1、 课程内容章节课程内容章节: 1.质点运动学质点运动学 2.动量守恒动量守恒 质点动力学质点动力学 3.机械能守恒机械能守恒 4.角动量守恒角动量守恒 刚体力学刚体力学 5.连续体力学连续体力学 6.振动和波振动和波 7.万有引力万有引力 8.相对论相对论 数量级的概念数量级的概念 十进位计数法十进位计数法 科学计数法科学计数法 用用10的正幂次代表大数，的正幂次代表大数，10的负幂次代表小数。的负幂次代表小数。 一个物理量的数值写成一个小于一个物理量的数值写成一个小于10的数字乘以的数字乘以10的幂次，还可的幂次，还可 以将其有效数字的位数表示出来。以将其有效数字的位数表示出来。 例如：可以
2、把例如：可以把2300写成写成 科学计数法中，指数相差科学计数法中，指数相差1，即代表数目大，即代表数目大10倍或小倍或小10倍，这叫倍，这叫 做相差一个做相差一个“数量级数量级” 3 2.30 10 第一章第一章 习题：习题： 4 4、5 5、8 8、9 9、1010、1111、1313、1414 第二章第二章 动量守恒动量守恒 质点动力学质点动力学 2.1 惯性惯性 一、惯性定律一、惯性定律 任何物体，只要没有外力改变它的状态，将永远保持静止或匀速直线运动的状态。 牛顿第惯性定律即一定律。 二、惯性系二、惯性系 对某一特定物体，惯性定律成立的参考系，为惯性参考系，简称。 在一个参考系中，只
3、要某个物体符合惯性定律，则其他物体都服从惯性定律。 惯性定律和惯性系是牛顿力学的基础。 一般，我们把固着在地面上的参考系当做惯性系， 惯性系 基称之为本参考系。 2 质量、动量、力、冲量质量、动量、力、冲量 一、质量一、质量 12 A A 质量被理解为“” 与质量直接有关的基本定律： 、； 、 ：若两个质点距离质点 有相等的距离。 则这两个质点受质点 的引力之比，等于两质点的质量之比。 若规定其中一个质点的质量为1个单位，则引力的比值就是另一质 万有引力定律运动定律 引力定律(引力质量) 引力质量。 运动定律(惯 点的质量。 由此定义给出的质量称为 ：两个相互作用的物体加速度的负比值等 物体所
4、含物质 于两个物体质性质量 的 量 量 )的反比。 12 mmKg C 既然，质量是“物体所含物质的量”。 从原子论的观点，衡量物体质量的多寡，自然是原子的数目。1971年14届 国际计量大会将“摩尔（mole）”列为质量的基本量。规定1mole 原子 的质量为12g。 目前质量的计量基准采用实物基准。 1889年，第一届国际计量大会决定，将保存在法国巴黎国际计量局 的一个特制的直径为39的铂铱合金圆标体的质量规定为1。 二二.动量、动量守恒定律动量、动量守恒定律 1212 12 12 11 1 22 2 + KK= 2 K - =- = 2 K K - =- = 2 mmv v vv V v
5、 v vv V vv vv V 设有两个质量相同的质点和。在固定坐标系中的速度为 ， 将两个质点看成一个系统，建立一个坐标系 ，使坐标系 相对的速度， 则两质点在 坐标系中的速度为 21 (2-2-1) =- (2-2-2)vv 比较两式可知： 2211 12 21 12 21 21 222 =- (2-2-3) = (2-2-4) =- mm vv mm vv vv vvv mvmv 两质点发生相互作用（如弹性碰撞） ，的速度增量 如果两质点质量不相同，则 但是，和的方向仍是反向平行的，且有 速度增量为相互作用前后的速度差 111 2221 1 122221 1 11 =- -=- + (2
6、-2-5) (2-=+2-6)m vm vv v m v vm vm v vm v v ，代入上式 （） （） 1212 (2-2-8) PPPP 定义动量： 动量是矢量，方向与质量运动速度相同。上式可写成 表明，两个质点的总动量在相互作用前后是的 一系统由两个质点组成，如果这两个质点只受到它们之间的相互作用， 则这个系统的总动量保持恒定，即 这就 守恒 动量守是恒定律。 12 +=P P 常量 (2-2-7)Pmv 1122 12 12 12 - - - 0 - PPPP PP t PP tt t dPdP dtdt （） 表明，作用前后，一个质点动量的增加量等于另一个质点动量的减少量。 将
