1、 ？ 第第4课时课时指数函数与对数函数指数函数与对数函数 知识梳理知识梳理构建体系构建体系 专题归纳专题归纳核心突破核心突破 ？ 知识梳理知识梳理构建体系构建体系 ？ 知识网络知识网络 ？ 要点梳理要点梳理 1.根式有哪些性质根式有哪些性质?指数幂的运算性质是怎样的指数幂的运算性质是怎样的? ？ 2.对数的运算性质有哪些对数的运算性质有哪些? ？ 3.换底公式及常用结论有哪些换底公式及常用结论有哪些? ？ 4.指数函数与对数函数的定义域、值域、图象、性质是怎样指数函数与对数函数的定义域、值域、图象、性质是怎样 的的?请完成下表请完成下表: ？ ？ 5.函数的零点是什么函数的零点是什么?函数的零
2、点、方程的根、函数的图象函数的零点、方程的根、函数的图象 之间的关系是什么之间的关系是什么? 提示提示:(1)使得使得f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数f(x)的零点的零点; (2)函数函数f(x)的零点即为方程的零点即为方程f(x)=0的实数根的实数根,亦即亦即f(x)的图象与的图象与 x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. 6.一次函数、指数函数、对数函数的增长特点分别是什么一次函数、指数函数、对数函数的增长特点分别是什么? 提示提示:一次函数一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度保持固定的增长速度,指数函数指数函数 y=ax(a1)的增长速度越来越快的增长速度越来越快,对数函数对数
3、函数y=logax(a1)的增长的增长 速度越来越慢速度越来越慢. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (3)若若lg(a+b)=lg a+lg b,则则ab的最小值为的最小值为4.( ) (4)若若ab1(a0,a1),则有则有a1,且且b0.( ) (5)若若logab0,a1),则则(a-1)(b-1)0,a1)的最小值等于的最小值等于1.( ) (8)若函数若函数f(x)=loga|x|(a0,a1)在区间在区间(-,0)内单调递减内单调递减,则则 0a0,且且a1)的图象
4、如下图所示的图象如下图所示,则下则下 列函数图像正确的是列函数图像正确的是() ？ 解析解析:由已知函数图象由已知函数图象,可得可得loga3=1,所以所以a=3. 在选项在选项A中中,函数的解析式为函数的解析式为y=3-x,在在R上单调递减上单调递减,与图象不与图象不 符符; 在选项在选项C中中,函数的解析式为函数的解析式为y=(-x)3=-x3,当当x0时时,y0,与图象与图象 不符不符; 在选项在选项D中中,函数的解析式为函数的解析式为y=log3(-x),在区间在区间(-,0)内单调递内单调递 减减,与图象不符与图象不符; 在选项在选项B中中,函数的解析式为函数的解析式为y=x3,与图
5、象相符与图象相符,故选故选B. 答案答案:B ？ 反思感悟反思感悟 1.根据函数的解析式判断函数的相关性质根据函数的解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、如定义域、值域、 单调性、奇偶性等单调性、奇偶性等,也可根据函数的性质排除干扰项而得到也可根据函数的性质排除干扰项而得到 正确结果正确结果. 2.根据函数解析式的特征确定相关的基本初等函数根据函数解析式的特征确定相关的基本初等函数,如指数函如指数函 数、对数函数等数、对数函数等,然后确定其平移变化的方向然后确定其平移变化的方向,从而判断函数从而判断函数 的图象的图象. 3.指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是指数函数与对数函数的图象经
6、过定点的实质是a0=1, loga1=0. ？ 4.指数函数与对数函数都具有单调性指数函数与对数函数都具有单调性,当当0a1时时,两者在整个定义域上两者在整个定义域上 都是单调递增函数都是单调递增函数. ？ 【变式训练【变式训练2】 若若f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a0,且且a1),且且 f(3)g(-3)0,则函数则函数f(x),g(x)在同一平面直角坐标系内的大致在同一平面直角坐标系内的大致 图象是图象是() ？ 解析解析:由由f(3)g(-3)=aloga30,得得0a1,所以所以f(x)=ax-2在在R上为减上为减 函数函数,g(x)=loga|x|在区间在区间(0,
7、+)内单调递减内单调递减,在区间在区间(-,0)内单内单 调递增调递增,故选故选B. 答案答案:B ？ 专题三指数函数与对数函数的性质及其应用 【例【例3】 函数函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)是是() A.奇函数奇函数,在区间在区间(-2,2)内单调递增内单调递增 B.奇函数奇函数,在区间在区间(-2,2)内单调递减内单调递减 C.偶函数偶函数,在区间在区间(0,2)内单调递增内单调递增 D.偶函数偶函数,在区间在区间(0,2)内单调递减内单调递减 ？ 解析解析:因为函数因为函数f(x)的定义域为的定义域为(-2,2), 且且f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-f(x)
