1、7.3.1离散型随机变量的均值 第七章7.3离散型随机变量的数字特征 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机 变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握两点分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1知识梳理 PART ONE 1.离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 知识点一离散型随机变量的均值 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 则
2、称E(X) 为随机变量X的均值或 数学期望. x1p1x2p2xipixnpn 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变 量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 . 3.离散型随机变量的均值的性质 若YaXb，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且 有E(aXb) . 加权平均数 平均水平 aE(X)b 证明如下：如果YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是 随机变量.因此P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以Y的分布 列为 Yax1bax2baxibaxnb Pp1p2pipn 于是有E(Y)(ax
3、1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pn a(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X) b，即E(aXb)aE(X)b. 思考离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取， 而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化. (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越 来越接近于总体的均值. 知识点二两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)0(1p)1pp. 1.随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.() 2.随机变量的均值反
4、映了样本的平均水平.() 3.若随机变量X的均值E(X)2，则E(2X)4.() 4.若随机变量X服从两点分布，则E(X)P(X1).() 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 2题型探究 PART TWO 一、利用定义求离散型随机变量的均值 例1袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一 只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 解取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑 得6分，1红3黑得5分， 因此，X的可能取值为5,6,7,8， 故X的分布列为 反思 感悟 求随机变量X的均值的方法和步
5、骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(Xk). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 跟踪训练1某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如 下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可 得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若 三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得 分数的分布列与均值. 解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”， 则X的可能取值为4,1,3,6. X的分布列为 二、离散型随机变量
6、均值的性质 例2已知随机变量X的分布列为 若Y2X，则E(Y)_. 解析由随机变量分布列的性质，得 由Y2X，得E(Y)2E(X)， 所以a15. 反思 感悟 求线性关系的随机变量ab的均值方法 (1)定义法：先列出的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式，E()E(ab)aE()b，求解 即可. 跟踪训练2已知随机变量和，其中127，且E()34，若的分 布列如下表，则m的值为 解析因为127， 则E()12E()7， 三、均值的实际应用 例3随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得 的利润分
7、别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品 的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； 解X的所有可能取值有6,2,1，2， 故X的分布列为 X6212 P0.630.250.10.02 解E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元). (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率 提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品 率最多是多少？ 解设技术革新后的三等品率为x， 则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x) 1x(2)0.0
8、14.76x(0 x0.29)， 依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73， 解得x0.03，所以三等品率最多为3%. 反思 感悟 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 跟踪训练3受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿 车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙 两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随 机抽取50辆，统计数据如下： 品牌甲乙 首次出现故障时间x(年) 0 x11202 轿车数量(辆)2345545 每
9、辆利润(万元)1231.82.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生 在保修期内的概率； 解设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A， (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生 产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； 解依题意得，X1的分布列为 X2的分布列为 (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其 中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌 的轿车？说明理由. E(X1)E(X2)， 应生产甲品牌轿车. 3随堂演练 PART T
10、HREE 1.已知离散型随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)等于 12345 12345 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的 均值为 A.0 B. C.1 D.1 12345 3.设的分布列为 又设25，则E()等于 12345 2 12345 5.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新 试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率 均为 ，则此人试验次数的均值是_. 12345 解析试验次数的可能取值为1,2,3， 所以的分布列为 1.知识清单： (1)离散型随机变量的均值. (2)离散型随机变量的均值的性质. (3
11、)两点分布的均值. 2.方法归纳：函数与方程、转化化归. 3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 4课时对点练 PART FOUR 1.某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表： 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 日需求量n1415161820 频率0.10.20.30.20.2 试估计该商品日平均需求量为 A.16 B.16.2 C.16.6 D.16.8 解析估计该商品日平均需求量为140.1150.2160.3180.2 200.216.8，故选D. 2.(多选)已知某一随机
12、变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则 A.a7 B.b0.4 C.E(aX)44.1 D.E(bXa)2.62 X4a9 P0.50.1b 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意和分布列的性质得0.50.1b1， 且E(X)40.50.1a9b6.3， 解得b0.4，a7. E(aX)aE(X)76.344.1， E(bXa)bE(X)a0.46.379.52， 故ABC正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元， 1.18万元，1.17万元的概率分别为 ，随机变量X表
13、示对此项目 投资10万元一年后的利润，则X的均值为 A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17， 所以X的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3. 4.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个 (n1,2,3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3
14、名女性成员，2名男性成员， 现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X， 则X的均值是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知E(Y)6，Y4X2，则E(X)_.2 解析Y4X2，E(Y)4E(X)2， 4E(X)26，即E(X)2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(Xk)akb(k1,2,3,4)， E(X)3，则a_，b_. 解析易知E(X)1(ab)2(2
15、ab)3(3ab)4(4ab)3， 即30a10b3. 又(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1， 即10a4b1， 0 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.某射手射击所得环数X的分布列如下： 已知E(X)8.9，则y的值为_. 0.4 X78910 Px0.10.3y 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地 每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列 及均值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解X的可能取值为1,2,3， 所以抽取次
16、数X的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋 友在每一个景点下车的概率均为 ，用表示4位朋友在第三个景点下车 的人数，求： (1)随机变量的分布列； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解的所有可能值为0,1,2,3,4. 从而的分布列为 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)随机变量的均值. 解由(1)得的均值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析出海的期望效益E(X)5 0000.6(10.6)(2 000)3
17、000 8002 200(元). 综合运用 11.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失 2 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是 A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 600元 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析E(aXb)aE(X)b，而E(X)为常数， E(XE(X)E(X)E(X)0. 12.若X是一个随机变量，则E(XE(X)的值为 A.无法确定 B.0 C.E(X) D.2E(X) 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.若p为非负实数，随机变量的分布列为
18、 则E()的最大值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设某学生一次 发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的均值E(X)1.75，则p的 取值可以为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且 P(X1)p， P(X2)p(1p)， P(X3)(1p)2， 则E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3， 依题意有E(X)1.75，则p23p31.75， 结合选项可知AB正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以 每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理. (1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需 求量n(单位：盒，nN*)的函数解析式； 解当n97.7，每天购进50盒比较合理. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
