1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 7 7 极值点偏移极值点偏移之之函数的选取函数的选取 极值点偏移问题，其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造 新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就会选取不同的函数.www-2-1-cnjy-com
2、例例 1 1：已知函数 exf xax有两个不同的零点 1 x， 2 x，其极值点为 0 x （1）求a的取值范围； （2）求证： 120 2xxx； （3）求证： 12 2xx； （4）求证： 12 1x x 解：（1） exfxa，若0a ，则 0fx， f x在R上单调递增， f x至多有一个零点，舍去；则必有0a ，得 f x在,lna上递减， 在ln , a 上递增，要使 f x有两个不同的零点，则须有ln0efaa （严格来讲， 还需补充两处变化趋势的说明： 当x 时， f x ； 当x 时， f x ） （3）由所证结论可以看出，这已不再是 f x的极值点偏移问题，谁的极值点会是
3、 1 呢？回到题设条件： 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 （ii）构造函数 2G xg xgx，则 （4）（i）同上； 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：60839691660839
4、6916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 （ii）构造函数 1 G xg xg x ，则 当01x时，10 x ，但因式 1 eex x x的符号不容易看出，引进辅助函数 1 eex x xx，则 11 e1 ex x x x ，当0,1x时， 0 x，得 x在0,1上递增，有 10 x，则 0G x ， 得 G x在0,1上递增， 有 10G xG， 即 1 01g xgx x ；【来源： 21 世纪 教育 网】 （iii）将 1 x代入（ii）中
5、不等式得 12 1 1 g xg xg x ，又 2 1x ， 1 1 1 x ， g x在1,上递增， 故 2 1 1 x x ， 12 1x x 点评：虽然做出来了，但判定因式 2 22 ee 2 xx x x 及 1 eex x x的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番 功夫，虽然 g x的极值点是 1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有 找到理想的函数21*cnjy*com 再次回到题设条件： 0eelnlnlnln x f xax axaxxxa，记函数 lnh xxx，则有 12 lnh xh xa接下来我们选取函数 h x再解（3）、（4）两问
6、（3） （i） 1 1h x x ，得 h x在0,1上递减，在1,上递增，有极小值 11h，又当0 x 时， h x ；当x 时， h x ， 由 12 h xh x不妨设 12 01xx 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 【点评】用函数 lnh xxx来做（3）、（4）两问，过程
7、若行云流水般，格外顺畅这说明在极值点 偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度 注 1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将 11 lnlnxxa， 22 lnlnxxa相加得 12120 ln2ln2ln2xxx xaax 注 2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定 1 x的范围？这是因为 1 x的范围0,1较 2 x的范围1,小， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWo
8、rd 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 以第（3）问为例，若给定1,x，因为所构造的函数为 2H xh xhx，这里0 x ，且 20 x，得02x，则当2x 时， H x无意义，被迫分为两类：【来源：21cnj*y.co*m】 若 2 2x ，则 122 2xxx，结论成立； 当1,2x时，类似于原解答 而给字0,1x，则不会遇到上述问题当然第（4）问中给定 1 x或 2 x的范围均可，请读者自己体会其中 差别 例 2：已知函数 1 ( )ln ()f xax aR x 有两个零点 1212 ,()x x xx， 求证： 1 12 2
9、31 a xxe . 只 要 证 ： 1 12 12 3 2 a xx xxe 即证： 1 12 2 a xxe ，即证： 1 21 2 a xex ，由( )h x的单调性知，只需证： 1 121 ()()(2e) a h xh xhx ， 同理构造函数 1 ( )( )(2),(0,1) a H xh xhex x ，利用单调性证明，下略. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWo
10、rd 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 例 3：已知( )lnf xxx的图像上有,A B两点，其横坐标为 12 01xx，且 12 ()()f xf x. （1）证明： 12 2 1xx e ； （2）证明： 12 2 1xx e . 又构造函数： 1 ( )( )(1),(0) 2 g xf xfxx， 则 111 2 ( )lnln(1)2,( )0 1(1) x g xxxgx xxxx ， 故( )g x在 1 (0, ) 2 上单调递增，由于0 x 时，( )g x ， 且 1 ( )ln(1)0ge e ， 故必存在 0
11、1 (0, )x e ，使得 0 ()0g x， 故( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 1 (, ) 2 x上单调递增， 又0 x 时，( )0g x ，且 1 ( )0 2 g， 故( )0g x 在 1 (0, ) 2 x上恒成立， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7