7、动量改变量除以， 令，得到动量矢量的瞬时变化率 三三.力和力的叠加原理、质点组动量守恒力和力的叠加原理、质点组动量守恒 1221 2112ff 定义质点 对质点的作用力，质点 对质点 的作用力 1 12 2 21 dP f dt dP f dt 则 1221 -ff 即（作用力、反作牛顿第三定律用力定律） 力的叠加原理力的叠加原理 i i iij j i dP ff dt 如果有两个以上的质点，将这些质点看做一个系统，成为。 其中，第 个质点的动量改变率(所受到的作用力)是所有其他质点j对 它的作用力的矢量 质点组 力 和： 的叠加原理 i iii iji j i i ij j fff ff
8、ff 外内 内 外 如果该质点组是一个大系统中的子系统， 则质点组中质点 所受到的力可分为 内力和外力 质点组动量守恒质点组动量守恒 i i PP 把质点组(子系统)看做一个整体，质点组的总动量 质点组所受到的总力 i () ()() iii iii ij ij ij ii j dPdP Ffff dtdt ffFF 内外 内外 -, 0 ijji ffF 内 由牛顿第三定律内力的矢量和 dP F dt 外 =P 质点组(子系统)的动量改变率，等于外力的矢量和。 如果质点组所受的，则常数，质点组的外力和为零总动量是守恒量 1t - vdtdmtdt m dmvdvu 例题 .在 时刻，在外空间
9、(忽略重力和空气阻力)，一个火箭的总重量为m。 相对基本参考系的速度为 。在 时间间隔，喷出的燃料为。时刻， 火箭的质量,速度为。喷出的燃料的速度为 ，相对基本参考系。 ()()() ()() ()0 0 mvmdm vdvdm u mvmdvdm vdmdvdm u dmdv mdvuv dm Cuvdm mdvCdm dm dvC m 解： 按照动量守恒定律 忽略二次小量，得 设为燃料相对火箭的速度（喷气速度） 0 0 0 0 0 0 0 ln - -1 CKm/s % C= Km/sv=7.9Km/s50.9 vm m v C v C mvm dm dvC m m vC m m e m
10、mmm mm e m 设火箭的初速度为0，初质量为，末速度为 ，末质量(载荷) 对上式积分 得 为燃料质量，其与火箭载荷 之比 化学燃烧所能达到的 最大值5。 考虑燃烧不充分和其他损失，很难超过理论值的50。 设2。若使火箭载荷达到第一宇宙速度。燃料载荷比达到。 这就是为什么在航天发射时，对于大载荷要采用多级火箭的原因。 12 12 2.50,150 5/ mKg mKg vKm hv 例题 一个人站在一辆车上。人和车的质量，。 开始时，人车相对地面都是静止的。车与地面的摩擦力为零。人相对 车开始运动，速度达到时，求车相对地面的速度 。 1 112 11222 1 21 12 121 2 ()
11、0 - m 1.25/ v vvv m vvm v m vv mm mv vKm h 解： 是人在运动坐标系（车）中的速度，换算成相对地面的速度 根据动量守恒，开始时人和车相对地面都是静止的 得 将， 代入，得 三、冲量，动量定理三、冲量，动量定理 m () (2-2-18) m F dPd mv F dtdt 设一个质点的质量为 ，所受到外力为 ，则 若质量 不变，则 上式即为经典力学中的牛顿第二定律 mdv Fma dt 0 0 00 0 ( ) (2-2-18) tt -( -) ttm t t FFF t FdtdP FdtP Pm v v 若外力 是时间的函数， 由式， 在 到 时间
12、内积分 定义矢量 为在 到 时间间隔内，作用在质点 上的冲量。 0 t t IFdt 0 0 0 tFt PP f tt ：在一段时间内，物体动量的增量，等于此时间间隔内作用 在该物体上的冲量。 如果作用力 很大，作用时间很短，称为。 冲击力常用平均冲击力表示： 冲量 原理 冲击力 0 00 -( -) t t IFdtP Pm v v 2.1002 0.01 mKgm s 例题 用自由下落重锤加工工件。重锤的质量。下落高度为。 锤与工件碰撞后，速度为零，打击时间为。求冲击力。 2 0 1 2 0, 2 2 v tzh zgth dz vgt dt z h tvhg g 解： （1）求撞击时，
13、重锤速度 时， 重锤碰撞工作时解得 ， 0 2 (2)0 N )2 2 12 (1) 10029.8/0.01 6500 t v Nmg dtmvmvmhg N tmg tmhg h Nmg tg mgKghmgsts NKg 撞击后， 设冲击力为 。由作用力、反作用力定律，分析重锤的动量改变。 （ 将，代入 求得 2.3 牛顿三定律及应用牛顿三定律及应用 牛顿第一定律（惯性定律）： 任何物体，只要没有外力改变它的状态。便永远保持静止 或匀速直线运动。 牛顿第二定律： 牛顿第三定律： fma 1221 ff 一、自然界常见的力一、自然界常见的力 1 (/) oA AA OO W KgmAm O
