1、高考真题 (2019北京卷(文) )如图,在四棱锥PABCD中,PA 平面 ABCD,底部 ABCD 为菱形,E 为 CD 的 中点. ()求证:BD平面 PAC; ()若ABC=60,求证:平面 PAB平面 PAE; ()棱 PB 上是否存在点 F,使得 CF平面 PAE?说明理由. 【解析】 ()证明:因为PA 平面ABCD,所以PABD; 因为底面ABCD是菱形,所以ACBD; 因为PAACA,PA AC 平面PAC, 所以BD 平面PAC. ()证明:因为底面ABCD是菱形且60ABC,所以ACD为正三角形,所以AECD, 因为/ /ABCD,所以AEAB; 因为PA 平面ABCD,A
2、E 平面ABCD, 所以AEPA; 因为PAABA 所以AE 平面PAB, AE 平面PAE,所以平面PAB平面PAE. ()存在点F为PB中点时,满足/CF平面PAE;理由如下: 分别取,PB PA的中点,F G,连接,CF FG EG, 在三角形PAB中,/ /FGAB且 1 2 FGAB; 在菱形ABCD中,E为CD中点,所以/ /CEAB且 1 2 CEAB ,所以/ /CEFG且CEFG,即四边形 CEGF为平行四边形,所以/CFEG; 又CF 平面PAE,EG 平面PAE,所以/CF平面PAE. 【答案】 ()见解析; ()见解析; ()见解析. (2019全国 III 卷(文)
3、)图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中 1,2ABBEBF, 60FBC ,将其沿 ,AB BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图 2. (1)证明图 2 中的, ,A C G D四点共面,且平面ABC 平面BCGE; (2)求图 2 中的四边形ACGD的面积. 【解析】 (1)证:/ADBE,/ /BFCG,又因为E和F粘在一起. / /ADCG,A,C,G,D 四点共面. 又,ABBE ABBC. AB平面 BCGE,AB 平面 ABC,平面 ABC平面 BCGE,得证. (2)取CG的中点M,连结,EM DM.因为/ /ABDE,AB 平面 BCGE,所以DE 平面 BCGE,故 DECG, 由已知,四边形 BCGE 是菱形,且 60EBC 得EM CG,故CG 平面 DEM。 因此DMCG。 在RtDEM中,DE=1, 3EM ,故2DM 。 所以四边形 ACGD 的面积为 4. 【答案】 (1)见详解; (2)4.