1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第七节第七节 抛物线抛物线 考点考点 3 直线和抛物线的综合题直线和抛物线的综合题 （2018浙江卷）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 （1）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x2? ? ? 1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围 【解析】 （1）设 P（x0，y0） ，A ? ? ? ? ，B ? ? ? . 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程 ?t? ? 24 ? ? ?t?
2、 ? ， 即 y22y0y8x0? ?0 的两个不同的实根 所以 y1y22y0， 所以 PM 垂直于 y 轴 （2）由（1）可知 ?t ? ? ? t? ? ? 所以|PM|? t（? ? ? ?）x0? ? ? ?3x0， |y1y2|2 ? ? ? ? ?. 所以PAB 的面积 SPAB? ?|PM|y1y2| ? ? ? (? ?) ? ?. 因为? ? ? ? 1（1x00） ， 所以? ?4x04? ? ?4x044,5， 所以PAB 面积的取值范围是 ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）已知点 M（1,1）和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率
3、为 k 的直线与 C 交于 A， B 两点若AMB90，则 k_. 【解析】方法一设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4（x1x2） ，k? ? ? ?t?. 设 AB 的中点为 M（x0，y0） ，抛物线的焦点为 F，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A，B， 则|MM|? ?|AB| ? ?（|AF|BF|） ? ?（|AA|BB|） M（x0，y0）为 AB 中点， M 为 AB的中点，MM平行于 x 轴， y1y22，k2. 方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为 F（1,0） ，设直线方程为 yk（x1） ，直线方
4、程与 y24x 联立， 消去 y，得 k2x2（2k24）xk20. 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1x21，x1x2? ?t? ? . 由 M（1,1） ，得?t ?（1x1,1y1） ，?t?（1x2,1y2） 由AMB90，得?t ?t?0， （x11） （x21）（y11） （y21）0， x1x2（x1x2）1y1y2（y1y2）10. 又 y1y2k（x11）k（x21）k2x1x2（x1x2）1，y1y2k（x1x22） ， 1? ?t? ? 1k2? ? ?t? ? t ? k ?t? ? ? ? 10， 整理得 ? ? ? ?10，解得 k2. 【答案】2 （2018全国卷（理） ）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点（2,0）且斜率为? ?的直线与 C 交于 M，N 两点，则?t ? ?t? ?等于（ ） A5 B6 C7 D8 【解析】由题意知直线 MN 的方程为 y? ?（x2） ， 联立直线与抛物线的方程，得 ? ? ? ? ? t ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? 不妨设点 M 的坐标为（1,2） ，点 N 的坐标为（4,4） 又抛物线的焦点为 F（1,0） ， ?t ?（0,2） ，?t? ?（3,4） ?t ?t? ?03248. 故选 D 【答案】D
