1、高考数学培优专题库教师版 第三十五讲直线与圆第三十五讲直线与圆 A 组 一、选择题一、选择题 1若直线 mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆 22 311xy的弦长为 2，则 13 mn 的最 小值为（） A.4B.6C.12D.16 【答案】B 【解析】 圆心坐标为3, 1， 半径为 1， 又直线截圆得弦长为 2， 所以直线过圆心， 即320mn， 32mn，所以 13113 3 2 mn mnmn 19 6 2 nm mn 19 62 2 nm mn 6，当且 仅当 9nm mn 时取等号，因此最小值为 6，故选 B 2已知直线20axy与圆 22 14xya相交于两点，且线段AB是圆C
2、的所 有弦中最长的一条弦，则实数a () A. 2B.1 C.1或 2D. 1 【答案】D 【解析】由题设可知直线20axy经过圆心1,Ca，所以2201aa，应选答案 D。 3 设点P是 22 :118Cxy上的点,若点P到直线:40l xy的距离为2,则这样 的点P共有() A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 【答案】C 【解析】 22 :118Cxy的圆心坐标为(1,1),半径为2 2. 圆心 C(1,1)到直线 l:x+y4=0 的距离 1 1 1 1 4 2 2 d . 如图，则满足条件的点 P 有三个，分别是 P 在 A，B，D 的位置上。 本题选择 C 选项. 4若
3、圆C：x 2y22x4y200 上有四个不同的点到直线 l：4x3yc0 的距离为 2，则c的取 值范围是() A. (12，8)B. (8，12)C. (13，17)D. (17，13) 【答案】C 【解析】圆C的方程化为(x1) 2(y2)225， 则圆心C为(1，2)，半径r5. 据题意，圆心C到直线l的距离d3，即3，则13c17，选 C. 5若实数x，y满足 2 1xy，则 +2y x 的取值范围为（） A.3, 3 B. 33 33 ，C. 3 + 3 ，D. 3 + ， 【答案】D 【解析】解答： 由题意可得, +2y x 表示右半个圆x 2+y2=1 上的点(x,y)与原点(0
4、,2)连线的斜率， 设k= +2y x ，故此圆的切线方程为y=kx2， 再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r= 2 2 1k =1， 平方得k 2=3 求得k=3,故 +2y x 的取值范围是 3 + ， 故选：D. 6设 f x是定义在上的增函数,且对于任意的x都有 0fxf x恒成立.如果实数满 足不等式 22 617840f aaf bb,那么 22 ab的取值范围是() A. (9,49)B. (13,49)C. (9,25)D. (3,7) 【答案】A 【解析】由 f x是, 的增函数和奇函数可得 222222 61784 ,61784 ,617840f aaf bbf
5、 aafbbaabb , 22 344ab,所以 22 ab 22 52, 529,49 选 A. 二、填空题二、填空题 7已知圆 1 C： 22 4xy和圆 2 C： 22 224xy，若点,P a b（0a ，0b ）在 两圆的公共弦上，则 19 ab 的最小值为_ 【答案】8 高考数学培优专题库教师版 【解析】由题意得，圆 1 C： 22 4xy和圆 2 C： 22 224xy两个方程相减即可得到两 圆的公共弦，即2xy，又点,P a b（0a ，0b ）在两圆的公共弦上，即2ab，则 19 ab 119191919 105528 2222 bababa ab abababab （当且仅
6、当 3 ,ba即 13 , 22 ab，等号成立） ，即 19 ab 的最小值为8. 8在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :23Cxym若圆C存在以G为中点的弦AB，且 2ABGO，则实数m的取值范围是_ 【答案】2,2 (或22m) 【解析】 由于圆C存在以G为中点的弦AB， 且2ABGO， 所以OAOB,如图， 过点O作圆C的 两条切线，切点分别为BD、，圆上要存在满足题意的点A，只需 0 90BOD，即 0 45COB，连 接CB，CBOB，由于2,Cm， 2 4COm3CB ， 0 2 32 sinsin45 2 4 CB COB CO m ，解得22m. 三、解答题三、解答题 9已
7、知在平面直角坐标系xoy中，点0,3A，直线l：24yx.设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l上 （1）若圆心 C 也在直线1yx上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程； （2）若圆 C 上存在点M，使2MAMO，求圆心 C 的横坐标a的取值范围 【解析】 （1）由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3，2)，于是切线的斜率 必存在 设过 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 ykx3， 由题意， 2 31 1 k k 1，解得 k0 或 3 4 ， 故所求切线方程为 y3 或 3x4y120. （2）因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为 (x
