1、第八章第八章 立体几何立体几何 第五节第五节 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 考点考点 2 面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质 （2018江苏卷）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1. 求证： （1）AB平面 A1B1C； （2）平面 ABB1A1平面 A1BC 【解析】证明（1）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1. 因为 AB平面 A1B1C， A1B1平面 A1B1C， 所以 AB平面 A1B1C （2）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 四边形 ABB1A1为平行四边形 又因为 AA1AB，所以
2、四边形 ABB1A1为菱形， 因此 AB1A1B 又因为 AB1B1C1，BCB1C1， 所以 AB1BC 又因为 A1BBCB，A1B，BC平面 A1BC， 所以 AB1平面 A1BC 因为 AB1平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1平面 A1BC 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 ? ?所在平面垂直，M 是 ? ?上异于 C，D 的点 （1）证明：平面 AMD平面 BMC （2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 【解析】 （1）证明由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD 因为 BCCD，BC
3、平面 ABCD，所以 BC平面 CMD， 又 DM平面 CMD， 故 BCDM. 因为 M 为 ? ?上异于 C，D 的点，且 DC 为直径， 所以 DMCM. 又 BCCMC，BC，CM平面 BMC， 所以 DM平面 BMC 又 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC （2）当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD 证明如下：连接 AC，BD，交于点 O.因为 ABCD 为矩形， 所以 O 为 AC 中点 连接 OP，因为 P 为 AM 中点， 所以 MCOP. 又 MC平面 PBD，OP平面 PBD， 所以 MC平面 PBD 【答案】见解析 （2018全国卷（文） ）如图，在平行
4、四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ? ?DA，求三棱锥 QABP 的体积 【解析】 （1）证明由已知可得，BAC90，即 BAAC 又 BAAD，ACADA，AD，AC平面 ACD， 所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC （2）由已知可得， DCCMAB3， DA3 ?. 又 BPDQ? ?DA， 所以 BP2 ?. 如图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E，
5、则 QEDC 且 QE? ?DC 由（1）知平面 ACD平面 ABC，又平面 ACD平面 ABCAC，CDAC，CD平面 ACD，所以 DC平 面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥 QABP 的体积 VQABP? ?SABPQE ? ? ? ?32 ?sin 4511. 【答案】见解析 （2018北京卷（文） ）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD， PAPD，E，F 分别为 AD，PB 的中点 （1）求证：PEBC； （2）求证：平面 PAB平面 PCD； （3）求证：EF平面 PCD 【解析】证明（1）因为 P
6、APD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD 因为底面 ABCD 为矩形， 所以 BCAD，所以 PEBC （2）因为底面 ABCD 为矩形， 所以 ABAD 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PAD， 又 PD平面 PAD， 所以 ABPD 又因为 PAPD，PAABA，PA，AB平面 PAB， 所以 PD平面 PAB 又 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面 PCD （3）如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG? ?BC， 因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE? ?BC 所以 DEFG，DEFG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形， 所以 EFDG. 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD 【答案】见解析