14、 mW mW A 引引 引 引 （）重力： 地球上的任何物体都受到地心的引力，称为重力。 用静力学方法 弹簧秤 绝对测量、天平 相对测量 测量重力得到的数值， 称为物体的重量。 用巴黎的原器，作为标准质量单位。任一物体 的质量， 用原器 的重量比较： 比值与时间、地点无关，仅与物体 本身有关 0000 -11 0 10 AAA A A AAAA AA Wmgg mgmW Wmgm gg mm m Wm g m 惯引 引惯 引惯 引惯 由牛顿第二定律：是重力加速度。 通过测量物体的加速度确定质量称为惯性质量。 通过非常精密的实验（精度达到）， 因此， 这是一条普遍而精确的定律。 通常不再区分、
15、k x （2）弹性力 物体在受力状态时，有恢复原状的趋势，这种抵抗外力，恢复原状的力， 称为弹性力。 弹性力遵从胡克定律： 称为弹性物体（如弹簧）的有时也称为弹性系数。 为偏离平衡位置的位移。弹性力总是和位移的方向相反。 弹性物体有一定的弹性形变范围。胡克定律只在这个范围内成立。 超过这个范围，物体将不能恢 劲度系数， 复原状。 fkx （3）摩擦力 静摩擦 干摩擦(固体表面) 摩擦滑动摩擦、滚动摩擦 湿摩擦：液体内部或液体与固体的摩擦。 00 0 ABA AA AB A A NBA F FFf f fF fF fff f 设 是放在地面 上的一个物体。用水平力 推物体 。 当力 较小时， 不
16、动，说明只有一个大小与 相等，方向相反的力 作用在 上。 是由于 、 间存在摩擦时产生的。 因 与 使 保持静止，称为。 的大小是随 的大小改变的。 有一个最大值 。当F超过 值，物体 开始移动。 称为 称为静摩擦系数 静摩擦： 。 是物体 静摩擦力 最大静摩擦力 对 的正压力。 0 = Nf 0 AB =( ) f v v 当外力大于最大静摩擦力 时， 相对于 开始移动。 但这时，仍存在一个与运动方向相反的阻力，称为。 称为滑动摩擦系数。 是运动速度的函数，。 滑动开始时， 随着相对速度 的增大而逐渐变小，然后又逐渐增大。 但这种改变较小，因此可在一个相当 宽的时间范围内认为，动摩 滑动摩
17、擦力不 滑动摩 依 赖 擦： 擦力 于速度。 fN 二、应用举例二、应用举例 动力学的典型问题 第一类：已知作用于物体上的力， 由力学规律决定该物体的运动情况或平衡状态； 第二类：已知物体的运动情况或平衡状态， 由力学规律推究作用在物体上的力。 12 12 12 2-3-1 , mm mm amm 例题： 如图，一细绳跨过一定滑轮。两端各悬质量为，的物体。 设绳子与滑轮间无滑动摩擦。 求加速度 ，绳端拉力与质量、间的关系。 2121 2121 2211 212121 22 11 21 21 21 12 0, 2 TTmm TTmm TTTT TTTTTTT m gTm a Tm gm a mm
18、 ag mm m m Tg mm 解： 设 ，分别是，物体给绳的拉力。 ， 是绳子给物体，的拉力。 由牛顿第三定律有， 由于绳子质量可忽略，由牛顿第二定律 ，用 表示此拉力 由第二定律： 解得 o 2-3-2= = = 例题：一个物体放在30 的斜面上，如图所示。物体与斜面的 摩擦系数0.2。物体是否能够下滑。下滑的加速度是多少？若物体 刚好不能下滑？ y sin cos () cos x y y x Wmg Wmg NW fNmg 解： 设下滑方向为x方向，垂直斜面为 方向。 重力在x,y方向的分量 斜面对物体的摩擦力 1 (sincos) (sincos) xxx xx x Wfma Wf
19、 amgmg mm g 由牛顿第二定律 2 2 30 ,0.29.8/ 3.2/ sincos0 tan= arctan(0.2)11.3 o x o gm s am s 将，代入 若使物体刚好不下滑， 即 =0.2 解得 2.4 伽利略相对性原理和非惯性系伽利略相对性原理和非惯性系 的表述： 一个相对于惯性系，做匀速直线运动的其他参考系，内部所发生的一 切物理过程，都不受到该系统作为整体的匀速直线运动的影响。 按照此表述，在这个匀速直线运动的坐标系中，牛顿三定律也是成立。 那么根据惯性系的定义，可以得出结论： 相对一个惯性系做匀速直线运动的一切参考系都是惯性系，一切惯性 伽利略相对性原理 系
