1、第三章第三章导数及其应用导数及其应用 第一节第一节导数的概念及其运算导数的概念及其运算 考点考点 2 导数几何意义及应用导数几何意义及应用 （2018全国卷（理） ）曲线 y（ax1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为2，则 a_. 【解析】y（axa1）ex，当 x0 时，ya1， a12，得 a3. 【答案】3 （2018全国卷（理） ）曲线 y2ln（x1）在点（0,0）处的切线方程为_ 【解析】 y2ln （x1） ， y ? ?.令 x0， 得 y2， 由切线的几何意义得切线斜率为 2， 又切线过点 （0,0） ， 切线方程为 y2x，即 2xy0. 【答案】2xy0 （2018全国
2、卷（理） ）设函数 f（x）x3（a1）x2ax，若 f（x）为奇函数，则曲线 yf（x）在点（0,0） 处的切线方程为（） Ay2xByx Cy2xDyx 【解析】方法一f（x）x3（a1）x2ax， f（x）3x22（a1）xA 又 f（x）为奇函数，f（x）f（x）恒成立， 即x3（a1）x2axx3（a1）x2ax 恒成立， a1，f（x）3x21，f（0）1， 曲线 yf（x）在点（0,0）处的切线方程为 yx. 故选 D 方法二f（x）x3（a1）x2ax 为奇函数， f（x）3x22（a1）xa 为偶函数， a1，即 f（x）3x21，f（0）1， 曲线 yf（x）在点（0,0）
3、处的切线方程为 yx. 故选 D 【答案】D （2018江苏卷）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足 f（x0）g（x0） 且 f（x0）g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）x 与 g（x）x22x2 不存在“S 点”； （2）若函数 f（x）ax21 与 g（x）ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）x2a，g（x）?e ? ? .对任意 a0，判断是否存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在 区间（0，）内存在“S 点”，并说明理由 【解析】 （1）
4、证明函数 f（x）x，g（x）x22x2， 则 f（x）1，g（x）2x2. 由 f（x）g（x）且 f（x）g（x） ， 得 ?, ?, 此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S 点” （2）函数 f（x）ax21，g（x）ln x， 则 f（x）2ax，g（x）? ?. 设 x0为 f（x）与 g（x）的“S 点”， 由 f（x0）g（x0）且 f（x0）g（x0） ，得 ?0 ? ? ? h ln?0, ?0h ? ?0 , 即 ?0 ? ? ? h ln?0, ?0 ? h ?, （*） 得 ln x0? ?，即 x0e ? ?，则 a ? ? e? ? ? e ?. 当
5、ae ?时，x0e ? ?满足方程组（*） ， 即 x0为 f（x）与 g（x）的“S 点” 因此，a 的值为e ?. （3）对任意 a0，设 h（x）x33x2axA 因为 h（0）a0，h（1）13aa20， 且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 x0（0,1） ，使得 h（x0）0. 令 b ?0 ? e?0?0?，则 b0. 函数 f（x）x2a，g（x）?e ? ? ， 则 f（x）2x，g（x）?e ? ? . 由 f（x）g（x）且 f（x）g（x） ， 得 ? ? ? h ?e? ? , ? ? h ?e? ? , 即 ? ? ? h ?0 ? e?0?0 ? e? ? , ? ? h ?0 ? e?0?0 ? e? ? , （*） 此时，x0满足方程组（*） ，即 x0是函数 f（x）与 g（x）在区间（0,1）内的一个“S 点” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，）内存在“S 点” 【答案】见解析
