1、本资料分享自千人 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 第六章第六章计数原理计数原理 6.16.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础过关练基础过关练 题组一题组一分类加法计数原理分类加法计数原理 1.某中学需从 2020 年师范大学毕业的 3 名女大学生和 2 名男大学生中选聘 1 人, 则不同的选法种数为() A.6B.5C.3D.2 2.从 1,2,3,4,5 五个数中任取 3 个,可组成不同的等差数列的个数为 () A.2B.4C.6D.8 3.(2020 天津宝坻高二下期中)用 1,3,5,7 中的任意一个数作分子,2,4,8,9 中
2、的 任意一个数作分母,则可构成真分数的个数为() A.8B.9C.10 D.11 题组二分步乘法计数原理 4.(2020 海南华侨中学高二上期末)某校高一新生中的 3 名同学打算参加“动漫乐 园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加其中的 一个社团,且只能参加一个社团,则不同的参加种数为() A.64 B.81 C.24 D.72 5.设 M、N 是两个非空集合,定义 M N=(a,b)|aM,bN,若 P=0,1,2,Q=1,2,则 P Q 中元素的个数是() A.4B.9C.6D.3 6.甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行数学能力比赛,决出第一到第五名的名次(无 并
3、列名次).甲、乙两名同学去询问成绩,老师说:“虽然你们都不是第一名,但你 们也都不是最后一名.”从上述回答分析,5 人的名次不同的情况有() A.36 种B.48 种C.18 种D.54 种 7.(2020 北京平谷高二上期末)从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不 同的社区活动服务者,要求男、女生各 1 人,那么不同的安排有种.(用数 字作答) 8.设集合 M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)是坐标平面上的点,a,bM. (1)P 可以表示多少个平面上不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限的点? (3)P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 题组三
4、题组三两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 9.(2020 北京东城高三上期末)从数字 1,2,3,4,5 中取出 3 个数字(允许重复),组 成三位数,各位数字之和等于 6,则这样的三位数的个数为() A.7B.9C.10 D.13 10.(多选)(2020 北京第六十六中学高二上期中)某校实行选科走班制度,张毅同学 选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在 B 层班级,该校周一上午选科走班的 课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列 说法正确的是() 第一节第二节第三节第四节 地理 1 班 化学 A 层 3 班 地理 2 班 化学 A 层 4 班 生
5、物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班政治 3 班 A.此人有 4 种不同的选课方式 B.此人有 5 种不同的选课方式 C.自习课不可能安排在第 2 节 D.自习课可安排在 4 节课中的任一节 11.某学校共有 34 人自愿组成数学建模社团,其中高一年级 13 人,高二年级 12 人, 高三年级 9 人. (1)选其中一人为负
6、责人,有多少种不同的选法? (2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法? (3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法? 能力提升练能力提升练 题组一题组一分类加法计数原理分类加法计数原理 1.(2019 山东泰安一中高二下月考,)若一个三位数的各位数字之和等于 10,且 各位数字允许重复(如 235,505 等),则这种三位数的个数是() A.54 B.50 C.60 D.58 2.(2020 辽宁鞍山一中高二下月考,)某单位把 5 个“先进个人奖”分给 3 个部 门,每个部门至少 1 个名额,那么不同的名额分配方案总数为() A.6B.10 C.15 D.2