12、 也即( )(1)f xfx在 1 (0, ) 2 x上恒成立， 令 1 xx，有 121 ()()(1)f xf xfx， 再由 21 1 ,1( ,1)xx e ，且( )f x在 1 ( ,1) e 上单调递增， 故 21 1xx ，即证： 12 1xx成立. 综上：即证 12 2 1xx e 成立. 从而( )(1)h tht对 1 (0, ) 2 t恒成立，同理得出： 12 1tt. 综上：即证 12 2 1tt e 成立，也即原不等式 12 2 1xx e 成立. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 Q
13、QQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 例 4：已知函数 lnf xxmx mR （1）若曲线 yf x过点1, 1P，求曲线 yf x在点P处的切线方程； （2）求函数 f x在区间1,e上的最大值； （3）若函数 f x有两个不同的零点 1 x， 2 x，求证： 2 12 xxe 【答案】（1）1y ；（2）当 1 m e 时， max1f xme ，当 1 1m e 时， maxln1f xm ，
14、当1m时， maxf xm ；（3）证明见解析. 试题解析： （1）因为点1, 1P在曲线 yf x上，所以1m ，解得1m 因为 1 10fx x ，所以切线的斜率为 0， 所以切线方程为1y （2）因为 11 mx fxm xx ， 当0m时，1,xe， 0fx ， 所以函数 f x在1,e上单调递增，则 max 1f xf eme ； 当 1 e m ，即 1 0m e 时，1,xe， 0fx ， 所以函数 f x在1,e上单调递增，则 max 1f xf eme ； 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQ
15、QQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 当 1 1e m ，即 1 1m e 时， 函数 f x在 1 1, m 上单调递增，在 1 ,e m 上单调递减， 则 max 1 ln1f xfm m ； 当 1 01 m ，即1m时，1,xe， 0fx ， 函数 f x在1,e上单调递减，则 max 1f xfm 综上，当 1 m e 时， max1f xme ； 当 1 1m e 时， maxln1f xm
16、； 当1m时， maxf xm 令 1 2 1 x x ，则1t ，于是 21 ln 1 t t t ， 令 21 ln 1 t f tt t （1t ）， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 则， 故函数 f t在1,上是增函数， 所以 10f tf，即 21 ln 1 t t
17、t 成立，所以原不等式成立 所以 10f tf，即 21 ln 1 t t t 成立，所以原不等式成立 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等 式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应 关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值， 需要对m进行分类讨论， 分类的依据是导数的零点是否在 定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数t，然后利用导数求其最小值来求.21 世纪教育网版权所有 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分
18、享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 11 例 5：已知函数 2 lnf xa xx. （1）当2a 时，求函数 yf x在 1 ,2 2 上的最大值； （2）令 g xf xax，若 yg x在区间0,3上为单调递增函数，求a的取值范围； （3）当2a 时，函数 h xf xmx的图象与x轴交于两点 12 ,0 ,0 ,A xB x且 12 0 xx，又 h x 是 h x的导函数
19、.若正常数, 满足条件1,.证明： 12 hxx0.21cnjy 【答案】（1） 1 （2） 9 2 a （3），理由见解析 用 分 离 参 数 2 2x a x1 在 0,3 上恒成立，即求2 2x x1 的最大值. （3）有两个实根，两式相减， 又 2 hx2xm x ， 12 h xx 要 证 ： 12 h xx0 ， 只 需 证 ： ，令可证. 试题解析：（1） 2 222x fx2x, xx 函数在,1是增函数，在1,2是减函数， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：6083969166
20、08396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 12 12 所以 于是 12 121212 1212 2 lnxlnx2 h xx2 xxxx xxxx 21 1,2a1,2a 1 xx0. 且 要证： 12 h xx0 ，只需证： 只需证：(*) 令，(*)化为，只证即可 u t 在（0，1）上单调递增， 即 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396
21、916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 13 13 例 6：已知函数 （ ）当时，求的单调区间和极值. （ ）若对于任意，都有成立，求的取值范围 ； （ ）若且证明： 【答案】详见解析；详见解析. 试题解析： 时,因为所以 函数的单调递增区间是，无单调递减区间,无极值； 当时，令解得， 当时，当 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中
22、数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 14 14 在区间上的极小值为无极大值 由题意， 即问题转化为对于恒成立 即对于恒成立, 令,则 令,则 所以在区间上单调递增,故故 所以在区间上单调递增,函数 要使对于恒成立,只要, 又即证 构造函数 即 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916
23、608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 15 15 因为,所以即 所以函数在区间上单调递增,故 而故 所以即所以成立 点睛： 本题考查函数的单调性极值及恒成立问题， 涉及函数不等式的证明， 综合性强， 难度大， 属于难题 处 理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及 极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函 数的最大值或最小值，对于含有不等式的
