:根据正弦曲线的作法可知函数根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x0,2与与 y=sin x,x2,4的图象只是位置不同的图象只是位置不同,形状相同形状相同. 答案答案:B ？ 答案答案:两两 ？ ？ 描点连线描点连线,如图如图.
