1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的 内涵与思想. 2.体会极限思想,会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 5.1.2导数的概念及其几何意义 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享 第第1讲描述运动的基
2、本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+x,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ x).这时,x的变化量为x,y的变化量为y=f(x0+x)-f(x0).我们把比值,即 =叫做函数y=f(x)从x0到x0+x的平均变化率. 2.实质:函数值的变化量与自变量的变化量之比. 作用:刻画函数值在区间x0,x0+x上变化的快慢. y x y x 00 ( )- () f xx f x x 1 |函数的平均变化率 第第1讲描述
3、运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率) 如果当x0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称 y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为 瞬时变化率),记作f(x0)或y,即f(x0)=. y x y x 0 x x 0 lim x y x 0 lim x 00 ( )- () f xx f x x 2 |函数在某点处的导数 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的
4、基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x),如果当点P(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点 P0(x0,f(x0)时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T(T是 直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 2.函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f(x0).这就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 0 lim x 00 (
5、)- () f xx f x x 3 |函数在某点处的导数的几何意义 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个唯一确定 的数.这样,当x变化时,y=f(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y =f(x)的导函数有时也记作y,即f(x)=y=. 0 lim x ( )- ( ) f xx f x x 4 |导函数的定义 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述
6、运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.函数y=从x=1到x=2的平均变化率为.() 提示:平均变化率为=-,故结论错误. 2.函数y=x-在x=1处的瞬时变化率为1.() 提示:因为y=(1+x)-=x+, 所以=1+. 所以=2,所以f(1)=2, 即函数y=x-在x=1处的瞬时变化率为2. 1 x 1 2 y x 1 -1 2 2-1 1 2 1 x 1 1x 1 1- 1 1 x x y x 1 x x x x 1 1x 0 lim x y x 0 lim x 1 1 1x 1 x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ”
7、。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 3.函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)是一个常数.() 提示:由导数的定义知,当x0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,此确 y x 定的值为函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0),因此结论正确. 4.函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值.() 提示:由导函数的定义知结论正确. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第
8、五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1|多角度理解导数的概念 导数的概念是高中数学中的重要概念之一,我们需要从以下几个方面加以理解: 1.函数y=f(x)在x=x0处可导,必须满足两个条件: (1)f(x)在x0处及其附近有定义; (2)当x0时,的极限存在. 2.x是自变量x的改变量,且x0;y是函数值的改变量,可以为0. 3.导数定义的等价形式 y=; y=; y x -0 lim x ( )- ( ) - f x f xx x -0 lim x ( - )- ( ) - f xx f x x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运
9、动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 y=. 4.x与y要相互对应,即自变量之差与函数值之差要相互对应,例如,若2x=x1-x0, 则y=f(x1)-f(x0)=f(x0+2x)-f(x0). 0 lim xx 0 0 ( )- () - f x f x x x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 设函数f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值. (1); (2). 0 lim x 00 (-2 )- () f xx f x x 0 lim
10、 h 00 ()- (- )f xh f x h h 思路点拨 根据导数的概念求解,利用已知与所求之间的关系进行合理转化,进而求出极限 值. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)原式= =-2(x0时,-2x0) =-2f(x0). (2)原式= = =+ =+ =f(x0)+f(x0)=2f(x0). 0 lim x 00 (-2 )- () 1 -(-2 ) 2 f xx f x x -20 lim x 00 (-2 )- () -2 f xx f x x 0 l
11、im h 0000 ()- ()()- (- )f xh f xf xf x h h 0 lim h 0000 ()- ()()- (- )f xh f xf xf x h hh 0 lim h 00 ()- ()f xh f x h 0 lim h 00 ()- (- )f xf x h h 0 lim h 00 ()- ()f xh f x h -0 lim h 00 (- )- () - f x h f x h 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 陷阱分析利用导数的定义解
12、题时,要注意增量x的形式是多种多样的,但不论 x是哪种形式,y必须是与之对应的形式.解题时容易因不能准确分析和把握给定 的极限式与导数定义的关系,盲目套用导数的定义导致解题错误,解决这类问题 的关键就是等价变形,使问题转化. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 设函数y=f(x)在x=x0处可导,且=1,求f(x0). 解析 = =-3f(x0)=1, f(x0)=-. 0 lim x 00 (-3 )- () f xx f x x 0 lim x 00 (-3 )- () f
13、 xx f x x 0 lim x 00 (-3 )- () (-3) -3 f xx f x x 1 3 易错警示 注意导数定义中x与y相互对应,即分式的分母一定是自变量的增量(x0+x)-x0, 分子为函数值的增量f(x0+x)-f(x0). 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 2|求函数在某点处的导数 1.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的增量y=f(x0+x)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)求极限. 以上三个步骤可简称为“差、商、
14、极限”. 2.求函数在某一点处的导数,还可以先求出函数的导数,再计算这点的导数值. y x 00 ( )- () f xx f x x 0 lim x y x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 (1)已知函数f(x)=x-在x=1处的导数f(1)=2,求a的值; (2)已知f(x)=3x2,f(x0)=6,求x0的值. a x 思路点拨 利用导数的定义,求出函数在某点处的导数,进而利用条件求出未知数的值. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概
15、念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)y=(1+x)- =x+a-=x+, =1+, f(1)=1+a=2,a=1. (2)f(x0)=(6x0+3x)=6x0=6,x0=1. 1 a x 1- 1 a 1 a x 1 a x x y x 1 a x x x x 1 a x 0 lim x y x 0 lim x 1 1 a x 0 lim x 00 ( )- () f xx f x x 0 lim x 22 00 3( ) -3 xxx x 0 lim x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运
16、动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 3|求曲线的切线 1.曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程: (1)点(x0,f(x0)为切点; (2)切线斜率k=f(x0); (3)切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2.曲线f(x)过点P(x0,f(x0)的切线方程: (1)该点可能是切点,也可能不是切点; (2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关; (3)求切线方程的一般步骤: 设出切点(x1,f(x1); 求出函数y=f(x)在点(x1,f(x1)处的导数f(x1); 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的
17、基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 写出切线方程:y-f(x1)=f(x1)(x-x1),将(x0,f(x0)代入,求得x1; 将x1代入切线方程,化简得切线方程. 3.注意:(1)直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线的切线,如图中的直 线l1. (2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图中的 直线l2,N是切点. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 已知
18、曲线y=x3+. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 1 3 4 3 思路点拨 (1)先求出y=x3+的导函数y,再将x=2代入y求得切线的斜率,最后求切线方程; (2)先求出切点坐标,再求切线方程. 1 3 4 3 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)由题意得,y= = =x2. 点P(2,4)在曲线y=x3+上, 在点P(2,4)处的切线斜率为yx=2=22=4, 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-
19、2), 即4x-y-4=0. 0 lim x 33 1414 ( )- 3333 xxx x 0 lim x 223 1 ( )( ) 3 xxxxx x 0 lim x 22 1 ( ) 3 xxxx 1 3 4 3 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 (2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y =, 切线方程为y-=(x-x0), 1 3 4 3 3 00 14 , 33 xx 0 x x 2 0 x 3 0 14 33 x 2 0 x 即y
20、=x-+, 点P(2,4)在切线上, 4=2-+, 即-3+4=0,+-4+4=0, 即(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2 0 x 2 3 3 0 x 4 3 2 0 x 2 3 3 0 x 4 3 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 易错警示 求过点(x0,y0)的切线方程,如果点在已知曲线上,容易认为该点就是切点进行求解 而造成失误. 求曲线的切线方程,首先要区分是“在某点”还是“过某点”.如果是“过某 点”,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进 而求出切线方程.
