1、 ？ 第第3课时课时函数的概念与性质函数的概念与性质 知识梳理知识梳理构建体系构建体系 专题归纳专题归纳核心突破核心突破 ？ 知识梳理知识梳理构建体系构建体系 ？ 知识网络知识网络 ？ 要点梳理要点梳理 1.什么是函数什么是函数?函数的三要素是什么函数的三要素是什么?如何判断两个函数为同如何判断两个函数为同 一函数一函数? 提示提示:(1)函数的定义函数的定义:一般地一般地,设设A,B是非空的实数集是非空的实数集,如果对于如果对于 集合集合A中的任意一个数中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系按照某种确定的对应关系f,在集合在集合B 中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应和它对应,那
2、么就称那么就称f:AB为从集合为从集合A 到集合到集合B的一个函数的一个函数,记作记作y=f(x),xA. (2)函数三要素函数三要素:定义域、对应关系、值域定义域、对应关系、值域. (3)如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致并且对应关系完全一致,那么那么 这两个函数是同一个函数这两个函数是同一个函数. ？ 2.函数有哪些表示法函数有哪些表示法? 提示提示:函数的表示方法有函数的表示方法有:解析法、图象法、列表法解析法、图象法、列表法. ？ 3.什么是增函数什么是增函数?什么是减函数什么是减函数?什么是函数的单调性与单调什么是函数的单调性与单调 区间区间?请完
3、成下表请完成下表: ？ ？ 4.什么是函数的最大值什么是函数的最大值?什么是函数的最小值什么是函数的最小值?请完成下表请完成下表: ？ 5.什么是奇函数什么是奇函数?什么是偶函数什么是偶函数?它们的图象各有什么特征它们的图象各有什么特征? 请完成下表请完成下表: ？ 6.幂函数的定义是什么幂函数的定义是什么?其一般性质如何其一般性质如何? 提示提示:(1)函数函数y=x叫做幂函数叫做幂函数,其中其中x是自变量是自变量,是常数是常数. (2)幂函数的一般性质幂函数的一般性质: 所有的幂函数在区间所有的幂函数在区间(0,+)内都有定义内都有定义,图象都过图象都过(1,1)点点; 若若0,则则y=x
4、在区间在区间(0,+)内单调递增内单调递增,图象过图象过(0,0)点点;若若 0,则则 函数函数f(x)在在D上是增函数上是增函数.( ) (6)在闭区间上单调的函数在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到其最值一定在区间端点取到.( ) (7)函数函数y=x2,x(0,+)是偶函数是偶函数.( ) (8)偶函数的图象不一定过原点偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点奇函数的图象一定过原点. ( ) ？ (9)若函数若函数y=f(x+a)是偶函数是偶函数,则函数则函数y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x=a对称对称.( ) (10)若函数若函数y=f(x+b)是奇函数是
5、奇函数,则函数则函数y=f(x)的图象关于点的图象关于点(b,0) 中心对称中心对称.( ) (11)幂函数的图象一定经过幂函数的图象一定经过(1,1)和和(0,0)点点.( ) ？ 专题归纳专题归纳核心突破核心突破 ？ 专题整合专题整合 专题一函数的概念 ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)已知函数的解析式已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式则构造使解析式有意义的不等式(组组) 求解求解. (2)对实际问题对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组组)求解求解. 2.求函数解析式常用的方法求函数解
6、析式常用的方法 (1)待定系数法待定系数法; (2)换元法换元法(换元后要注意新元的取值范围换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法配凑法. ？ 答案答案:D ？ 专题二函数的性质及其应用 (1)求实数求实数m和和n的值的值; (2)求函数求函数f(x)在区间在区间-2,-1上的最值上的最值. ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 函数函数的奇偶性与单调性的差异的奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研究这一点与研究 函数的单调性不同函数的单调性不同,从这个意义上说从这个意义上说,单调性是函数的单调性是函数的“局部局部” 性质性
7、质,而奇偶性是函数的而奇偶性是函数的“整体整体”性质性质,只有对函数的定义域内只有对函数的定义域内 的每一个的每一个x值值,都有都有f(-x)=-f(x)(或或f(-x)=f(x),才能说才能说f(x)是奇函是奇函 数数(或偶函数或偶函数). ？ (1)求实数求实数m的值的值; (2)若函数若函数f(x)在区间在区间-1,|a|-2上单调递增上单调递增,试确定试确定a的取值范围的取值范围. ？ 解解:(1)当当x0, 所以所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又因为又因为f(x)为奇函数为奇函数,所以所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x, 即即f(x)=x2+2x,故故