8、a)2y2(a2)21. 设点 M(x，y)，因为 MA2MO， 所以2 22 xy， 化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24， 所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD21， 即 1 2 2 23aa3. 由 5a212a80，得 aR； 由 5a212a0，得 0a12 5 . 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0， 12 5 10 已知2,0A， 直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3， 且P为圆C上任意一点. （1）求PA的最大值与最小值；
9、 （2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 【解析】 （1）直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3， 3,Cm到直线4310 xy 的距离为 2 12314 3 131 52 m ， 解得2m或 16 3 m ，又3m，2m. 29AC ， min 2913PA， max 2913PA. （2）由（1）知圆C的方程为 22 3213xy， 令0 x ，得0y 或4y ；令0y ，得0 x ，或6x . 这三个点的坐标为0,4M，0,0O，6,0N . 易知，MON为直角三角形，且斜边2 13MN ， 则MON内切圆的半径为
10、462 13 513 2 . 11过直线上一动点(A A不在y轴上)作焦点为 2,0F的抛物线 2 2ypx的两条切 线,M N为切点,直线,AM AN分别与y轴交于点,B C. ()求证:BFAM，并求ABC的外接圆面积的最小值； ()求证:直线MN恒过一定点。 高考数学培优专题库教师版 【解析】 ( I ) 2 4,8pyx 设0,Bb，则直线AM为 1 yk xb，与 2 8yx联立，得： 222 11 2-80k xk bxb 因为相切，所以 2 22 111 2-8-40k bk b ，得： 1 2 k b ，又 b-0 - 0-22 BF b k，所以 1 -1 BF k k即 B
11、FAM，同理：CFAN，所以AF为ABC的外接圆，又因为： min 7 5 AF，所以ABC的 外接圆面积最小值为： 49 20 . （）设点 001122 ,A xyM x yN xy， 易知：直线AM方程为： 11 4 -40 x y yx， 代入点A坐标得： 0101 4-40 x y yx，同理： 0202 4-40 x y yx， 所以直线MN方程为： 00 4 -40 x y yx，又点 00 ,A xy满足： 00 250 xy 所以直线MN恒过定点5,-8 12已知动点M到点1,0N和直线l：1x 的距离相等. （）求动点M的轨迹E的方程； （） 已知不与l垂直的直线 l与曲线
12、E有唯一公共点A， 且与直线l的交点为P， 以AP为直径作圆C. 判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论 【解析】 （）设动点,M x y， 由抛物线定义可知点M的轨迹E是以1,0N为焦点，直线l：1x 为准线的抛物线， 所以轨迹E的方程为 2 4yx. （）法 1：由题意可设直线:lxmyn， 由 2 , 4 xmyn yx 可得 2 440ymyn（*） ， 因为直线 l与曲线E有唯一公共点A， 所以 2 16160mn ，即 2 nm . 所以（*）可化简为 22 440ymym， 所以 2,2 A mm， 令1x 得 1 1, n P m ， 因为 2 nm ， 所以 22 1 1,
13、22,22220 n NA NPmmmn m 所以NANP， 所以点N在以PA为直径的圆C上. 法 2：依题意可设直线:,0lykxb k， 由 2 , 4 ykxb yx 可得 222 220k xbkxb（*） ， 因为直线 l与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P， 所以 0, 0, k 即 0, 1, k bk 所以（*）可化简为 22 2 1 40k xx k ， 所以 2 12 ,A kk . 令1x 得 1 1,Pk k ， 因为 222 12122 1,2,220NA NPk kkkkk ， 所以NANP， 所以点N在以PA为直径的圆C上. B B 组组 一、选择题 1已
14、知2,0A,直线4310 xy 被圆 22 :313(3)Cxymm所截得的弦长为4 3， 且P为圆C上任意一点，则PA的最大值为（） 高考数学培优专题库教师版 A.2913B.513C.2 713D.2913 【答案】D 【解析】 根据弦心距、半径、 半弦长的关系得： 2 2 311 (2 3 =13 5 m ）， 解得：2m或 16 3 m (舍去)，当2m时，PA的最大值2913PCr，故选 D. 2 过直线y=2x上一点 P 作圆M： 224 32 5 xy的两条切线l1，l2，A，B为切点， 当直线l1， l2关于直线y=2x对称时，则APB等于 A. 30B. 45C. 60D.
