1、高考真题 （2019全国 III 卷（文） ）已知曲线 2 :, 2 x C yD，为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，切点 分别为,A B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以 5 0, 2 E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 【解析】 （1）证明：设 1 ( ,) 2 D t , 11 ( ,)A x y,则 2 11 1 2 yx。又因为 2 1 2 yx，所以yx.则切线 DA 的斜率 为 1 x，故 111 1 () 2 yx xt，整理得 11 2210txy .设 22 (,)B xy，同理得 11 2210txy . 11
2、( ,)A x y, 22 (,)B xy都满足直线方程2210txy .于是直线2210txy 过点 ,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy .即2( 21)0txy ，当 20, 210 xy 时等式恒成立。所以直线AB恒过定点 1 (0,) 2 . （2）由（1）得直线AB方程为2210txy ，和抛物线方程联立得： 2 2210 1 2 txy yx 化简得 2 210 xtx .于是 12 2xxt, 2 1212 ()121yyt xxt 设M为线段 AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t 由于EM AB ，而 2 ( ,2)EMt t ,AB 与向量(1, ) t平行，所以 2 (2)0tt t， 解得0t 或1t . 当0t 时，(0, 2)EM ，2EM 所求圆的方程为 22 5 ()4 2 xy; 当1t 时，(1, 1)EM 或( 1, 1)EM ，2EM 所求圆的方程为 22 5 ()2 2 xy. 所以圆的方程为 22 5 ()4 2 xy或 22 5 ()2 2 xy. 【答案】 （1）见详解； （2） 22 5 ()4 2 xy或 22 5 ()2 2 xy.