7、1 3.(2019 江西师大附中高二期末,)设集合 S=1,2,3,4,5,6,7,8,集合 A=a1,a2,a3,若 AS,a1,a2,a3满足 a1a2a3且 a3-a25,则满足条件的集合 A 的个 数为. 题组二题组二分步乘法计数原理分步乘法计数原理 4.(2019 北京一零一中学高二下期末,)540 的不同约数共有个. 5.(2020 山东临沂高三上期末,)甲、乙等 5 名同学参加志愿者服务,分别到三个 路口疏导交通,每个路口有 1 名或 2 名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案种 数为,甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口的分配方案 种数为.(用数字作答) 6.(20
8、20 山东东营一中高三上期末,)从集合 M=2,3,4,5,6,7,8,9中取两个不 同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值? 题组三题组三两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 7.(2020 辽宁盘锦高级中学高二下月考,)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号 为 1,2,9 的九宫格中的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正 方形所涂颜色都不相同,且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条 件的所有涂法有种. 8.(2020 山东青岛二中高三上期末,)如图,在由开关组 A 与 B 组成的电路中,闭 合开关使灯发光的方法有种. 9.(2019
9、 安徽合肥巢湖高二月考,)现有 5 种不同的颜色给如图所示的几何体的 五个顶点 P,A,B,C,D 涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有 种涂法. 10.(2020 山东泰安高二下期末,)假设今天是 4 月 23 日,某市未来六天的空气质 量预报情况如下表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4 月 24 日4 月 29 日)内选择一天出游,在甲只选择空气质量为优的一天出游;乙不选择 4 月 27 日出游;丙不选择 4 月 24 日出游;甲与乙不选择同一天出游这四个条件中 任选其中三个,求这三人出游的不同方法数. 未来六天空气质量预报 4 月 24 日4 月 25 日4 月
10、 26 日4 月 27 日4 月 28 日4 月 29 日 优优优优良良 11.(2020 山东历城二中高二下月考,)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将 一棋子放在如图所示的正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰 子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2,6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位,一直循环下去.某人抛掷三 次骰子后,棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有多少种? 答案全解全析答案全解全析 第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础过关练 1.B选取的方法可分为两类:从 3 名女大学
11、生中选聘 1 人,有 3 种选法;从 2 名男 大学生中选聘 1 人,有 2 种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为 3+2=5, 故选 B. 2.D分两类:当公差大于 0 时,有1,2,3,2,3,4,3,4,5,1,3,5,共 4 个;当 公差小于 0 时,也有 4 个.根据分类加法计数原理,可组成不同的等差数列的个数 为 4+4=8. 3.D分四类:当分子为 1 时,有1 2, 1 4, 1 8, 1 9,共 4 个真分数;当分子为 3 时,有 3 4, 3 8, 3 9= 1 3, 共 3 个真分数;当分子为 5 时,有5 8, 5 9,共 2 个真分数;当分子为 7 时,有
12、7 8, 7 9,共 2 个真分数.根据分类加法计数原理,可构成 4+3+2+2=11 个真分数.故选 D. 4.A因为每位同学都可以选择 4 个不同社团中的一个,即每位同学都有 4 种选择 方案,所以不同的参加种数为 444=64.故选 A. 5.C因为 P=0,1,2,Q=1,2, 所以 a 有 3 种选法,b 有 2 种选法, 根据分步乘法计数原理,可得 PQ 中元素的个数为 32=6.故选 C. 6.A甲和乙不是第一名也不是最后一名,所以丙、丁和戊 3 人中有人获得第一名 和最后一名,共有 32 种情况,剩下的一人和甲、乙分别获得第二、三、四名,共 有 321 种情况,所以根据分步乘法
