1、4.4函数与方程 对应学生用书第 47 页 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)=0 有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 =b2-4ac0=00)的图象 与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数210 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调 函数,则f(x)至多有一个零点.函数的
2、零点不是一 个“点”,而是方程f(x)=0 的实根. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间 a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图所 示,所以f(a)f(b)0 是y=f(x)在闭区间a,b上有 零点的充分不必要条件. 3.若周期函数有零点,则必有无穷多个零点. 【概念辨析】 1.判断下面结论是否正确.(对的打“”,错的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.() (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.() (3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0 时没有零点.() (4)若f(x)=
3、x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,则当x(4,+)时,恒有h(x)f(x)g(x).() 答案(1)(2)(3)(4) 【对接教材】 2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x12345 f(x)-4-2147 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(). A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5) 答案B 解析由所给的函数值的表格可以看出,x=2 与x=3 对应的函数值的符号不同,即f(2)f(3)0,得f(x)在R上单调递增,又f(-1)=1 e-30,则f(-1)f(0)0.因此函数f(x) 有且只有一个零点. 【易错自纠】 4.f(x)=
4、ex-x-2 必存在零点的区间是(). A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2)D.(2,3) 答案C 解析f(-1)=1 e-10,f(0)=-10,f(1)=e-30,f(3)=e3-50,因为 f(1)f(2)0),g(x)=x+ex,h(x)=x+lnx(x0)的零点分别为x1,x2,x3,则(). A.x1x2x3B.x2x1x3 C.x2x3x1D.x3x10),y=-ex,y=-lnx(x0)的图象,如图所示,可知选 C. 【真题演练】 6.(2019 年全国卷)函数f(x)=2sinx-sin 2x在0,2的零点个数为(). A.2B.3C.4D.5 答案B 解析由 2s
5、inx-sin 2x=0,得 sinx=0 或 cosx=1. 又x0,2,由 sinx=0,得x=0,2. 由 cosx=1,得x=0,2. f(x)=0 有三个实根,分别为 0,2,即f(x)在0,2上有三个零点. 对应学生用书第 48 页 函数零点所在的区间【题组过关】 1.函数f(x)=lnx- 2 ?-1(x1)的零点所在的区间是( ). A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5) 答案B 解析函数f(x)=lnx- 2 ?-1在(1,+)上是增函数,且在(1,+)上连续.因为 f(2)=ln 2-20, 所以f(2)f(3)0,所以函数的零点所在的区间是(2,3).
6、2.若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(). A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内 答案A 解析ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0, 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内f(x)分别存在零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于 区间(a,b),(b,c)内,故选 A. 3.(2021 安徽师范大学附属中学高三期末)我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠 穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一
7、尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢.”翻译 过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、 小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加 倍,小鼠减半,则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为 130 尺,则在 第()天墙才能被打穿. A.6B.7C.8D.9 答案C 解析设需要n天时间墙才能被打穿,则2 ?-1 2-1 + 1- 1 2 ? 1-1 2 130,化简得2n- 2 2?-1290,令f(n)=2 n-2 2?-129(n1), 则f(7)=27- 2 27-1290, f(n)在(7,8)内存在一个零点. 又函数f(n)
8、在n1 时单调递增,f(n)在(7,8)内存在唯一一个零点. 需要 8 天时间墙才能被打穿. 点拨确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有 f(a)f(b) 0的零点个数是 . 答案2 解析当x0 时,令x2-2=0,解得x=-2(正根舍去),所以在(-,0上,f(x)有一个零点;当 x0 时,f(x)=2+1 ?0 恒成立,所以 f(x)在(0,+)上是增函数. 又因为f(2)=-2+ln 20,所以f(x)在(0,+)上有一个零点. 综上,函数f(x)的零点个数为 2. 【变式设问】函数f(x)