20、 都是等价的。 一一. 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 P , , , KKKVK r v aK rrR vvV aaA 设 为一个惯性系，是相对 的速度 运动的坐标系。将质点 在 系 中的变换到系中 000 d 0, , 0=0, - t v KKAK dt x x tRRRRVtVt xx Vt rrVt yy vvV zz aa tt 假定相对 做匀速直线运动,也是一个惯性系。 设运动方向为方向。 取时， 于是 坐标变换 引入绝对时间概念 * 这组公式称为。(质量在两个惯性系之间的位置坐标变换)。 伽利略变换只适用低速(与光速相比)运动的物体。 两个相对运动的惯性系等价，意味着在两个惯性系
21、中牛顿三定律都成立。 不意味着在两个惯性系中的 伽利略坐标 运动轨 变换式 迹相同。 二、惯性力二、惯性力 当处在一列行驶的火车中，火车的桌面放有一杯水。如果火车是匀速 直线行驶，杯中的水面与地面平行，如果火车加速运动，水平的法线 会向前倾斜。如果火车急加速，杯子会向后倒下。从火车这个坐标系 看，并没有给杯子施加向后的力。显然，牛顿第二定律不成立。这时 火车就是一个 因此，相对惯性系做加速运动的坐标系是非惯性系。 于是，提出了一个问题，如 非惯性系。 非惯性何在中应用系牛顿定律。 , KKA mKaKa aaA mf K fma aaA 设地面坐标系为 ,火车坐标系为。火车以加速度 行驶。设火
22、车中一 平滑桌面上有一物体 。物体相对 的加速度为相对的加速度为 由(2-4-1)式有 设施加在 上的水平方向的外力为 是惯性系，牛顿第二定律成立 将 代入 fmamA = 0 0 fmA fff KmafmA fmamA KaA KK f ma m 惯 惯 惯性力 在 系中， 如果外力 = ， 显然，在系中 ， 为使在非惯性系中，牛顿第二定律能够在形式上成立。在中的物体 引入一个附加力，称为： 在非 惯性系中的牛顿第二定律 是施加到物体 上的“真 实力”。 K f 是系中的“有效力” ( - ()0 () () 0, 0, a mgN fma Nmgmam gaN Nm ga N NNm g
23、a aKNmgK aNmg 惯 超重与失重： 人站在放置在升降机的台秤上，升降机以加速度 升降。在此坐标系中， 人受到的力是重力向下)和台秤对人的支撑力 (向上)，以及惯性力 人对台秤的反作用力是台秤受到的压力 假定升降机匀速升降，也是惯性系 ，与 系中相同。 当升降机加速下降或减速上升 称 0, =g,=0, aNmg aN 为失重。 当升降机减速下降或加速上升 称为超重。 当称为完全失重。 三、惯性离心力三、惯性离心力 2 2 2 2 , 0 Kv v aR R v R a v fmammR R 一质点在惯性系 中做匀速圆周运动， 是线速度，R是圆周半径。 则质点的加速度 定义为质点圆周运
24、动的角速度。单位：弧度/s。 由于,则质点一定受到一个力 假设质点与原点间是由一个无质量的细绳 连接的。这个力就是细绳对质点的拉力。 2 0 0 0 KK a KK f K ff m f ffR K 惯 惯 惯 惯 设一原点在质点上的坐标系。此坐标系相对于惯性系 做匀速圆周运动， 加速度。 是非惯性系，在系中，质点是静止的。 质点所受到的细绳拉力和惯性力之和为 相对 做匀速圆周运动，称为惯性离心力。 0 0 0 22 0 222 0 , cos 2 Wf WWf R R fmRmR WWf 惯 惯 惯 惯 地球是围绕着通过南北极的轴在作自传的。在地球表面测得的物体的 重量，数值上等于重力和自转
25、产生的惯性力的合力数值，称为。 设地球的半径为 ，自转角速度为 物体所处的纬度为 ，转动半径为 。 惯性离心力 由 地球表面重力与纬度的关系 关系： 重 量 视 矢 0 0 2222 00 2 0 cos ,cos1 cos2cos (cos) W f Wf WWfW f Wf 惯 惯 惯惯 惯 由于 00 0 2 0 2 0 0 2 0 0 cos(1cos) 2 6400/9.81/ 24*60*60 1 (1cos) 289 1 0 1 (1cos (1) 191 ) 191 f WWfW W RKmrad sgm s WW W W WW W W W 惯 惯 将， 考虑到地球稍呈扁平，的
