1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 第二课时函数的最大第二课时函数的最大(小小)值值 课标要求素养要求 1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关 系. 区别函数的极值和最大(小)值， 借助于求函数的最大(小)值的运 算，提升学生的数学运算和直 观想象素养. 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 观察如图所示的函数yf(x)，x3，2的图象，回忆函数最值的定义，回答下列 问题： 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 问题1图中所示函数最值点与最值分别是什么？ 提示最大
2、值点是x2，最大值是3； 最小值点是x0，最小值是3. 问题2图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ 提示极大值点是x2，极大值是2； 极小值点是x0，极小值是3. 问题3一般地，函数的最值与函数的极值有什么关系？ 提示函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值. 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 1. (1)函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在_处或_处取得. (2)求函数yf(x)在a，b上最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的_. 将函数yf(x)的各极值与_的函数值f(a)，f(b)
3、比较，其中最大的一个 是_，最小的一个是_. 端点极值点 极值 端点处 最大值 函数的最大值与最小值最多只有一个，极大值与极小值则可能有多个 函数f(x)在闭区间a，b上的最值 最小值 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者 没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 6 创新设计创新设计 课
4、堂互动课前预习素养达成 如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小 值ymf(x4)在xx4处取得. 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 2.函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( ) 提示也可能在极值点处取到. 3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( ) 提示有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函数f(x)有极值，但没有
5、最 值. 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.函数f(x)在区间a，b上连续，则f(x)在区间a，b上一定有最值，但不一定有极 值.( ) 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微训练 1.连续函数yf(x)在a，b上() A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值 解析由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于 极小值. 答案D 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 11 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素
6、个数可能是多少？ 提示可能为0，1，2. 2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最 值点吗？ 提示是. 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一求函数的最值 【例1】求下列各函数的最值. 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解(1)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23， f(x)在1，1内恒大于0，f(x)在1，1上为增函数. 故当x1时，f(x)min12； 当x1时，f(x)max2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 所以当x0时，f(x)有最小值f(0
7、)0； 当x2时，f(x)有最大值f(2). 15 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练1】求下列函数的最值： (1)f(x)2x36x23，x2，4； (2)f(x)exex，x0，a，a为正实数. 解(1)f(x)6x212x6x(x2). 令f(x)0，得x0或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表
8、 x2(2，0)0(0，2)2(2，4)4 f(x)00 f(x)37极大值3极小值535 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 当x4时，f(x)取最大值35. 当x2时，f(x)取最小值37. 即f(x)的最大值为35，最小值为37. 当x0，a时，f(x)0恒成立，即f(x)在0，a上是减函数. 故当xa时，f(x)有最小值f(a)eaea； 当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00. 即f(x)的最小值为eaea，最大值为0. 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型二含参数的函数的最值问题 【例2】已知f(x)axln x，aR. (1)当a1时，求曲线
9、f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使 f(x)在区间(0，e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 当a0时，f(x)在(0，e上单调递减， 综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3. 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情 况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处 取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最 值. 21 创新设计创新设计
10、课堂互动课前预习素养达成 【训练2】已知aR，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0，2上的最大值. 解f(x)3x22ax. 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型三由函数的最值求参数问题 【例3】已知函数f(x)ax36ax2b，x1，2时，f(x)的最大值为3，最小 值为29，求a，b的值. 解由题设知a0，否则f(x)b为常数，与题设矛盾. f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令f(x)0，得x10，x24(舍去). (1)当a0时，列表如下： x1(1，0)0(0，2)2 f(x)0 f(x)7abb16ab 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达
11、成 由表可知，当x0时，f(x)取得最大值. f(0)3，即b3. 又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a329，a2. (2)当af(1)， f(2)16a293，a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29. 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向 思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已 知最值列方程(不等式)解决问题. 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】已知函数h(x)x33x29x1在区间k，2上的最大值是28，求k的 取值范围
12、. 解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9. 令h(x)0，得x13，x21， 当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表： x(，3)3(3，1)1(1，) h(x)00 h(x)284 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 当x3时，取极大值28； 当x1时，取极小值4. 而h(2)3h(3)28，如果h(x)在区间k，2上的最大值为28，则k3. 所以k的取值范围为(，3. 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 一、素养落地 1.通过学习函数最值的概念及求解方法，培养数学抽象和数学运算素养. 2.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即
13、可；若函数在一 个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值. 3.已知最值求参数时，可先用参数表示最值，有时需分类讨论. 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练 1.函数f(x)x33x(|x|1)() A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值 解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在 (1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 答案D 29 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案C 30 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.已知函数f
14、(x)x33x1，若对于区间3，2上的任意x1，x2都有|f(x1) f(x2)|t，则实数t的最小值是() A.20 B.18 C.3 D.0 解析因为f(x)3x233(x1)(x1)，x3，2，所以f(x)在1，1上 单调递减，在1，2和3，1上单调递增.f(3)19，f(1)1，f(1) 3，f(2)1，所以在区间3，2上，f(x)max1，f(x)min19，又由题设知 在3，2上|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min20，所以t20，故选A. 答案A 31 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最
15、小值为 _. 解析f(x)3x26x93(x3)(x1). 由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27， f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5， f(x)mink7671. 答案71 32 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小 值为_. 解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0. 即342a20，故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， 当m1，1时，f(m)minf(0)4. 答案4 33 本节内容结束