8、,所以函数所以函数f(x)是奇函数是奇函数. 答案答案:A ？ 反思感悟反思感悟 判断判断函数的奇偶性时函数的奇偶性时,应首先确定函数的定义域应首先确定函数的定义域,然后根据奇然后根据奇 函数和偶函数的定义进行判断函数和偶函数的定义进行判断.对于指数型和对数型的复合对于指数型和对数型的复合 函数函数,其单调性应根据其单调性应根据“同增异减同增异减”的规则进行判断的规则进行判断. ？ ？ ？ 专题四函数零点及其应用 ？ 答案答案:C ？ 反思感悟反思感悟 在在判定函数的零点所在的区间时判定函数的零点所在的区间时,可将函数的单调性与函数可将函数的单调性与函数 零点存在定理结合起来使用零点存在定理结
9、合起来使用,根据函数值的符号关系根据函数值的符号关系,通过解通过解 不等式进行求解不等式进行求解. ？ 解析解析:作出函数作出函数y=f(x)与与y=k的图象的图象,如图所示如图所示. 由图象可知由图象可知k(0,1. 答案答案:(0,1 ？ 专题五函数模型及其应用 ？ ？ 【变式训练【变式训练5】 某投资公司拟投资开发某种新产品某投资公司拟投资开发某种新产品,市场评市场评 估能获得估能获得10万万1 000万元的投资收益万元的投资收益.现公司准备制订一个现公司准备制订一个 对科研课题组的奖励方案对科研课题组的奖励方案:奖金奖金f(x)(单位单位:万元万元)随投资收益随投资收益 x(单位单位:
10、万元万元)的增加而增加的增加而增加,且奖金不低于且奖金不低于1万元万元,同时不超过同时不超过 投资收益的投资收益的20%. (1)根据题目要求根据题目要求,写出写出f(x)满足的条件满足的条件. (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: 试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求. ？ 解解:(1)由题意由题意,知知f(x)满足的条件满足的条件: 当当x10,1 000时时,f(x)是单调递增函数是单调递增函数; ？ ？ 对于函数模型对于函数模型f(x)=4lg x-2: 当当x10,1 000时时,f(x)
11、是单调递增函数是单调递增函数, 且且f(x)f(10)=4lg 10-2=21, 所以所以f(x)1在区间在区间10,1 000上恒成立上恒成立. 在同一平面直角坐标系中画出函数在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=4lg x-2和和 的图象的图象, 如图所示如图所示. 故该函数模型符合公司的要求故该函数模型符合公司的要求. ？ 高考体验高考体验 考点一指数与对数运算 1.(2018全国全国高考高考)设设a=log0.20.3,b=log20.3,则则() A.a+bab0B.aba+b0 C.a+b0abD.ab0log2elog22=1, 即即ca1. 因为因为y=ln x在区间在区间(
12、0,+)内单调递增内单调递增,且且b=ln 2, 所以所以ln 2ln e=1,即即bab.故选故选D.答案答案:D ？ 5.(2017全国全国高考高考)函数函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是的单调递增区间是( ) A.(-,-2) B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+) 解析解析:由题意可知由题意可知x2-2x-80,解得解得x4. 故定义域为故定义域为(-,-2)(4,+),易知易知t=x2-2x-8在区间在区间(-,-2)内单内单 调递减调递减,在区间在区间(4,+)内单调递增内单调递增. 因为因为y=ln t在在t(0,+)内单调递增内单调递增,依据复合函数单调性
13、的同依据复合函数单调性的同 增异减原则增异减原则,可得函数可得函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(4,+).故选故选D. 答案答案:D ？ 6.(2017天津高考天津高考)已知奇函数已知奇函数f(x)在在R上是增函数上是增函数,g(x)=xf(x). 若若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则则a,b,c的大小关系为的大小关系为() A.abcB.cba C.bacD.bc0时时,f(x)0,f(x)0. 当当x0时时,g(x)=f(x)+xf(x)0恒成立恒成立, g(x)在区间在区间(0,+)内是增函数内是增函数. 2log25.13,120.82,20
14、.8log25.13. 结合函数结合函数g(x)的性质得的性质得bac.故选故选C. 答案答案:C ？ 7.(2017全国全国高考高考)设设x,y,z为正数为正数,且且2x=3y=5z,则则() A.2x3y5zB.5z2x3y C.3y5z2xD.3y2x5z 答案答案:D ？ 答案答案:-2 ？ 考点三函数零点及其应用 ？ 解析解析:要使得方程要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点有两个零点,等价于方程等价于方程f(x)= -x-a有两个实根有两个实根,即函数即函数y=f(x)的图象与直线的图象与直线y=-x-a有两个交有两个交 点点,由图象可知由图象可知,必须使得直线必须使得直线y=-x-a与直线与直线y=-x+1重合或位重合或位 于直线于直线y=-x+1的下方的下方,所以所以-a1,即即a-1.故选故选C. 答案答案:C ？ 考点四函数模型及其应用 10.(2017北京高考北京高考)根据有关资料根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上围棋状态空间复杂度的上 限限M约为约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为约为1080. 则下列各数中与则下列各数中与 最接近的是最接近的是() (参考数据参考数据:lg 30.48) A.1033B.1053 C.1073D.1093 ？ 答案答案:D