26、实际值为 在地球两极，视重最大 在赤道处，视重最小。 2 - , , sin KK rKRv fmR vr vr CA BABk kC CAB 设 是一个惯性系，在 系中，质点做匀速圆周运动。 是质点在 系中的位矢， 是圆周的半径， 是质点运动的线速度。 质点所受的向心力 角速度也是一个矢量 ，表示如图2 46 之间满足以下关系 按照矢量运算法则 是 的单位矢量 、 、 遵从右手定则 四、科里奥利力四、科里奥利力 / / / 2 2 / 2 , ()= 1 rre r r rr ee Rrrrrr AB CA C BA B C r 是 在转轴方向的分量，与 是同向的矢量，设为 的单位矢量 可以
27、表示为 （） （） 由矢量运算 2 2 rr rr fmRmr KK KK fmr 惯 向心力 是一个以同样角速度 绕 系中轴的参考系(非惯性系)。 质点在系中是的。在系中，质点受到的惯性离心力 静止 , sin, 0 + Kv P tKtP tt KPPtPPt KPP tP PPtP 当质点相对旋转系以速度 运动时，要使牛顿定律成立需引入另一种力 科里奥利力。 设是 系一个任意矢量 在时间间隔，以角速度 旋转到 在 系中 在以同样角速度 旋转的系中， 没有改变，。 若在时间间隔， 的改变不仅仅是角速度 旋转 则 00 lim+lim + tt DPPP P Dttt DPdP P Dtdt
28、 DP PK Dt dP PK dt 是矢量 在 系中的时间变化率， 是矢量 在旋转系中的时间变化率。 Kr Drdr r Dtdt Vrv VK DVdV V Dtdt Vrv drvDV rv Dtdt drdv rv dtdt 若一个质点在 系中的位矢为 ，则 则 由速度定义，得 是 系中的一个矢量，于是 将代入上式 得 2Arva 2 22 , 2, , K K C K f Arva KfmA Kfmafmrm mr fmvm v v 惯 得 真实力（ 系中） 系中 惯性离心力 科里奥利力 在一个相对惯性系旋转的非惯性系中，若物体是运动的， 为使牛顿定律成立，除需 2 C fmv 引入
29、惯性离心力，还需引入 科里奥利力 2 C C C KK fmv KK v f vf 以地心为原点建立 坐标系，在地球表面上建立坐标系。 坐标系可看作为惯性系，由于地球的自转，坐标系是一个 相对惯性系旋转的非惯性系。 在地球表面上以速度 运动的物体都会受到科里奥利力 科里奥利力 的方向按照矢量运算法则（右手定则）定出， 右手食指等4指由 转向 ，拇指方向即为 的方向， CC C fvf f ， 连接南、北极的轴为地球的自转轴，地球由西向东自转， 的 方向是由南极指向北极的。 在北半球上运动的物体所受到的科里奥利力 的方向是 指向运动方向的右侧的。这就是为什么北半球的河流的右岸比 左岸冲刷的更厉害
30、的原因。 0 2 30360/ 2 2sin 3600002 , 360086400 0.007/ C c c Km h fmv av m v ss am s 例1：一高铁列车，在北纬向正北方向运行，时速， 求科里奥利力产生的加速度。 解： 将 代入上式 方向指向东方。 1 C t n t C mR O fNff ff f a fv 惯 例2：质量为 的小环套在半径为 的光滑大圆环上，大圆环在水平面内 以角速度 绕通过其上一点 的垂直转轴逆时针转动（如图所示）。 试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面内所受的约束力。 解： 在随大环转动的坐标系中，小环受到的有效力为 小环在大环上作圆周运
31、动， 可分为切向力 和 法向力 。 （）切向加速度 科里奥利力，由 2 22 2 sinsin sin2 cossin sin t t tt Nv ffmr arR R aa B 惯 于小环和大环间的摩擦系数 为零，。因此 当 为正值时， 为正值； 为负值时， 也为负值。 表明小环以 点为平衡位置在大环上来回摆动。 2 2 2 2 2 22 2 2 2 cos cos cos2 2cos2 1 cos2 Cn C N CA mv Nfff R mv Nff R mv mrmv R mv mRmv R mv mRmv R 惯离 惯离 （ ）水平面内的约束力 取方向为正方向 0 0 1221 =