9、= ?2+ x-2,x 0, -1+ ln?,? 0 的零点个数为(). A.3B.2C.1D.0 答案B 解析由f(x)=0 得 ? 0, ?2+ x-2 = 0或 ? 0, -1+ ln? = 0, 解得x=-2 或x=e. 因此函数f(x)共有 2 个零点. 点拨函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)利用零点存在性定理,要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0 时,f(x)=ex+x-3,则f(x) 的零点个数为(). A.1B.2C.3D.4 (2)(2021 天津河东区模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx的零点个
10、数为(). A.0B.1C.2D.3 答案(1)C(2)C 解析(1)因为函数f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以f(0)=0,即x=0 是函数f(x)的 1 个零点. 当x0 时,令f(x)=ex+x-3=0,则 ex=-x+3,分别画出函数y=ex和y=-x+3 的图象,如图所示,两函数图象 有 1 个交点,所以函数f(x)有 1 个零点. 根据对称性知,当x0),y=lnx(x0)的 图象,如图所示. 由图可知函数f(x)的零点个数为 2. 函数零点的综合应用【考向变换】 考向 1根据函数的零点个数求参数 (2018 年全国卷 )已知函数f(x)= e?,x 0, ln?,? 0,g(
11、x)=f(x)+x+a.若 g(x)存在2 个零点,则a的取值范 围是(). A.-1,0)B.0,+) C.-1,+) D.1,+) 答案C 解析g(x)=f(x)+x+a存在 2 个零点等价于函数f(x)= e?,x 0, ln?,? 0与 h(x)=-x-a的图象存在 2 个交点,如 图,当x=0 时,h(0)=-a,由图象可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在 2 个交点,需要-a1,即a-1. 点拨已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结 合;(3)分离参数,转化为求函数的最值. 【追踪训练 2】(2021 九江第二次联考
12、)已知f(x)= 1 2 |?|(x 1), -?2+4x-2(x 1), 若关于x的方程a=f(x)恰有两个 不同实根,则实数a的取值范围是(). A.-, 1 2 1,2) B.0, 1 2 1,2) C.(1,2)D.1,2) 答案B 解析依题意,直线y=a与y=f(x)的图象有两个交点.作出y=a,y=f(x)的图象,如图所示. 当x1 时,f(x)= 1 2 |?| (0,1; 当x1 时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2. 当x=2 时,f(x)取得最大值,最大值为 2. 结合图象,当a 0, 1 2 1,2)时,两图象有两个交点. 此时,方程a=f(x)有两个不同实
13、根. 考向 2根据函数零点的范围求参数 (2021 广西玉林一模)函数f(x)=2x-2 ?-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围 是. 答案(0,3) 解析因为函数f(x)=2x-2 ?-a 在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2 ?-a 的一个零点在区间(1,2)内,则 有f(1)f(2)0,所以(-a)(3-a)0,即a(a-3)0,所以 0a1,b=log321,令f(x)=0,得ax=-x+b.在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax和 y=-x+b的图象,如图所示, 由图可知,两函数的图象在区间(-1,0)内有交点,所以函数f(x)在区间(-1,0)内有
14、零点,所以n=-1. (2)依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足 ? 2, ?(-1)?(0) 0, ?(1)?(2) 0, 即 ? 2, (?-2-? + 2? +1)(2? +1) 0, (?-2 + ? + 2? + 1)4(?-2) +2? +2? + 1 0, 解得1 4m 0, 2|?|,x 0, 则函数y=2f(x)2-3f(x)+1 的零点个数是. 答案5 解析由 2f(x)2-3f(x)+1=0 得f(x)=1 2或 f(x)=1, 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由图象知y=1 2与 y=f(x)的图象有 2 个交点,y=1 与y=f(x)的图象有 3
15、个交点. 因此函数y=2f(x)2-3f(x)+1 的零点有 5 个. 嵌套函数零点个数的判断问题求解的主要步 骤如下:(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零 点.(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出 x的值或判断图象交点个数. 求解时注意抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函 数的图象与性质. 【突破训练 1】已知函数f(x)= 2?+2 2 ,x 1, |log2(x-1)|,x 1, 则函数F(x)=f(f(x)-2f(x)-3 2的零点个数是( ). A.4B.5C.6D.7 答案A 解析令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t)-2t-
16、3 2,则函数 F(x)的零点问题可转化为方程f(t)-2t-3 2=0 的根 的问题. 令y=f(t)-2t-3 2=0,则 f(t)=2t+3 2. 分别作出y=f(t)和y=2t+3 2的图象, 如图,由图象可得两函数图象有两个交点,横坐标设为t1,t2(不妨设t1t2),则t1=0,1t22. 如图,结合图象可知,当f(x)=0 时,有一解,即x=2; 当f(x)=t2时,有 3 个解. 所以F(x)=f(f(x)-2f(x)-3 2共有 4 个零点. 角度二:求嵌套函数零点中的参数 函数f(x)= ln(-?-1),? t1),则t1-1,t2-1. 当t1-1 时,t1=f(x)有