13、计数原理可知,共有 32321=36 种 情况. 7.答案24 解析先选一名男生,有 3 种方法,再选一名女生,有 4 种方法,最后选出的 2 人再 安排不同的工作,根据分步乘法计数原理,不同的安排有 342=24 种. 8.解析(1)分两步.第一步确定 a,有 6 种方法;第二步确定 b,也有 6 种方法,根 据分步乘法计数原理,共有 66=36 个不同的点. (2)分两步.第一步确定 a,只能从-3,-2,-1 中选,有 3 种方法;第二步确定 b,只能 从 1,2 中选,有 2 种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有 32=6 个. (3)分两步.第一步确定 a,从集合 M 中的
14、 6 个元素中任选一个,有 6 种方法;第二步 确定 b,从剩下的 5 个元素中任选一个,有 5 种方法,根据分步乘法计数原理,不在 直线 y=x 上的点共有 65=30 个. 9.C从数字 1,2,3,4,5 中取出 3 个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和 等于 6,可分为三类情况:(1)当三个数为 1,1,4 时,4 可以在个位、十位、百位,所 以共有 3 个这样的三位数; (2)当三个数为 1,2,3 时,共有 321=6 个这样的三位数; (3)当三个数为 2,2,2 时,只有 1 个这样的三位数. 由分类加法计数原理可得,共有 3+6+1=10 个,即这样的三位数共有 10
15、 个. 故选 C. 10.BD由于生物在 B 层班级,所以只能选第 2 或第 3 节,故分两类: 若生物选第 2 节,则地理可安排在第 1,3 节,有 2 种选法,其他任意选即可,故有 22=4 种(此种情况自习课可出现在第 1、3、4 节中的某节); 若生物选第 3 节,则地理只能选第 1 节,政治只能选第 4 节,自习只能选在第 2 节, 故有 1 种. 根据分类加法计数原理可得,共有 4+1=5 种不同的选课方式.由以上分析可知,自 习课可安排在 4 节课中的任一节. 11.解析(1)根据题意,选其中一人为负责人,可分为 3 类. 第 1 类:选出的是高一学生,有 13 种选法; 第 2
16、 类:选出的是高二学生,有 12 种选法; 第 3 类:选出的是高三学生,有 9 种选法. 由分类加法计数原理可得,共有 13+12+9=34 种选法. (2)根据题意,共分为 3 步. 第 1 步:从高一学生中选出 1 人,有 13 种选法; 第 2 步:从高二学生中选出 1 人,有 12 种选法; 第 3 步:从高三学生中选出 1 人,有 9 种选法. 由分步乘法计数原理可得,共有 13129=1 404 种选法. (3)根据题意,可分为 3 类. 第 1 类:选出的是高一、高二学生,有 1312=156 种选法; 第 2 类:选出的是高一、高三学生,有 139=117 种选法; 第 3
17、类:选出的是高二、高三学生,有 129=108 种选法. 由分类加法计数原理可得,共有 156+117+108=381 种选法. 能力提升练 1.A若百位为 1,则十位可从 0,1,2,9 中任选一个数,有 10 种选法,因为各位 数字之和等于 10,所以个位只有 1 种选法,所以有 10 个满足条件的数; 若百位为 2,则十位可从 0,1,2,8 中任选一个数,此时个位只有 1 种选法,所以 有 9 个满足条件的数; 同理,若百位分别为 3,4,5,6,7,8,9,依次可得满足条件的数有 8,7,6,5,4,3,2 个. 根据分类加法计数原理,共有 10+9+8+2=54 个. 2.A5 个
18、名额分给 3 个部门,每个部门至少 1 个名额,存在两类分配方式,即 2,2,1 和 3,1,1. 若分配方式为 2,2,1,则只需从 3 个部门中抽取 1 个部门分配 1 个名额即可,有 3 种可能; 若分配方式为 3,1,1,则只需从 3 个部门中抽取 1 个部门分配 3 个名额即可,有 3 种可能. 综上,共有 3+3=6 种方案. 3.答案55 解析因为 a1a2a3,AS,所以 2a27,又 a3-a25,所以当 a1=1 时,a2可以取 2、 3、4、5、6、7,a3分别可以取 37、48、58、68、78、8;当 a1=2 时,a2可以取 3、4、5、6、7,a3分别可以取 48