15、90 【答案】C 【解析】 连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时， 直线lPM，且射线PM恰好是APB的平分线， 圆M的方程为 224 32 5 xy， 点M坐标为(3,2),半径r= 2 5 5 ， 点M到直线l:2xy=0 的距离为PM= 2 32 4 1 = 4 5 5 ， 由PA切圆M于A,得RtPAM中,sinAPM= AM PM = 1 2 ， 得APM=30， APB=2APM=60. 故选：C. 3已知直线,PA PB分别于半径为1的圆O相切于点 , ,2,21.A B POPMPAPB ，若点 M在圆O的内部（不包括边界） ，则实数的取值范围是() A.1,1
16、B. 2 0, 3 C. 1 ,1 3 D.0,1 【答案】B 【解析】因为2PO ，由切线长定理知3PAPB，又 21OMOPPMOPPAPB ，因此 2 2 961 1OM ，解得 2 0 3 4已知动点, AA A xy在直线:6l yx上，动点B在圆 22 :2220C xyxy上，若 30CAB，则 A x的最大值为（） A. 2B. 4C. 5D. 6 【答案】C 【解析】 如图所示，设点 00 ,6A xx， 圆心M到直线AC的距离为d，则 0 1 sin30 2 dAMAM， 因为直线AC与圆C有交点，所以 1 22 2 dAM， 所以 22 00 1516xx，解得 0 15
17、x，所以 A x的最大值为5，故选 C. 5若在圆 2 2 39xmym上，总存在相异两点到原点的距离等于 1，则实数m的取值范 围是（） A.2, 1B.2,1C.2, 11,2D.1,11,2 【答案】C 【解析】圆心 , 3mm与原点之间的距离为 22 32dmmm，当原点在圆外时，则 324m；当原点在圆外时，则223m；当点在圆上，2=3m显然符合，综上 3 种情况有 224m，解得21m 或12m，选 C. 6已知圆C： 2 2 311xy和两点0At ，0 (0)B tt ，若圆C上存在点P， 使得0PAPB ，则t的最小值为（） A.3B.2C.3D.1 【答案】D 高考数学培
18、优专题库教师版 【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以AB位直径的圆，当两圆外切时有： 2 2 minmin 3111tt ， 即t的最小值为 1. 本题选择 D 选项. 二、填空题 7已知函数 f xMPxMNxR ，其中MN是半径为 4 的圆O的一条弦，O为原点，P 为单位圆上的点，设函数 f x的最小值为t，当点P在单位圆上运动时，t的最大值为 3，则线段MN的 长度为_ 【答案】4 3 【解析】设xMNMA ， 则函数 f xMPxMNMPMAAP ，其中 P 为单位圆 O 上的点， xMNMA ， 点 A 在直线 MN 上； 函数 f(x)的最小值 t 为点 P 到直线 MN 的距
19、离， 当 tmax=3 时，如图所示； 线段 MN 的长度为 2 2 2 43 14 3MN . 8在平面直角坐标系xOy中，以点0,1为圆心且与直线210mxymxR 相切的所有圆 中，半径最大的圆的标准方程为_ 【答案】 2 2 18xy 【解析】 2 2 2 2 21212 ,44 1 1 1 1 mmm rr m m m m 2 4 18 1 2 m m ,当1m时， 半径最大为2 2，圆方程为 2 2 18xy，故答案为 2 2 18xy. 9已知直线:1l xy与圆 22 :220M xyxy相交于A C，两点，点B D，分别在圆M上运 动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积
20、的最大值为_ 【答案】30 【解析】把圆 M:x2+y22x+2y1=0 化为标准方程：(x1)2+(y+1)2=3,圆心(1,1),半径3r . 直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距 2 2 1 1 111 2 = 2 11 d ， 由勾股定理的半弦长= 2 210 3-= 22 ,所以弦长 10 2= 10 2 AB . 又 B，D 两点在圆上，并且位于直线 l 的两侧，四边形 ABCD 的面积可以看成是两个三角形ABC 和 ACD 的面积之和， 如图所示， 当 B,D 为如图所示位置,即 BD 为弦 AC 的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即 四边形 ABCD
21、的面积最大， 最大面积为： 1111 102 330 2222 SABCEABDEABCD. 10已知圆 2 2 :13C xy，设EF为直线:24l yx上的一条线段，若对于圆C上的任意一 点Q, 2 EQF ,则EF的最小值是_. 【答案】 253 【解析】若对于圆C上的任意一点Q, 2 EQF ,则圆C上的任意一点都在以线段EF为直径的圆 内，圆心0, 1C到直线l的距离为 1 4 5 5 d ,所以圆上的点到直线l的距离的最大值为 高考数学培优专题库教师版 53，所以以线段EF为直径的圆的半径的最小值为53，则EF的最小值是 253。 三、解答题三、解答题 11如图，已知圆C与y轴相切
