1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 第第1课时课时周期性与奇偶性周期性与奇偶性 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数会求函数y=Asin(x+)及及y=Acos(x+)的周的周 期期. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数的奇偶性借助图象理解正弦函数、余弦函数的奇偶性, 并会判断并会判断. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,加强逻辑推理能力和数加强逻辑推理能力和数 学运算能力
2、的培养学运算能力的培养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、函数的周期性一、函数的周期性 【问题思考】【问题思考】 1.如果函数如果函数f(x)满足满足f(5+3)=f(5),那么那么3是是f(x)的周期吗的周期吗? 提示提示:不是不是.必须满足当必须满足当x取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时,都有都有 f(x+3)=f(x),才可以说才可以说3是是f(x)的周期的周期. ？ 2.填空填空:(1)一般地一般地,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,如果
3、存在一个如果存在一个非零非零 常数常数T ,使得对每一个使得对每一个xD,都有都有x+TD,且且 f(x+T)=f(x) ,那么那么 函数函数f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数,非零常数非零常数T 叫做叫做这个函数的周期这个函数的周期. (2)如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个最小的正数最小的正数,那那 么这个最小正数叫做么这个最小正数叫做f(x)的的最小正周期最小正周期. ？ ？ 二、正弦函数、余弦函数的周期性二、正弦函数、余弦函数的周期性 【问题思考】【问题思考】 1.函数函数y=sin x和和y=cos x是周期函数吗是周期函数吗?若是若是,请
4、给出证明请给出证明;若不若不 是是,请说明理由请说明理由. 提示提示:是是.sin(x+2)=sin x,cos(x+2)=cos x, y=sin x和和y=cos x都是周期函数都是周期函数,且且2就是它们的一个周期就是它们的一个周期. ？ 2.函数函数f(x)=Asin(x+)和和f(x)=Acos(x+)(A0,0)是周期是周期 函数吗函数吗?若是若是,请给出证明请给出证明;若不是若不是,请说明理由请说明理由. ？ 3.填空填空:正弦函数是正弦函数是周期周期函数函数,2k(kZ,且且k0)都是它的周期都是它的周期, 最小正周期是最小正周期是2. 类似地类似地,余弦函数也是余弦函数也是周
5、期周期函数函数,2k(kZ,且且k0)都是它的周都是它的周 期期,最小正周期是最小正周期是2. 答案答案: ？ 三、函数的奇偶性三、函数的奇偶性 【问题思考】【问题思考】 1.根据诱导公式三可知根据诱导公式三可知,对于对于xR,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, 这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质? 提示提示:奇偶性奇偶性,正弦函数正弦函数y=sin x是奇函数是奇函数,余弦函数余弦函数y=cos x是偶是偶 函数函数. 3.填空填空:正弦函数是正弦函数是奇函数奇函数,余弦函数是余弦函数是偶函数偶函数. ？ 四、知识拓展四、知识
6、拓展 【问题思考】【问题思考】 ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)因为函数因为函数f(x)=x2满足满足f(-3+6)=f(-3),所以所以f(x)=x2是以是以6为周期为周期 的周期函数的周期函数.( ) (2)正弦函数正弦函数y=sin x(xR)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称.( ) (3)任何周期函数都有最小正周期任何周期函数都有最小正周期.( ) (4)正弦函数正弦函数y=sin x(xR)的图象关于原点成中心对称的图象关于原点成中心对称.( ) ？ 合作合作
7、探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 求求三角函数的周期三角函数的周期 ？ ？ (2)作出函数作出函数y=|cos x|的图象如图所示的图象如图所示, 观察图象可知此函数的周期是观察图象可知此函数的周期是. ？ 1.在例在例1(2)中中,把函数把函数y=|cos x|(xR)改为改为y=|sin x|(xR),则最则最 小正周期为多少小正周期为多少? 解解:利用图象法利用图象法,画出函数画出函数y=|sin x|的图象如图所示的图象如图所示,观察图象观察图象 可知该函数的最小正周期是可知该函数的最小正周期是. ？ 2.在例在例1(2)中中,将函数将函数y=|cos x|(xR)改为改为y
8、=|sin x-2|(xR),则则 最小正周期是多少最小正周期是多少? 解解:因为因为-1sin x1,所以所以y=|sin x-2|=2-sin x.画出画出y=2-sin x的的 图象图象(图略图略)可知最小正周期为可知最小正周期为2. ？ 反思感悟反思感悟 求求三角函数周期的方法三角函数周期的方法:(1)定义法定义法,即利用周期函数的定义求即利用周期函数的定义求 解解. (2)公式法公式法,形如函数形如函数y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)(A,是是 常数常数,A0,0)的周期的周期 (3)观察法观察法,即通过观察函数的图象求其周期即通过观察函数的图象求其周期. ？ 【变式训练
9、【变式训练1】 下列函数是以下列函数是以为周期的函数是为周期的函数是() A.y=sin xB.y=|sin x+2| C.y=cos 2x+2D.y=cos 3x-1 答案答案:C ？ 探究探究二二 判断判断三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 分析分析:(1)先化简先化简,再判断再判断;(2)先求定义域先求定义域,再判断再判断. ？ ？ 反思感悟反思感悟 判断判断函数的奇偶性应把握好两个关键点函数的奇偶性应把握好两个关键点:(1)看函数的定义域看函数的定义域 是否关于原点对称是否关于原点对称;(2)看看f(x)与与f(-x)的关系的关系.对于三角函数奇对于三角函数奇 偶性的判断偶性的判断,有时
10、可根据诱导公式先将函数式化简再判断有时可根据诱导公式先将函数式化简再判断. ？ A.奇函数奇函数B.偶函数偶函数 C.非奇非偶函数非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (2)已知已知aR,函数函数f(x)=sin x-|a|(xR)为奇函数为奇函数,则则a=. ？ 所以所以f(x)是偶函数是偶函数,故选故选B. (2)函数定义域为函数定义域为R.f(x)为奇函数为奇函数, f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|. |a|=0.a=0. 答案答案:(1)B(2)0 ？ 探究三探究三 三角函数三角函数周期性与奇偶性的综合周期性与奇偶性的综合 ？ 反
11、思感悟反思感悟 三角函数三角函数的奇偶性与周期性常结合考查的奇偶性与周期性常结合考查,解题时注意相关性解题时注意相关性 质的灵活运用质的灵活运用. ？ 答案答案:B ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 三角函数变形不等价导致判断奇偶性错误三角函数变形不等价导致判断奇偶性错误 f(-x)=f(x).f(x)是偶函数是偶函数. 以上求解过程中都有哪些错误以上求解过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:忽视函数的定义域导致错解忽视函数的定义域导致错解. ？ 定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称. 该函数是非奇非偶函数该函数是非奇
12、非偶函数. 防范措施防范措施 判断判断函数的奇偶性函数的奇偶性,要按函数奇偶性的定义加以判断要按函数奇偶性的定义加以判断,一般不一般不 要把函数式化简要把函数式化简,若要化简若要化简,则应注意化简前后的等价性则应注意化简前后的等价性.如本如本 例例,若直接将函数式化为若直接将函数式化为y=cos x,则易出现判断该函数为偶函则易出现判断该函数为偶函 数的错误数的错误. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列是定义在下列是定义在R上的四个函数图象的一部分上的四个函数图象的一部分,其中不是周期其中不是周期 函数的是函数的是() 答案答案:D ？ f(x)=-cos 2x. 又又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), f(x)是最小正周期为是最小正周期为的偶函数的偶函数. 答案答案:B ？ 答案答案:D ？ 答案答案: ？ ？
