1、第六章6.2.3组合6.2.4组合数 第1课时组合及组合数的定义 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.会用组合知识解决一些简单的组合问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1知识梳理 PART ONE 知识点一组合及组合数的定义 1.组合 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素 ，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
2、作为一组 所有不同组合的个数 知识点二排列与组合的关系 相同点两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素 不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系组合数 与排列数 间存在的关系 _ 1.从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题. () 2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.() 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 4.两个组合相同，则其对应的元素一定相同.() 2题型探究 PART TWO 例1判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场
3、？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ 一、组合概念的理解 解单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. 解冠、亚军是有顺序的，是排列问题. (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有 多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. 解3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 反思 感悟 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中 取出m(mn)个不同的元素即可. (2)只要两个组合中的元素完全相
4、同，不管顺序如何，这两个 组合就是相同的组合. (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关 的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ 解因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲乙和乙甲的车 票是不同的，所以它是排列问题. (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生. 解由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是 排列问题. 解从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本 并不考虑书的顺序，故它是组合
5、问题. 二、组合的个数问题 例2在A，B，C，D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举 结果； 反思 感悟 组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重 复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字 母B开头的组合，直到全部枚举完毕. 跟踪训练2从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同 的组合？请写出所有组合. 解先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合 逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合：ab，
6、ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 有10种. 三、简单的组合问题 例3有10名教师，其中6名男教师，4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议，有_种不同的选法；45 解析从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元 素中取出2个元素的组合数， (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有_种不同的选法；21 解析可把问题分两类情况： (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_种不同的选法.90 反思 感悟 利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间 的计算方法，借助排列数求组合数. 跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
7、. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 解从口袋内的8个球中取出3个球， (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 解从口袋内取出3个球有1个是黑球， 于是还要从7个白球中再取出2个， (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解由于所取出的3个球中不含黑球， 也就是要从7个白球中取出3个球， 3随堂演练 PART THREE 12345 1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是 A.a，b，cb，c，a B.a，b，ca，c，b C.a，c，dd，a，c D.a，b，ca，b，d 2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是 A.
8、10 B.5 C.4 D.1 12345 解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5 种方法. 12345 3.在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张 牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为 A.413手 B.134手 C.A 手 D.C 手 解析本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者 可能得到C 手不同的牌. 12345 4.下列问题中，组合问题有_，排列问题有_.(填序号) 从1,3,5,9中任取两个数相加，所得不同的和； 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； 从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加不同的
9、两项活动. 解析为组合问题， 为排列问题. 12345 5.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为 _.ab，ac，ad，bc，bd，cd 解析可按abcd顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)排列与组合的区别与联系. (3)用列举法写组合. 2.方法归纳：枚举法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 4课时对点练 PART FOUR 1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有 A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 B.五个队
10、进行单循环比赛的比赛场次数 C.由1,2,3组成两位数的不同方法数 D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点 为顶点的所有三角形的个数为 A.3 B.4 C.12 D.24 解析由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：ABC，ABD， ACD，BCD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.某新农村社区共
11、包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个 村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公 路的条数为 A.4 B.8 C.28 D.64 解析由于“村村通”公路的修建，是组合问题， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运 动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有 6.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_种不同选法. 12345678910 11 12 13 14 15 16 84 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.若已知集合P1,2,3,4，则
12、集合P的子集中含有2个元素的子集数为 _.6 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是 _.(用数字作答)10 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次
13、比赛需要进行 多少场？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 (4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 (5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.平面内有10个点，其中任意3个点不共线. (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？ 即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？ 即以10个点中的任意2个点为
14、端点的有向线段共有90条. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？ 解所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数， 11.(多选)下列问题是组合问题的有 A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B.平面上有2 021个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可 以构成多少条线段 C.集合a1，a2，a3，an中含有三个元素的子集有多少个 D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独 舞节目，有多少种选法 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 1
15、6 解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出 的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加 独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合 问题，故选ABC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有 A.60种 B.36种 C.10种 D.6种 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别 比例分层抽样，则不同的抽取方法
16、数为 A.224 B.112 C.56 D.28 解析由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两 个不同的数相除，有n个不同的商，则mn_.12 15.某区有7条南北向街道，5条东西向街道.(如图) 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)图中有_个矩形； 210 (2)从A点走向B点最短的走法有_种. 12345678910 11 12 13 14 15 16 210 解析每条东西向的街道被分成6段，每条
17、南北向的 街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走， 一定至少包括10段， 其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即 是从10段中选出6段， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行. (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积 分及净胜球数取前两名； 解小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都 要比赛一次， 所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主 客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； 解半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主 客场各赛一次， 所以半决赛共要比赛224(场). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 问：全部赛程共需比赛多少场？ 解决赛只需比赛1场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛304135(场). 本课结束 更多精彩内容请登录：