32、= - t t t t fma ff dPdv Pmvfm dtdt P IFdt IFdtP 牛顿第一定律：惯性定律 （惯性定律成立的参考系称为惯性参考系） 牛顿第二定律： 牛顿第三定律： 牛顿定律只在惯性参考系中成立 动量：力： 动量守恒定律： 如果质点组所受的外力和为零，则常数，质点组的总动量是守恒量 冲量： 冲 第二章小结 量定理： 牛顿三定律 00 ( -)Pm v v 0 () =22 C a fma fmr fmvmv 惯 惯 相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。 相对惯性系运动的参考系的加速度的参考系是非惯性系。 若使牛顿三定律在非惯性系中成立，需引入 平动非惯性系：
33、惯性离心力： 转动参考系： 科里奥利力： 惯性力 第二章第二章 习题：习题： 2 2、3 3、6 6、8 8、1111、1616、2020、2424、2525、2929 第三章第三章 机械能守恒机械能守恒 3.1 功和能功和能 一、重力势能一、重力势能 , , 0 sin sin , w w wh wh ww h w hwh h 设两个重物的重力分别为,两重物由一根细绳通过定滑轮连接， 斜坡的角度为 。 下降就上升 。 假定w 所在斜坡的摩擦系数为 。 静力学平衡条件为： 由: 得： ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) abw baw abba 不 假定摩擦力不完全为0，要想
34、从,则需要在 上加一重量 。 要从回到,则需要把 移到上，这种情况，称为。 的大小依摩擦力的大小决定。设想如果摩擦力0，则0， 从或不需要添加 。称 可逆的 为可逆的。 whh ww w 不可逆可逆 可逆 理论和实践已证明永动机是不存在的。 以此为前提，用归谬法论证两个结论： 在给定 ， ， 的情况下， （1）所有不可逆装置中提升的都不大于可逆装置中提升的； （2）两个可逆装置中提升的相等。 ww 不可逆可逆 （1）所有不可逆装置中提升的都不大于可逆装置中提升的； 不可逆装置 ,wwwwwhwh wwh ww 如果可从中取出放到可逆装置中，下降 使 回到原高度 ， 则有一个的重物被留在 的高度
35、，显然这与永动机不存在相悖。 因此 可逆装置 w 可逆 （2）两个可逆装置中提升的相等 BAB AB , = AB A whABww AwwBww ww 下降在 ， 两种装置中，分别将和提升同样高度， 若 是可逆装置，则，若 也是可逆装置,则， 因此，只可能。 A 装置B 装置 p whw h E w wh 重 第二个结论可以推广为，在一切可逆装置中都相等。 公式 适用于一切可逆装置。 公式告诉我们，在装置可逆条件下, 是守恒量， 代表着一种潜在的作功本领，称为物体的。 记 力 作 重势能 P Ewhmgh 重 0 0 0 , () () xxWk Wmg fk xx dv mammgk xx
36、 dt 未加砝码前，弹簧的长度砝码重量为,弹簧的劲度系数为 。 砝码受到的力为重力 , 弹簧的拉力 , 由牛顿第二定律： 二二.弹性势能弹性势能 00 00 0 00 0 0 0 2 2 . , () 0,0, () 1 0 2 1 2 xhxh xx dx vvdtdxvdtdx dt mvdvmgdxk xx dx vxxvxxh mvdvmgdxkxx dx mghkh mghkh 由上式左边乘以右边乘以得 放砝码的瞬间，；达到平衡时，, 两边积分 得 左边为砝码下弹性势能。降过程中失去的重力势能，右边为被拉长的弹簧的 该式不仅适用于弹簧伸长的情形，也适用于弹簧缩短的情形 2 0 1 (
37、) 2 p Exk xx 弹 = 三三.动能动能 sin sin tt t dv wmam dt y wmg dtdsdy dy ds dvdyds mmgmdvmgdy dtdsdt mvdvmgdy 设有一单摆，如右图所示 由牛顿第二定律 向上为 的正方向 在时间间隔，质点移动 ，下降高度 代入上式 单摆的运动 0 0 2 2 0 0 1 2 0 1 2 v h mvdvmgdy vyh vy mvdvmgdy mvmgh hmgh mv 初始时，摆锤的高度为， 到达最低点时,速度为 ， 积分 得 摆锤的高度由 降为 时损失的势能， 转变为摆锤运动的能量。 定义动能： 2 1 2 k Em
