1、4.2等差数列等差数列 4.2.1等差数列的概念 基础过关练 题组一等差数列的概念及其应用 1.下列数列不是等差数列的是() A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16 C.1 3, 2 3,1, 4 3, 5 3 D.-3,-2,-1,1,2 2.给出下列命题: 数列 6,4,2,0 是公差为 2 的等差数列; 数列 a,a-1,a-2,a-3 是公差为-1 的等差数列; 等差数列的通项公式一定能写成 an=kn+b 的形式(k,b 为常数); 数列2n+1(nN*)是等差数列. 其中正确命题的序号是() A.B. C. D. 题组二等差中项 3.若 a= 1 3+ 2,b= 1 3
2、- 2,则 a,b 的等差中项为( ) A. 3B. 2C. 3 2 D. 2 2 4.已知在ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则角 B 等于() A.30 B.60 C.90 D.120 5.已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是() A.2B.3C.6D.9 6.若 5,x,y,z,21 成等差数列,则 x+y+z 的值为() A.26B.29C.39D.52 题组三等差数列的通项公式及其应用 7.已知an为等差数列,若 a1=1,公差 d=2,an=15,则 n 的值为() A.5B.6C.7D.8 8.(2020
3、山东淄博一中高二上期中)在数列an 中,a1=1,an+1-an=2,nN*,则 a25的值为() A.49B.50C.89D.99 9.(2020 天津耀华中学高二上期中)已知数列an是等差数列,若 a1=2,a4=2a3,则公差 d=() A.0B.2C.-1D.-2 10.(2020 河南郑州高二上期末)设数列an是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为. 11.在-3 和 6 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则公差 为. 12.已知数列an是等差数列,且 an=an2+n(nN*),则实数 a=. 题组四等差数列的性质及其应用 13.在等差数列an中
4、,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8的值等于 () A.45B.75C.180 D.300 14.(2020 河南新乡高二上期末)在等差数列an中,a2+a6=3,a3+a7=7, 则公差 d=() A.1B.2C.3D.4 15.(2019 河南商丘九校高二期末联考)在单调递增的等差数列an中, 若 a3=1,a2a4=3 4,则 a1=( ) A.-1B.0C.1 4 D.1 2 16.已知等差数列an的公差为 d(d0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 的值为() A.12B.8C.6D.4 17.设数列an,bn都是等差数列,若 a1+
5、b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=. 18.首项为 a1,公差为 d(dN*)的等差数列an满足下列两个条件: a3+a5+a7=93; 满足 an100 的 n 的最小值是 15. 试求公差 d 和首项 a1的值. 能力提升练 题组一等差数列的通项公式及其应用 1.()在数列an中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点( ?, ?-1) 在直线 x-y- 3=0 上,则() A.an=3n B.an= 3? C.an=n- 3D.an=3n2 2.()已知等差数列an的首项为 a,公差为 1,bn=?+1 ? ,若对任意的正 整数 n 都有 bnb5,则实数 a 的取值范围
6、是() A.(-,-4)(-3,+) B.(-4,-3) C.(-,-5)(-4,+) D.(-5,-4) 3.()已知数列an中,a1=1,an-1-an=anan-1(n2,nN*),则 a10=. 4.(2020 辽宁沈阳东北育才实验学校高二上月考,)已知数列an满 足 an+1=6?-4 ?+2,且 a1=3(nN *). (1)证明:数列 1 ?-2 是等差数列; (2)求数列an的通项公式. 题组二等差数列的性质及其应用 5.()在等差数列an中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a6=() A.10B.9C.8D.7 6.(2020 山东招远一中高二上月考,)在
7、一个首项为 23,公差为整数 的等差数列中,前 6 项均为正数,从第 7 项起为负数,则公差为() A.-2B.-3C.-4D.-5 7.(多选)()已知单调递增的等差数列an满足 a1+a2+a3+a101=0,则下列各式一定成立的有() A.a1+a1010 B.a2+a100=0 C.a3+a1000D.a51=0 8.(2020 河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列an 中,a5=3,则 a3a7的最大值为. 题组三等差数列的综合应用 9.(2020 山东日照高二上期末,)我国古代著名的著作周髀算经 中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈 三尺五寸;
8、夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两 个节气之间的日影长度差为 991 6分;且“冬至”时日影长度最大,为 1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为 () A.9531 3分 B.1 0521 2分 C.1 1512 3分 D.1 2505 6分 10.(多选)()已知数列an的前 n 项和为 Sn(Sn0),且满足 an+4Sn-1Sn=0(n2,nN*),a1=1 4,则下列说法中正确的是( ) A.数列an的前 n 项和为 Sn= 1 4? B.数列an的通项公式为 an= 1 4?(?+1) C.数列an为递增数列 D.数列 1 ? 为