22、于点0,2T，与x轴的正半轴交于,M N两点（点M在点N的左 侧） ，且3MN . （）求圆C的方程； （） 过点M任作一条直线与圆 22 :4O xy相交于,A B两点， 连接,AN BN， 求证： ANBN kk 为定值. 【解析】（1） 因为圆C与轴相切于点0,2T， 可设圆心的坐标为,20mm ， 则圆C的半径为m， 又3MN ，所以 2 2 325 4 24 m ，解得 5 2 m ，所以圆的方程为 2 2525 2 24 xy （2）由（1）1,0 ,4,0 ,MN知，当直线 AB 的斜率为 0 时，易知0 ANBN kk即0 ANBN kk 当直线 AB 的斜率不为 0 时，设直
23、线 AB:1xty 将1xty 代入 22 40,xy，并整理得 22 1230tyty，设 1122 ,A x yB xy，所以 12 2 12 2 2 1 3 1 t yy t y y t 则 22 1212 1212 12121212 66 23 11 0 44333333 ANBN tt ty yyyyyyy tt kk xxtytytytytyty 综上可得0 ANBN kk。 12若圆 1 C： 22 xym与圆 2 C： 22 68160 xyxy相外切 （1）求m的值； （2）若圆 1 C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆 1 C 上，直线
24、PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值 【解析】 （1）圆 1 C的圆心坐标0,0，半径为m， 圆 2 C的圆心坐标3,4，半径为 3， 又两圆外切得35m ，4m （2）点A坐标为2,0，点B坐标为0,2， 设P点坐标为 00 ,xy， 由题意得点M的坐标为 0 0 2 0, 2 y x ；点N的坐标为 0 0 2 ,0 2 x y ， 四边形ABNM的面积 00 00 2211 22 2222 xy SANBM yx 2 00 0000 0000 42242242211 222222 yxyxxy yxyx ， 有P点在圆 1 C上，有 22 00 4
25、xy， 四边形ABNM的面积 0000 00 4 422 4 22 xyx y S yx ， 即四边形ABNM的面积为定值 4 13已知平面直角坐标系xoy内两个定点1,0A、4,0B,满足 2PBPA的点,P x y形成的曲线记为. (1)求曲线的方程; (2)过点B的直线l与曲线相交于C、D两点,当COD的面积最大时,求直线l的方程(O为坐标原点); (3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点, 连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F.求证四边形MNEF的面积为定值. 【解析】 (1)由题设知 22 22 214xyxy,两边平方化简得 22
26、 4xy 点P的轨迹的方程为 22 4xy (2)由题意知 22 |3OSSDOD的斜率一定存在, 设:4l yk x即40kxyk, 原点到直线l的距离 2 2 4 ,2 4 1 k dCDd k , 高考数学培优专题库教师版 2 22 22 4 1 42 22 COD dd SCD ddd , 当且仅当 2 2d 时,取得“=” 22 24dr 当 2 2d 时,此时, 2 2 2 1617 2 177 k kk k 直线l的方程为 7 4 7 yx (3)设 1 2 MNEFMNEMEF SSSMENF 设 00 ,e,0 ,0,Q xyEFf(其中 22 0000 0,0,4xyxy)
27、 则 0 0 :2 2 y QMyx x ,令0 x 得 0 0 2 2 y f x 00 0 00 242 2 22 xyy NF xx 0 0 2 :2 y QNyx x ,令0y 得 0 0 2 e 2 x y 00 0 00 422 2 22 xyx ME yy 2 000000 000000 28421 224 22242 MNEF xyxyx y SMENF xyxyx y (定值) 14已知动圆C与圆 22 20 xyx外切，与圆 22 2240 xyx内切 （1）试求动圆圆心C的轨迹方程； （2）过定点0,2P且斜率为0k k 的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点,M N，试判
