1、第四章第四章三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考点考点 1 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 （2018北京卷（理） ）在ABC 中，a7，b8，cos B? ?. （1）求A； （2）求 AC 边上的高 【解析】 （1）在ABC 中，因为 cos B? ?， 所以 sin B ? ? cos? ? ? . 由正弦定理得 sin Aasin? ? ? ? . 由题设知 ?B，所以 0A ?， 所以A ?. （2）在ABC 中， 因为 sin Csin（AB）sin Acos Bcos Asin B? ? ? ， 所以 AC
2、 边上的高为 asin C7? ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018浙江卷）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C若 a ?，b2，A60，则 sin B _，c_. 【解析】如图，由正弦定理 ? sin? ? sin?， 得 sin B? ?sin A ? ? ? ? ? ? . 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 得 74c24ccos 60， 即 c22c30，解得 c3 或 c1（舍去） 【答案】 ? ? 3 （2018天津卷（理） ）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C已知 bsin Aacos ? ? ? . （1）求角
3、 B 的大小； （2）设 a2，c3，求 b 和 sin（2AB）的值 【解析】 （1）在ABC 中，由正弦定理 ? sin? ? sin?，可得 bsin Aasin B 又由 bsin Aacos ? ? ? ，得 asin Bacos ? ? ? ， 即 sin Bcos ? ? ? ，所以 tan B ?. 又因为 B（0，） ，所以 B ?. （2）在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B ?， 得 b2a2c22accos B7，故 b ?. 由 bsin Aacos ? ? ? ，可得 sin A ? ? . 因为 ac，所以 cos A? ? ? . 因此 sin 2A2si
4、n Acos A? ? ? ， cos 2A2cos2A1? ?. 所以 sin（2AB）sin 2Acos Bcos 2Asin B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，C若ABC 的面积为? ? ? ，则 C 等于（） A ? B ? C ? D ? 【解析】S? ?absin C ? ? ?cos? ? ? ?abcos C， sin Ccos C，即 tan C1. 又C（0，） ，C ?. 【答案】C （2018全国卷（理） ）在ABC 中，cos ? ? ? ? ，BC1，A
5、C5，则 AB 等于（） A4 ?B ? C ?D2 ? 【解析】cos ? ? ? ? ， cos C2cos2? ?12 ? ? ? 1? ?. 在ABC 中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212251 ? ? ? 32， AB ?4 ?. 故选 A 【答案】A （2018全国卷（理） ）在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5. （1）求 cosADB； （2）若 DC2 ?，求 BC 【解析】 （1）在ABD 中，由正弦定理得 ? sin? ? sin?， 即 ? sin? ? sin?，所以 sinADB ? ? . 由题意知，ADB90， 所以 cosADB ? ? sin? ? ? ? ? ? ? . （2）由题意及（1）知，cosBDCsinADB ? ? . 在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC258252 ? ? ? 25， 所以 BC5. 【答案】见解析