24、函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及 技巧比较多，需要多加体会 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 16 16 例 7：已知函数 2 ln (0).f xaxxx a ()求 f x的单调区间； （） 设 f x极值点为 0 x， 若存在 12 ,0,x x ， 且 12
25、xx， 使 12 f xf x， 求证： 120 2.xxx 【答案】（1）增区间为： 181 ,. 4 a a 减区间为： 181 0,. 4 a a ；（2）见解析. 试题解析： （） f x的定义域为 2 121 0,21 axx fxax xx ， 0,a 由 0fx得: 181 4 a x a 由 0fx得增区间为： 181 ,. 4 a a 由 0fx得减区间为： 181 0,. 4 a a （）要证 120 2xxx，只需证 12 0. 2 xx x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：
26、群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 17 17 由（）知 0 1811 ,21(0) 4 a xfxaxa ax 在0,上为增函数， g t在 上 是增函数， 10g tg，即 又 12 21 1 0,0 2 xx f xx 成立，即 120 2.xxx 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：60839691660839691
27、6 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 18 18 例 8：已知函数 2 ln2,g xxaxa x aR. (1)求 g x的单调区间； (2)若函数 2 12f xg xaxx， 1212 ,()x xxx是函数 f x的两个零点， fx是函数 f x 的导函数，证明： 12 0 2 xx f . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析： （1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当0a 时， 0gx， g x 递增，当0a 时，导函数有一
28、零点，导函数先正后负，故得增区间为 1 0, a ，减区间为 1 , a ；（2） 利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 12 0 2 xx f ，只需证明 12 1212 lnln2 0 xx xxxx 12 (0)xx，即证明 12 12 12 2 lnln xx xx xx ，即证明，再令 1 2 0,1 x t x ，构造函 数 1ln22h tttt，利用导数研究函数 h t单调性，确定其最值： h t在0,1上递增，所以 10h th，即可证得结论.21 教育网 试题解析：(1) g x的定义域为0,， 1 22gxaxa x 当0a 时， 0gx， g x递增 当0a 时， 2
29、 2212111 22 axa xxax gxaxa xxx 1 0,0,xgxg x a 递增； 1 ,0,xgxg x a 递减 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 19 19 综上：当0a 时， g x的单调增区间为 1 0, a ，单调减区间为 1 , a 当0a 时， g x的单调增
30、区间为0, 即证明 12 12 12 2 lnln xx xx xx ，即证明 令 1 2 0,1 x t x ，则 1ln22h tttt 则 1 ln1h tt t ， 2 11 0ht tt h t在0,1上递减， 10h th， h t在0,1上递增， 10h th 所以 *成立，即 12 0 2 xx f 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h xf xg x.根据差函数导函数 符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转
31、化为一元 函数.21cnjycom 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 20 20 例 9:已知函数 F x与 lnf xx的图象关于直线yx对称. （1）不等式 1xf xax对任意0,x恒成立，求实数a的最大值； （2）设 1f x F x 在1,内的实根为 0 x，若在区间1,上存在 1
32、212 ()m xm xxx，证明： 12 0 2 xx x . 【答案】（1）1（2）见解析 12 0 2 xx x ： 要证： 12 0 2 xx x ， 即证： 2010 2xxxx， 只要证 201 2m xmxx， 即证 101 2m xmxx， 构造函数 0 0 0 2 2 ln,1 xx xx h xx xxx e ， 其中 0 0h x.利用导数可得 h x在 0 1,x上单调递增， 即 得 0 0h xh x 21世纪*教育网 试题解析：（1）由 1xf xax，所以 1 lnax x ， 设 1 lng xx x ， 22 111x gx xxx . 由 0gx，1x ，
33、g x在1,上单调递增； 0gx ，01x， g x在0,1上单调递减，所以 min 11g xg，即a1，所以实数a的 最大值为1. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 21 21 而 0t，故 1 0t e ，而 0 20 xx，从而 0 0 2 21 0 xx xx ee ， 因此当 0
34、00 00 222 1x2211 1ln1ln10 xxxxxx xxx h xxx eeee ，即 h x单调递增. 从而当 0 1xx时， 0 0h xh x，即 01 01 11 2 2 ln xx xx xx e ，故 12 0 2 xx x 得证. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！
35、 22 22 例 10：已知函数 ln( ,f xax xb a b为实数)的图像在点 1,1f处的切线方程为1yx. （1）求实数, a b的值及函数 f x的单调区间； （2）设函数 1f x g x x ，证明 1212 ()g xg xxx时， 12 2xx. 【答案】（1）函数 f x的单调递减区间为 1 0, e ，单调递增区间为 1 , e ；（2）见解析. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号
