1、高考真题 （2019天津卷（理） ）设函数( )e cos ,( ) x f xxg x为 f x的导函数. （）求 f x的单调区间； （）当, 4 2 x 时，证明( )( )0 2 f xg xx ； （）设 n x为函数( )( )1u xf x在区间2,2 42 mm 内的零点，其中nN，证明 2 00 2 2sincos n n nx x e x . 【解析】 （）由已知，有 ecossin x fxxx . 当 5 2,2 44 xkkkZ 时，有sincosxx，得 0fx ，则 f x单调递减; 当 3 2,2 44 xkkkZ 时，有sincosxx，得 0fx ，则 f
2、x单调递增. 所以， f x的单调递增区间为 3 2,2 44 kkkZ ， f x的单调递减区间为 5 2,2 44 kkkZ . （）记 2 h xf xgxx .依题意及（）有： cossin x g xexx， 从而( )2sin x g xex .当 , 4 2 x 时， 0gx ，故 ( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xfxg xxg xg xx . 因此， h x在区间, 4 2 上单调递减，进而( )0 22 h xhf . 所以，当, 4 2 x 时，( )( )0 2 f xg xx . （）依题意，10 nn u xf x ，即ecos1 n x n x
3、 . 记2 nn yxn，则, 4 2 n y . 且ecos n y nn fyy 22 ecos2e n xnn n xnnN . 由 2 0 e1 n n fyfy 及（）得 0n yy. 由（）知，当, 4 2 x 时， 0gx ，所以 g x在, 4 2 上为减函数， 因此 0 0 4 n g yg yg . 又由（）知0 2 nnn fyg yy ，故： 2 e 2 n n n nn fy y g yg y 0 222 00000 sincossincos nnn y eee g yeyyxx . 所以 2 00 e 2 2sincos n n nx xx . 【答案】 （）单调递
4、增区间为 3 2,2(),( ) 44 kkkf x Z的单调递减区间为 5 2,2() 44 kkk Z.（）见证明； （）见证明 （2019北京卷（理） ）已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx. （）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( )()|()F xf xxaaR，记( )F x在区间 2,4 上的最大值为 M（a） ，当 M（a）最小时， 求 a 的值 【解析】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3 ( )211 4 fxxx 得0 x 或者 8 3 x . 当0 x 时，(0)0
5、f，此时切线方程为y x ，即0 xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640 xy； 综上可得所求切线方程为0 xy和2727640 xy. （）设 32 1 ( )( ) 4 g xf xxxx， 2 3 ( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0 x 或者 8 3 x ， 所以当 2,0 x 时，( )0g x，( )g x为增函数； 当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x，( )g x为减函数； 当 8 ,4 3 x 时，( )0g x，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h ，所以( )0h x ，即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6a a中的较大者， 若6aa，即3a时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a 时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3. 【答案】 （）0 xy和2727640 xy. （）见解析； （）3a .