9、递增数列 11.(2020 天津一中高二上期中,)已知数列an满足 a1=15,且 3an+1=3an-2(nN*),若 ak?+1100,即 an=a5+(n-5)d100,n69 ? +5. 满足 an100 的 n 的最小值是 15, 1469 ? +515, 69 10d 23 3 , 又 dN*,d=7,a1=a5-4d=3. 能力提升练 1.D点( ?, ?-1)在直线 x-y- 3=0 上, ?- ?-1= 3, 数列 ?是首项为 3,公差为 3的等差数列. 数列 ?的通项公式为 ?= 3+(n-1) 3= 3n,an=3n2.故选 D. 2.D解法一:依题意得,an=a+(n-
10、1)1=n+a-1,bn= ?+? ?+?-1=1+ 1 ?+?-1. 设函数 y= 1 ?+?-1+1,画出图象,如图. 结合题意知,1-a(5,6), 51-a6,解得-5a-4, 故选 D. 解法二:等差数列an的首项为 a,公差为 1,an=a+n-1, bn=?+1 ? =1+ 1 ?=1+ 1 ?+?-1, 若对任意的正整数 n 都有 bnb5, 则有(bn)min=b5=1+ 1 ?+4, 结合数列bn的单调性可知, ?5 ?4, ?5 ?6,即 1 + 1 ?+4 1 + 1 ?+3 , 1 + 1 ?+4 1 + 1 ?+5 , 解得-5a 0, ?7 0, 23 + (7
11、1)? 0, 解得-23 5 d0, 等差数列an满足 a1+a2+a3+a101=0,且 a1+a101=a2+a100=a50+a52=2a51, a1+a2+a3+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+(a50+a52)+a51=101a 51=0,a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故 B,D 正确,A 错误. 又a51=a1+50d=0,a1=-50d, a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2(-50d)+101d=d0, 故 C 错误.故选 BD. 8.答案9 解析因为等差数列an的各项都为正数,所以 a30,a70
12、, 所以 a3a7 ?3+?7 2 2=(a 5) 2=9,当且仅当 a 3=a7=3 时等号成立.所以 a3a7的最大值为 9. 9.B由题意可知,从“冬至”到“夏至”,每个节气的日影长度依次 构成等差数列,设该等差数列为an,公差为 d, 又知“冬至”时日影长度最大,设为 a1=1 350;“夏至”时日影长度 最小,设为 a13=160. 则 a13=1 350+12d=160, 解得 d=-1 190 12 =-991 6, “立春”时日影长度为 a4=1 350+ -99 1 6 3=1 0521 2(分).故选 B. 10.AD由 an=Sn-Sn-1,an+4Sn-1Sn=0,n2
13、,nN*,得 Sn-Sn-1=-4Sn-1Sn,n2,nN*,又 Sn0, 1 ?- 1 ?-1=4(n2,nN *). a1=1 4, 1 ?1=4, 1 ? 是以 4 为首项,4 为公差的等差数列, 1 ?=4+4(n-1)=4n,nN *,数列 1 ? 为递增数列,Sn= 1 4?,nN *, 当 n2 时,an=Sn-Sn-1= 1 4?- 1 4(?-1)=- 1 4?(?-1), 经检验,当 n=1 时,不符合上式, an= 1 4 ,n = 1, - 1 4n(n-1) ,n 2,nN*, 综上可知 AD 正确.故选 AD. 11.答案23 解析解法一:3an+1=3an-2,a
14、n+1-an=-2 3,数列an是以 15 为首 项,-2 3为公差的等差数列.设公差为 d ,则 an=a1+(n-1)d=15-2 3(n-1)=- 2 3n+ 47 3 . akak+1= - 2 3 k + 47 3 - 2 3 (k + 1) + 47 3 = - 2 3 k + 47 3 - 2 3 k + 45 3 0, 即(2k-47)(2k-45)0, 解得45 2 k47 2 , 又kN*,k=23. 解法二:同解法一可得 an=-2 3n+ 47 3 , d=-2 30, 数列an为单调递减数列, 由 akak+1 0, ?+1 0, - 2 3 (k + 1) + 47
15、 3 0, 解得45 2 k0,a1=2. 由? 2=(2n-1)an+2n,得?2-(2n-1)an-2n=(an-2n)(an+1)=0, an0,nN*,an=2n,an+1-an=2(n+1)-2n=2, 数列an是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. (2)结合(1)可得 bn=?- 40 ?- 11 =2?- 40 ?- 11 =2?- 10 ?- 11=2 1 + 11- 10 ?- 11 . 当n3,nN*时,bn单调递减,且bn2. 当 n=4 时,bn最大;当 n=3 时,bn最小. 故 p=4,q=3,p+q=7. 15.解析(1)证明:由 3anan-1+an-an-
16、1=0(n2,nN*), 得 1 ?- 1 ?-1=3(n2,nN *), 又 1 ?1=1, 所以数列 1 ? 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. (2)由(1)可得 1 ?=1+3(n-1)=3n-2, 所以 an= 1 3?-2(nN *). (3)因为an+ 1 ?对任意的 n2,nN *恒成立, 即 ? 3?-2+3n-2对任意的 n2,nN *恒成立, 所以只需(3?-2) 2 3?-3 对任意的 n2,nN*恒成立即可. 令 f(n)=(3?-2) 2 3?-3 (n2,nN*),则只需满足f(n)min即可. 因为 f(n+1)-f(n)=(3?+1) 2 3? -(3?
17、-2) 2 3?-3 =9? 2-9n-1 3?(?-1) =3- 1 3?(?-1), 所以当 n2 时, f(n+1)-f(n)0, 即 f(2)f(3)f(4), 所以 f(n)min=f(2). 又 f(2)=16 3 ,所以16 3 . 所以实数的取值范围为 -, 16 3 . 16.解析(1)a1=3,d=-5,an=8-5n. 数列an中项数被4除余3的项是an中的第3项,第7项,第11项, b1=a3=-7,b2=a7=-27. (2)设an中的第 m 项是bn中的第 n 项,即 bn=am,则 m=3+4(n-1)=4n-1, bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n, 即bn的通项公式为 bn=13-20n. (3)b503=13-20503=-10 047, 设它是an的第 s 项,则-10 047=8-5s,解得 s=2 011,即bn中的第 503 项是an中的第 2 011 项.