36、，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 23 23 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 24 24 例 11：已知 lnf xxmmx. （）求 f x的单调区间； （）设1m， 1 x， 2 x为函数 f x的两个
37、零点，求证： 12 0 xx. 【答案】（）见解析； （）见解析. 【解析】 试题分析:（） 根据导数 1 fxm xm ， 分类讨论， 当0m时， 1 0fxm xm ； 当0m 时，由 0fx 得 1 ,xmm m ， 1 ,xmm m 时， 0fx ， 1 ,xm m 时， 0fx ， 即可得出单调区间；（）由（）知 f x的单调递增区间为 1 ,mm m ，单调递减区间为 1 ,m m 不妨设 12 mxx，由条件知 11 22 ln x mmx ln xmmx ，即 1 2 1 2 mx mx xme xme ，构造函数 mx g xex， mx g xex与ym图像两交点的横坐标为
38、 1 x， 2 x，利用单调性只需证 11 2lnm g xgx m 2-1-c-n-j-y 构造函数利用单调性证明 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 25 25 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群
39、：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 26 26 点睛： 本题考查 函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题 时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比 较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值 或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，
40、但涉及技巧比较多， 需要多加体会 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 27 27 例 12：已知函数 2 1ln 1f xxax ，aR （）若函数 f x为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； （）若函数 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 21 f x
41、f x xx 【答案】（1） 1 , 2 （2）详见解析. 若 4 80a ，即 1 2 a ，方程 2 220 xxa的两根为 1 112 2 a x ， 2 112 2 a x ，当 1 ,xx 时， 0fx ，所以函数 f x单调递减，当 1 1 , 2 xx 时， 0fx ，所以函数 f x 单调递增，不符合题意 综上，若函数 f x为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为 1 , 2 （）因为函数 f x有两个极值点，所以 0fx 在1x 上有两个不等的实根， 即 2 220 xxa在1x 有两个不等的实根 1 x， 2 x， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 6083
42、96916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 28 28 于是 1 0 2 a，且满足 1 1 0, 2 x ， 2 1 ,1 2 x ， 2 111111 21 111 222 1ln 1112ln 1 12 ln 1 f xxaxxxx xx xxx xxx ， 同理可得 2 222 1 12ln 1 f x xxx x 12 21112222222
43、21 2 ln 12 ln 121 2 1ln2 ln 1 f xf x xxxxxxxxxxx xx ，令 21 2 1ln2 ln 1g xxxxxx ， 1 ,1 2 x 22 2ln1 1 x gxxx xx ， 1 ,1 2 x ， 1 1 4 xx，2ln10 xx ， 又 1 ,1 2 x 时， 22 0 1 x xx ， 0gx ，则 g x在 1 ,1 2 x 上单调递增， 所以 1 0 2 g xg ，即 12 21 0 f xf x xx ，得证 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ
44、群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 29 29 例 13：已知函数 lnf xxa x与 3 b g x x 的图象在点1,1处有相同的切线 （）若函数2yxn与 yf x的图象有两个交点，求实数n的取值范围； （） 若函数 32 22 mm F xxg xf x 有两个极值点 1 x， 2 x， 且 12 xx， 证明： 22 1F xx 【答案】（） 1 , 2 ；（）证明过程见解析； （）由题意，函数 2ln
45、m F xxx x ，其定义域为0,， 2 22 22 1 mxxm Fx xxx ， 令 0Fx ，得 2 20 xxm，其判别式44m ， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 30 30 函数 F x有两个极值点 1 x， 2 x，等价于方程 2 20 xxm在0,内有两不等实根，又 12
46、 0 x x ， 故01m 所以 2 11xm ，且 2 12x， 2 22 2mxx ， 2 22 2222222 2 2 12ln12ln1 xx F xxxxxxx x ， 令 2ln1h ttt ，12t ， 则 22 1 t h t tt ， 由于12t ， 0h t ，故 h t在1,2上单调递减 故 11 2ln1 10h th 所以 222 10F xxh x ， 所以 22 1F xx 点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关 方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数 f x 解析式，再由题意构造函数 T x，将问题转化为求函数 T x的零点个数，利用导数求出函数 T x的最 值、单调区间，从而求出实数n的取值范围；在问题（）中，由（）可求出函数 F x的解析式，依据 导数与极值点的关系求出参数m的范围，并求出参数m与极值点 2 x的关系式，根据问题构造新的函数 h t，再用函数 h t的单调性证明不等式成立.www.21-cn-