28、断在x轴 上是否存在点,0A m，使得以,AM AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若 不存在，请说明理由 【解析】 （1）由 22 20 xyx得 2 2 11xy，由 22 2240 xyx得 2 2 125xy，设动圆 C的半径为R， 两圆的圆心分别为 12 1,0 ,1,0FF， 则 12 1,5CFRCFR， 12 6CFCF， 根据椭圆的定义可知，点C的轨迹为以 12 ,F F为焦点的椭圆，1,3ca， 222 9 18bac ， 动圆圆C的轨迹方程为 22 1 98 xy （2）存在，直线l的方程为2ykx，设 1122 ,M x yN xy，MN的中点为 0
29、0 ,E xy假设 存在点,0A m，使得以,AM AN为邻边的平行四边形为菱形，则AEMN， 由 22 2 1 98 ykx xy ，得 22 8936360kxkx， 12 2 36 98 k xx k ， 0 2 18 98 k x k ， 00 2 16 2 98 ykx k ， AEMN， 1 AE k k ，即 2 2 16 0 1 98 18 98 k k k m k ， 2 22 8 98 9 k m k k k ， 当0k 时， 8 92 9 812 2k k ， 2 0 12 m； 当0k 时， 8 912 2k k ， 2 0 12 m 因此，存在点,0A m，使得以,A
30、M AN为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为 22 ,00, 1212 C C 组组 一、选择题一、选择题 1已知Rk，点,P a b是直线2xyk与圆 222 23xykk的公共点，则ab的最大值为 （） A. 15B. 9C. 1D. 5 3 【答案】B 【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即 2 2 23 2 k kk，解得 31k ，将P点坐标代入直线和圆的方程，有 222 2 ,23abk abkk，第一个式子两边平方 高考数学培优专题库教师版 后，代入第二个式子，化简得 2 33 22 abkk，二次函数 2 33 22 ykk对称轴为 1 3
31、，且开口向上， 根据31k 可知当3k 时，ab有最大值为9, 2已知点A，B，C在圆 22 4xy上运动，且ABBC.若点P的坐标为3,4，则 PAPBPC 的取值范围为（） A.10,15B.12,17C.13,17D.15,17 【答案】C 【解析】由题意知 AC 是圆的直径，所以 O 是 AC 中点，故=2PAPCPO ，PO 的长为 5，所以 = 2PAPBPCPOPB ,显然当 B 在 PO 上时，PAPBPC 有最小值10+5213，当 B 在 PO 的延长线上时，PAPBPC 有最大值105217 ，故选 C 3已知圆O的半径为 1，, , ,A B C D为该圆上四个点，且A
32、BACAD ，则ABC的面积 最大值为（） A.2B.1C.2D.3 【答案】B 【解析】因为ABACAD ,所以四边形ABDC为平行四边形,又因为ABDC都在圆上,所以, ,AD BC必为圆的直径, 0, 90ACDBAC 四边形ABDC为矩形, 222 2,|4,ADACABAD 22 ABC | 1 1, 24 ACAB SABAC 当且仅当ACAB时取等号,选 B. 4若曲线 22 1: 20Cxyx与曲线 2 2: 0Cmxxymx有三个不同的公共点，则实数m的 取值范围是（） A. 0, 3B. 3,00, 3C. 3 0, 3 D. 33 ,00, 33 【答案】D 【解析】曲线
33、 2 C可化为0 x mxym，表示直线0 x 和直线0mxym，直线0 x 与曲 线 2 2 1: 11Cxy，有一个交点，即原点.则需直线0mxym和 1 C有两个交点，即圆心到直线 的距离小于半径，也即 2 2 1 1 m m ，解得 33 ,00, 33 m .（当0m 时，两直线0,0yx 有相同的公共点为原点，故舍去） 5在区间3,3中随机取一个实数k，则事件“直线ykx与圆 2 2 21xy相交”发生的概率 为（） A. 3 9 B. 3 6 C. 3 3 D. 3 2 【答案】A 【解析】圆 2 2 21xy的圆心为2 0（ ， ），半径为 1圆心到直线ykx的距离为 2 2
34、1 k k ，要使 直线ykx与圆 2 2 21xy相交，则 2 2 1 1 k k ，解得 33 33 k 在区间3,3上随机取 一个数k，使直线ykx与圆 2 2 21xy相交的概率为 33 33 3 339 故选 A 6已知圆 22 :1C xy，点P为直线1 42 xy 上一动点，过点P向圆C引两条切线 , ,PA PB A B为切点，则直线AB经过定点.（） A. 1 1 , 2 4 B. 1 1 , 4 2 C. 3 ,0 4 D. 3 0, 4 【答案】B 【解析】 设42 ,Pm mPA PB是圆C的切线，,CAPA CBPBAB是圆C与以PC为 直径的两圆的公共弦， 可得以P