17、一解;当t2-1 时,t2=f(x)有两解. 综上,当a-1 时,函数g(x)=f(f(x)-a有三个不同的零点. 1.求解本题要抓住分段函数的图象性质,由 y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而 由t=f(x)的图象确定零点的个数. 2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取 值“动起来”,抓临界位置,动静结合. 【突破训练 2】已知函数f(x)= |lg(-?)|,? 0, ?3-6x + 4,x 0,若关于 x的函数y=f(x)2-bf(x)+1 有 8 个不同的零点, 则实数b的取值范围为(). A.(2,8)B.2, 17 4 C.2, 17 4 D.(2,8
18、答案C 解析由题意得函数f(x) = |lg(-?)|,? 0, ?3-6x + 4 = (x-2)(?2+2x-2),x 0, 作出f(x)的简图,如图所示. 由图象可得,f(x)在(0,4上任意取一个值,都有四个不同的x值与之对应.再结合题中函数 y=f(x)2-bf(x)+1 有 8 个不同的零点,可得关于t的方程t2-bt+1=0 有两个不同的实数根t1,t2,且 0t14,0 0, 0 ? 2 0, 42-4b +1 0, 解得 2 1,则函数 f(x)的零点为(). A.1 2,0B.-2,0 C.1 2 D.0 答案D 解析当x1 时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0; 当x
19、1 时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=1 2, 又因为x1,所以此时方程无解. 综上,函数f(x)的零点只有 0. 2.(2021 西安第一次调研)函数f(x)=log8x- 1 3?的一个零点所在的区间是( ). A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案B 解析f(1)=-1 30, f(1)f(2) 0 (aR),若函数f(x)在 R 上有两个零点,则a的取值范围是(). A.(-,-1) B.(-,1) C.(-1,0)D.-1,0) 答案D 解析当x0 时,f(x)=3x-1 有一个零点1 3. 因此当x0 时,f(x)=ex+a=0 只有一个实根, a
20、=-ex(x0),则-1a0,f(3)0,f(5)0或m=-1 时,直线 y=m与函数y=x2-2|x|的图象有两个交点,即函数f(x)=x2-2|x|-m有两个零点. 7.已知函数f(x)= ? + 3,? 1, -?2+2x +3,x 1,则函数 g(x)=f(x)-ex的零点个数为. 答案2 解析函数g(x)=f(x)-ex的零点个数即为函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.作出函数图象可知有2 个交点,即函数g(x)=f(x)-ex有 2 个零点. 8.已知函数f(x)= 2?-1,x 0, -?2-2x,x 0,若函数 g(x)=f(x)-m有 3 个零点,则实数m的取值范围是
21、. 答案(0,1) 解析 作出f(x)= 2?-1,x 0, -?2-2x,x 0的图象,如图所示. 由于函数g(x)=f(x)-m有 3 个零点, 所以结合图象得 0m0 时,f(x)是增函数,f(3)=0,则函数g(x)=f(x)+lg|x+1|的零点个数 为. 答案3 解析画出函数y=f(x)和y=-lg|x+1|的大致图象,如图所示. 由图象知,函数g(x)=f(x)+lg|x+1|的零点的个数为 3. 11.已知函数f(x)= 1 2 ?,g(x)=log 1 2x,记函数 h(x)= ?(?),?(?) ?(?), ?(?),?(?) ?(?), 则函数F(x)=h(x)+x-5
22、的所有零点的和 为. 答案5 解析由题意知函数h(x)的图象如图所示,易知函数h(x)的图象关于直线y=x对称,函数F(x)所有零点 的和就是函数y=h(x)与函数y=5-x图象交点的横坐标的和,设图象交点的横坐标分别为x1,x2,因为两函数图 象的交点关于直线y=x对称,所以?1+?2 2 =5-?1+?2 2 ,所以x1+x2=5. 12.已知函数f(x)= 2?,x a, ?2,x a.若 f(x)是单调函数,则实数a的取值范围是;若存在实数b,使函数 g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数a的取值范围是. 答案 2,4(-,0) 解析因为函数f(x)为单调递增函数,所以a0 且 2a
23、a2.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x与 y=x2的大致图象,由图可知,实数a的取值范围为2,4.函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)与 y=b的图象有三个交点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=f(x)与y=b的图象(图略),由图可知,当a0)有且仅有 4 个实数根,则正实数k的取值范围为(). A. 1 5, 1 4 B. 1 5, 1 4 C. 1 4, 1 3 D. 1 4, 1 3 答案D 解析设函数f(x)=x-x,则函数f(x)的图象与直线y=1-kx(k0)有且仅有4个交点.如图,先画出函数f(x) 的图象,又直线y=1-kx(k0)恒过定点P(0,
24、1),设点A,B的坐标分别为(3,0),(4,0),要使函数f(x)的图象与直线 y=1-kx(k0)有且仅有 4 个不同的交点,易知应满足-1 3=kPA-kkPB=- 1 4,解得 1 4k 1 3.故选 D. 14.定义在 R 上的奇函数f(x),当x0 时,f(x)= - 2? ?+1,x0,1), 1-|?-3|,?1, + ), 则函数F(x)=f(x)-1 的所有零点之和 为. 答案 1 1-2 解析由题意知,当x0时,f(x)= - 2? 1-?,x(-1,0), |? +3|-1,?(-,-1, 作出函数f(x)的图象如图所示,设函数y=f(x)的图 象与直线y=1 交点的横坐标从左到右依次为 x1,x2,x3,x4,x5,由图象的对称性可知,x1+x2=-6,x4+x5=6,则 x1+x2+x4+x5=0,令-2? 1-?= 1 ,解得 x3= 1 1-2,所以函数 F(x)=f(x)-1 的所有零点之和为 1 1-2.