38、v 单摆的运动 2 1 () 2 k k k f dtdE dEddvds mvmvfvf dtdtdtdt dEfds 一个物体在力 的作用下，物体沿直线运动，力的作用方向与物体运动 方向一致。 作用时间为,动能改变为 动能的增量等于力与位移的乘积。 四四.功和功率功和功率 0 00 22 00 ( ) ( ) 1 22 ( ) 1 k k E s kk s s k Es k fff s dEf E s ds mvEf svdsm dEfds 动能的增量等于力与位移的乘积： 如果位移不是无限小量，作用过程中 也不是恒力，。 则需积分 2 cos 1 ()cos 2 cos t nt t k
39、k f f ffv ff dEddvds mvmvf dtdtdtdt a babab dEf ds 若物体沿曲线运动，力 与位移方向不同， 夹角为 。 根据质点动力学，力可分为切向力 和法向力 ，只有切向力 才改变速度 的大小 由矢量运算( 是 与 的夹角) cos t ff 12 f fss f 与直线运动类似，如果位移不是无限小量，作用过程中 也不是恒力， 则为力与位移矢量的标积沿运动轨动能的增量迹的线积分。 定义物体在力的作用下，由曲线上点移动到点的 为力对物体 动能的增量 所做的功 22 21 11 cos ss kk ss AEEf dsfds P dA P dt 功率 单位时间内
40、所作的 功，称为 ,微分表示为 222 22 7 () CGS() 1111 111 110 MKSJ erg P JN mKg m smKg m s ergdyn cmg cms Jerg 由势能，动能和功的定义可知，能和功具有相同的量纲。 在米，千克，秒 单位制中功的单位为 (焦耳) 在厘米，克，秒 单位制中，功的单位为(尔格) 单位时间内所作的功称为功率 11 W dA P dt WJ s 功率单位为 （瓦特） 3.2 机械能守恒定律机械能守恒定律 一一.保守力和非保守力保守力和非保守力 0Af ds f 保守力的普遍定义： 使物体沿任意运动作功（或抵抗它运动作功） 为0的力，叫作保守力
41、；作功不为0的力就是非保守力。 用数学表示： 为 闭合回路 保守力。 0 ( -) x r fk x x f OPfOP mg 保守力的充分条件： （1）对于一维运动，是位置的单值函数的力都是保守力 如弹性力 （2）对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力都是保守力 如重力 （3）若在空间中存在一个中心 ,质点在任何位置所受的力都与方向 相同（斥力）或相反（引力） 1212 22 12 , Gm mkq r P q ff r rO ，大小是距离 的单值函数，这种力称为 ，凡有心力都是保守力。 如万有引力 库仑力 有心力 ( , )( ) ( )( )cos ( )cos cos ( )
42、Q PQ P Q PQ P rff rr fPQ Kds dAf rdsf rds PQ Af rds dsdr Af r dr 采用极坐标，有心力，是 的单值函数。 在的作用下，质点沿任意路径由点移动到点，求有心力所作的功。 在任意位置 处，间隔内所作的功: 由点移动到点，有心力所作的功: 由图可知 代入上式， 则积分 有心力作功分 析： ( ) Q P QP r PQ r rrr Af r dr 与 无关， 表示做功取决于 与路径无关。 1 2 12 () () ()() A =coscoscos coscos0 QP L PQ L L QQ PP LL fdsfdsfds fdsfds
43、结论：（1）任意两点之间保守力作功与路径无关； （2）任意闭合回路，保守力作功为0. fQPfP P f 若力继续作功，使质点由 点沿任意路径回到 点,则力使质点从 点 经由一任意闭合回路回到 点。 此过程力作功 ( ) ( )-( )coscos cos os ) c ( QP PQ Q PQ P P QP Q U P PQ U PU Qfdsfds AfdsPQf Afds U P QPf P 由于保守力作功只与始末位置有关，与路径无关，可引进 的概念，用表示，是质点空间位置的函数。 、 两点之间的势能差定义为 令 为沿任意路径从 到保守力所作的功； 为沿任意路径从到 抵抗保守力所作 势
44、的功。 令 能 、( )( ) coscos ( )0 QU PU QdU dUfdsfdsdU r U f rdU Q 两点的间隔趋于无限小，则 或 。 令 代表质点的位矢，上式可写成矢量形式 保守力作 势能的数值是相对的，例如可取地面为重力势能的零点，即取。 在原子物理中，取无限远处为电子库伦势能的零点，处在束缚态的电子 库 功等于势能 伦势能 的减少 为负值。 二二.机械能守恒定律机械能守恒定律 2 2 1 () 2 1 2 k Kkiii ii Kkiiii iii iii i K k j P i j i dEdmvf drdA EEmv dEdEfdrdAdA ifff ff dEd