35、C为直径的圆的方程为 2 2 2 2 22 24 mm xmym ， 又 22 1xy， -得:2 21ABm xmy，可得 1 1 , 4 2 满足上式，即AB过定 点 1 1 , 4 2 ，故选 B. 二、填空题二、填空题 7 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 点P是 直 线3430 xy上 的 动 点 ， 过 点P作 圆 22 :2210C xyxy 的两条切线，切点分别是,A B，则AB的取值范围为_ 【答案】 3,2 【解析】圆心（1,1）半径为 1，要使 AB 的长度最小，则ACB最小，即PCB最小，即 PC 最小， 由点到直线的距离公式可得： 343 2 5 d ，则P
36、CB=60，ACB=120，即 AB=3，当 P 高考数学培优专题库教师版 在3430 xy无限远取值时，ACB趋近 180， 此时 AB 趋近直径 2， 故AB的取值范围为 3,2 8直线0axbyc与圆 22 16xy相交于两点M、N.若 222 cab，则OM ON （O为 坐标原点）等于是_ 【答案】14 【解析】解：取 MN 的中点 A，连接 OA，则 OAMN，c2=a2+b2， O 点到直线 MN 的距离 22 1 c OA ab ，x2+y2=16 的半径 r=4， RtAON 中,设AON=,得 1 cos 4 OA ON ， cosMON=cos2=2cos21= 7 8
37、， 由此可得： 7 cos4 414 8 OM ONOMONMON . 9已知直线0AxByC与O： 22 2xy交于P、Q两点，若满足 222 2ABC，则 OP OQ _； 【答案】-1 【解析】设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则由方程组， 22 0 2 AxByC xy 直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2=2 联立消去 y，得（A2+B2）x2+2ACx+（C22B2）=0，x1x2= 22 22 2CB AB ； 消去 x，得（A2+B2）y2+2BCy+（C22B2）=0，y1y2= 22 22 2CA AB ； OP OQ x1x2+y1y2= 22 22 2C
38、B AB + 22 22 2CA AB = 2 22 2 2 C AB ， A2，C2，B2成等差数列， 2C2=A2+B2， OP OQ =1 故答案为：1 三、解答题三、解答题 10 已知圆 222 1: (0)Cxyrr与直线 0 13 :5 22 lyx相切， 点A为圆 1 C上一动点，ANx 轴于点N，且动点M满足 22 22OMAMON ，设动点M的轨迹为曲线C. （1）求动点M的轨迹曲线C的方程； （2） 若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O， 求线段PQ 长度的取值范围. 【解析】 （I）设动点 00 ,M x yA xy，由于ANx轴于点.
39、N 0,0 . N x又 圆 222 1 (0)Cxyrr：与 直 线 0 13 :5 22 lyx即23 50 xy相 切 ， 3 5 3. 14 r 圆 22 1 9.Cxy： 由题意， 22 22OMAMON ，得 000000 ,2,2 22,0 ,32,322 22,0 .x yxxyyxxxyyx 00 0 322 22, 320 xxx yy 即 0 0 3 , 2 2 3 . 2 x x y y 将 33 , 22 2 xy A 代入 22 9xy，得曲线C的方程为 22 1. 84 xy （II） （1）假设直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，设 1122 ,P x yQ
40、xy 联立 22 , 1, 84 ykxm xy ，可得 222 124280.kxkmxm 由求根公式得 2 1212 22 428 ,. 1212 kmm xxx x kk （*） 以PQ为直径的圆过坐标原点O，.OPOQ 即0.OP OQ 高考数学培优专题库教师版 1212 0.x xy y即 1212 0.x xkxmkxm 化简可得， 22 1212 10.kx xkm xxm 将（*）代入可得 22 2 388 0 12 mk k ，即 22 3880.mk 即 2 2 81 3 k m ，又 22 22 12 2 64832 11. 1 2 km PQkxxk k 将 2 2 8
41、1 3 k m 代入，可得 2 22 2 2 2242 2 2 6432 41 1 3232 33 11 1233144 12 k kk k PQk kkk k 2 2 321 12 3. 1 3 44k k 当且仅当 2 2 1 4k k ，即 2 2 k 时等号成立又由 2 42 0 144 k kk ， 324 6 33 PQ， 4 6 2 3 3 PQ （2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为yx， 联立 22 , 1, 84 yx xy 解得 2 6 2 6 , 33 P 同理求得 2 62 6 , 33 Q 故 4 6 3 PQ 综上，得 4 6 2 3 3 PQ