8、m=2. (2)依题意依题意,要使函数在区间要使函数在区间-1,|a|-2上单调递增上单调递增, 解得解得-3a-1或或1a3. 因此因此a的取值范围是的取值范围是-3,-1)(1,3. ？ 专题三函数的图象及其应用 【例【例3】 设函数设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3). (1)证明证明f(x)是偶函数是偶函数; (2)画出这个函数的图象画出这个函数的图象; (3)指出函数指出函数f(x)的单调区间的单调区间,并说明在各个单调区间上并说明在各个单调区间上f(x)是是 单调递增的还是单调递减的单调递增的还是单调递减的; (4)求函数求函数f(x)的值域的值域. 分析分析:(1)由偶
9、函数的定义证明由偶函数的定义证明;(2)可利用偶函数图象的对称性可利用偶函数图象的对称性 和二次函数图象及性质画出函数和二次函数图象及性质画出函数f(x)的图象的图象;(3)(4)数形结合数形结合 求解求解. ？ (1)证明证明:f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即即f(-x)=f(x), 故故f(x)是偶函数是偶函数. (2)解解:当当x0时时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2; 当当x0时时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 根据二次函数的作图方法根据二次函数的作图方法, 可可得函数图象得函数图象如图如图. ？ (3)解解:函数函数
10、f(x)的单调区间为的单调区间为-3,-1),-1,0),0,1),1,3. f(x)在区间在区间-3,-1)和和0,1)内单调递减内单调递减, 在在区间区间-1,0),1,3上单调递增上单调递增. (4)解解:当当0 x3时时, 函数函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为的最小值为-2,最大值为最大值为f(3)=2; 当当-3x0的解集的解集; (5)求当求当x1,5)时函数时函数f(x)的值域的值域. ？ (3)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是2,4. (4)由图象可知由图象可知, f(x)0的解集为的解集为x|0 x4. (5)因为因为f(5)=54,所以由图象可知所以由图象可
11、知, 函数函数f(x)在区间在区间1,5)内的值域为内的值域为0,5). ？ 高考体验高考体验 考点一函数的概念与表示 答案答案:-3,1 ？ 考点二函数的性质 2.(2017全国全国高考高考)函数函数f(x)在在(-,+)单调递减单调递减,且为奇函数且为奇函数, 若若f(1)=-1,则满足则满足-1f(x-2)1的的x的取值范围是的取值范围是() A.-2,2B.-1,1 C.0,4 D.1,3 解析解析:因为因为f(x)为奇函数为奇函数,所以所以f(-1)=-f(1)=1, 于是于是-1f(x-2)1等价于等价于f(1)f(x-2)f(-1). 又又f(x)在在(-,+)单调递减单调递减,
12、所以所以-1x-21,即即1x3. 所以所以x的取值范围是的取值范围是1,3. 答案答案:D ？ 3.(2014全国全国高考高考)已知偶函数已知偶函数f(x)在在0,+)单调递减单调递减,f(2)=0, 若若f(x-1)0,则则x的取值范围是的取值范围是. 解析解析:f(x)是偶函数是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|). f(x-1)0可化为可化为f(|x-1|)f(2). 又又f(x)在在0,+)上单调递减上单调递减, |x-1|2,解得解得-2x-12, 即即-1xf(0)对任意的对任意的x(0,2都成都成 立立,则则f(x)在在0,2上是增函数上是增函数”为假命题的一个函数是为假
13、命题的一个函数是. 满足满足f(x)f(0),x(0,2. 但但f(x)在在0,2上不是增函数上不是增函数. ？ 考点三函数的应用 5.(2015北京高考北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录下表记录 了该车相邻两次加油时的情况了该车相邻两次加油时的情况. 注注:“累计里程累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内在这段时间内,该车每该车每100千米平均耗油量为千米平均耗油量为() A.6升升B.8升升C.10升升D.12升升 ？ 解析解析:因为第一次油箱加满因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时所以第二次的加油量即为该段时 间内的耗油量间内的耗油量,故耗油量故耗油量V=48升升. 而这段时间内行驶的里程数而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米千米). 所以在这段时间内所以在这段时间内, 该该车每车每100千米平均耗油量千米平均耗油量为为 (升升). 故选故选B. 答案答案:B