45、AdA E d E A 外内 内 外内 宏观的与之和，叫作力学能或 一个质点动能的增量 对于一个质点组,总动能 动能增量， 质点组中质点 所受的 动能势能机 ： 械能 力 ()()() , ()() 1 2 11 () 22 , ( ijiijijij ijiijijij ijijijij i ji j ijij ijjiijij CD ijijij i dAfdrfdrfdr fd rrfdr ffrrr fff U r 内 （） 上式中： 内力 进一步分解为保守力和非保守力 保守内力的功等于相互作用势能 （1）内力的功： , ()() , () ) 11 ( ) 22 1 ( ) 2 j
46、CC ijijijP i ji j ijij ijP i j ij dAfdrdU rdE EU r 内内 内 的减少 式中为系统内质点间相互作用势能总和系统，称为总内势能 + - DD-D+D- , ()() 0 0 11 = += AA 22 D ij D ijij D ijij D ij D ij ijijijij i ji j ijij f fdr fdr f f dAfdrfdrdd 内内 非保守力又可分为两类： 一类：称为耗散力，如摩擦力 另一类：如爆炸力，火箭中燃料燃烧产生 作功使机械能减少（转化为热能） 作功使系统机械能增加（转化为动能或势能） 非保守内力作功： D+ 内 ,
47、( ) ( ) =( ) CD C i C iii CC iiiP ii iP i dAdA if fdrdUr dAfdrdUrdE EUr 外外 外 外外外 外外 外力对系统的做功也可分为保守力作功和非保守力作功， 设质点 受到的外部保守力为则作功为 （2）外力的 ： 为 功： 总外势能 CCDD DD PP DD P PPP k dAdAdAdAdA dEdEdAdA dEdAdA EEE dEdA 外外内内 外外内内 外内 外内 所有的力对系统作功 式中 为系统总势能 代入，上式变为 系统的中能量的改变等于内部非保守力作功和外部非保守力作功 DD ()= kP d EEdAdA 外内
48、D D =0 =0 ()=0 () D kP kP dA dA d E d E EEdA 外 内 外 如果非保守内力都不作功 即 这样的系统称为。 对于保守系，系统的总能量的改变等于外部非保守力作功 如果外力(非保守力)对系统的作功为0 即 则系统的机械能不变 保守系 这便 机械能守是恒定律。 3.3 一维势能曲线的应用一维势能曲线的应用 12 ( ) ( ) ( ) kPk xxUU x xU x EEEEU x EE 在一维情况下，设坐标变量为 ，势能是 的函数, 以 为横坐标，为纵坐标，假定一维势能曲线如下图， 并且系统是保守系，总能量守恒，即 常数 将总能量在图中表现为一条水平直线，如
49、或 1 2 0 00 0( )0 ,( )( )0 ( ),0. ()0,. (),0. K k k k EEU xx EEU xEU x EEAB xmA xxEU xE xxU xEE xxEU xE 由于动能，,只能在一定的 区间内满足。 如在势能曲线与直线交点的右侧，满足 如质点的位置只能在区间或区间。 假设一个长度为的无质量弹簧和一个质点构成一个保守系，在区间运动 在位置， 在位置， 在位置， 2 00 00 00 0 1 ( )() ,() 2 0, ( ) ()0 00 0,() P k k k k xxEU xk xxfk xx fmxE EEU x xxU xEE xxxxf
50、 xxEEU x x 当，（弹性）势能为 斥力，质点向方向作加速运动，动能逐渐增大， 势能逐渐减小，但 保持不变； 当时，势能为，动能最大,。 当时，弹簧拉伸，质点受到拉力，作减速运动，动能 逐渐减小，势能增大。 ， 质点以 为平衡点作往复振动，不考虑摩擦阻力，空气阻力，振动会永远持续下去 2 0 22 22 2 2 1 ( ) 2 11 ( ), 22 11 22 2 , 2 k xU xkx EEU xmvkx mvEkx dxdxEk vx dtdtmm mdx dt kE x k 设 为坐标原点，弹性势能为 系统的总能量 由 得 ， 计算弹簧振子的振动周期 max max maxmax