19、、58、68、78、8;当 a1=3 时,a2可以取 4、5、 6、7,a3分别可以取 58、68、78、8;当 a1=4 时,a2可以取 5、6、7,a3分别可以 取 68、78、8;当 a1=5 时,a2可以取 6、7,a3分别可以取 78、8;当 a1=6 时,a2可 以取 7,a3可以取 8.所以满足条件的集合 A 的个数为 (5+5+4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=55,故答案为 55. 4.答案24 解析将 540 进行质因数分解为 540=2 2335,对于因数 2,可以不选或选 1 次或 选 2 次,对于因数 3,可
20、以不选或选 1 次或选 2 次或选 3 次,对于因数 5,可以不选 或选 1 次, 因此,540 的不同约数共有 342=24 个. 5.答案18;36 解析甲、乙在同一路口,分步完成: 第一步:甲、乙选择一个路口,有 3 种选法; 第二步:剩下的 3 人中选 1 人,有 3 种选法,此人再在剩下的两个路口中选择一个 路口服务,有 2 种选法,所以有 32=6 种选法; 第三步:剩下的 2 人一起选择最后的一个路口,只有 1 种选法. 根据分步乘法计数原理,有 361=18 种选法. 甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口. 先把另外 3 人依次 1 人选择 1 个路口,有 321=
21、6 种选法,然后甲随意选择一个 路口,有 3 种选法,最后乙选择一个路口,有 2 种选法, 根据分步乘法计数原理,有 632=36 种选法. 6.解析第一步,取底数,有 8 种取法; 第二步,取真数,有 7 种取法. 根据分步乘法计数原理,共得到 87=56 个对数. 但在这些对数中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得 到 56-4=52 个不同的对数值. 7.答案108 解析分三步:第一步,先给标号 1,5,9 的小正方形涂色,有 3 种涂法. 第二步,给标号 2,3,6 的小正方形涂色,又分两类:一是标号 3 与标号
22、1,5,9 涂色 相同,则标号 2,6 各有 2 种涂法,共 4 种涂法;二是标号 3 与标号 1,5,9 涂色不同, 则标号 3 有 2 种涂法,此时标号 2,6 只有 1 种涂法,共 2 种涂法.综上可知,标号 2,3,6 的小正方形的涂法有 4+2=6 种. 第三步,给标号 4,7,8 的小正方形涂色,显然跟标号 2,3,6 的小正方形涂色方法一 样,也是 6 种. 根据分步乘法计数原理,符合条件的所有涂法有 366=108 种. 8.答案21 解析分两类,每类中分两步.第一类:第 1 步:A 组开关闭合一个,有 2 种闭法,第 2 步:B 组开关闭合 1 个,有 3 种闭法;B 组开关
23、闭合 2 个,有 3 种闭法;B 组开关闭 合 3 个,有 1 种闭法.此时共 2(3+3+1)=14 种闭法. 第二类:第 1 步:A 组开关闭合 2 个,共 1 种闭法,第 2 步:B 组开关闭合 1 个,有 3 种闭法;B 组开关闭合 2 个,有 3 种闭法;B 组开关闭合 3 个,有 1 种闭法.此时共 1(3+3+1)=7 种闭法. 综上,共 14+7=21 种闭法. 9.答案420 解析第 1 类:顶点 A,C 同色.顶点 P 有 5 种颜色可供选择,顶点 A 有 4 种颜色可 供选择,顶点 B 有 3 种颜色可供选择,此时顶点 C 与顶点 A 同色,只有 1 种颜色可 选,顶点
24、D 有 3 种颜色可供选择,不同的涂法有 54313=180 种. 第 2 类:顶点 A,C 不同色.顶点 P 有 5 种颜色可供选择,顶点 A 有 4 种颜色可供选 择,顶点 B 有 3 种颜色可供选择,此时顶点 C 与顶点 A 不同色,有 2 种颜色可选,顶 点 D 有 2 种颜色可供选择,不同的涂法有 54322=240 种.综上,不同的涂 法共有 180+240=420 种. 10.解析若选择,则三人出游的不同方法数 N=455=100. 若选择,则需分两类,第一类,若甲选择 4 月 27 日出游,则三人出游的不同 方法数 N1=56=30;第二类,若甲不选择 4 月 27 日出游,则
25、三人出游的不同方法数 N2=346=72.故这三人出游的不同方法数 N=N1+N2=102. 若选择,则三人出游的不同方法数 N=455=100. 若选择,则三人出游的不同方法数 N=555=125. 11.解析由题意知正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的周长是 12, 抛掷三次骰子后,棋子恰好又回到点 A 处表示三次骰子的点数之和是 12, 点数中三个数字能够使得和为 12 的有 1、5、6,2、4、6,3、4、5,3、3、6,5、5、 2,4、4、4,共 6 种组合. 1、5、6,2、4、6,3、4、5 这三种组合中,每一种又可以列出 6 种不同结果,所 以有 36=18 种; 3、3、6,5、5、2 这两种组合中,每种有 3 种结果,所以有 23=6 种; 组合 4、4、4 只有 1 种结果. 根据分类加法计数原理知,共有 18+6+1=25 种不同走法.
