1、课时作业课时作业 35等比数列等比数列 一、选择题 1(2021浙江湖州模拟)已知等差数列an的公差为 2，若 a1，a3，a4成等比数列，则 a1(C) A4B6 C8D10 解析：因为等差数列an的公差为 2，且 a1，a3，a4成等比数列，所以 a23a1a4，即(a14)2a1(a16)， 解得 a18. 2在数列an中，满足 a12，a2nan1an1(n2，nN*)，Sn为an的前 n 项和，若 a664，则 S7的 值为(D) A126B256 C255D254 解析：数列an中，满足 a2nan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为 q，由 a12，a664， 得
2、q5a6 a132，则 q2，则 S 7a 1127 12 282254，故选 D. 3(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman.若 ak1ak2ak1021525，则 k(C) A2B3 C4D5 解析：由 amnaman，令 m1 可得 an1a1an2an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， an22n 12n，则 a k1ak2ak102k 12k22k102k 11210 12 2k 112k121525， 2k 112k12k(2112)为增函数，k4.故选 C. 4(2021福建漳州质检)已知数列an为等比数列，且 a2a104a6，Sn为等差数列bn的前
3、 n 项和，且 S6 S10，a6b7，则 b9(B) A.4 3 B4 3 C8 3 D4 解析：an为等比数列，且 a2a104a6，a264a6，解得 a64.设等差数列bn的公差为 d，S6S10， b7b8b9b100，则 b7b100.a6b74，b104，3db10b7448，d8 3， b9b72d42 8 3 4 3.故选 B. 5(2021浙江金华模拟)设an是公比为 q 的等比数列，|q|1，令 bnan1(n1,2，)，若数列bn 中有连续 4 项在集合53，23,19,37,82中，则 q 等于(C) A1 2 B.1 2 C3 2 D.3 2 解析：由bn中有连续
4、4 项在53，23,19,37,82中，且 bnan1，得an中有连续 4 项在54， 24,18,36,81中 an是等比数列， 易知an中有负数项， q1，q 3 2.故选 C. 6(2021辽宁丹东质检)已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，S21 9，S 3 7 27，则 a 1a2an的最小值 为(D) A. 4 27 2 B. 4 27 3 C. 4 27 4 D. 4 27 5 解析：设等比数列an的公比为 q，则 q0，由题意得，a3S3S2 4 27，则有 a1q2 4 27， a1a1q1 9， q0， 解得 a1 1 27， q2， 所以 an2 n1 27 .当
5、1n5 时，an1，则 a1a2an的最小值为 a1a2a3a4a5(a3)5 4 27 5. 7(2021陕西汉中质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn1，则S1 a1 S2 a2 S3 a3 S9 a9 (A) A1 013B1 035 C2 037D2 059 解析：anSn1，当 n1 时，a1S11，得 a11 2.当 n2 时，a n1Sn11，anSn(an1Sn 1)0，an1 2a n1，故数列an是以1 2为首项， 1 2为公比的等比数列a n 1 2 n，Sn1 1 2 n，Sn an2 n 1，S1 a1 S2 a2 S3 a3 S9 a922 22
6、99210111 013. 8(2021甘肃武威二诊)已知等比数列an中，a11，a41 8，且 a 1a2a2a3anan1k 对nN* 恒成立，则实数 k 的取值范围是(D) A. 1 2， 2 3B. 1 2， C. 1 2， 2 3D. 2 3， 解析：设等比数列an的公比为 q，则 q3a4 a1 1 8，解得 q 1 2，a n 1 2n 1，anan1 1 2n 1 1 2n 1 22n 1， 数列anan1是首项为1 2，公比为 1 4的等比数列，a 1a2a2a3anan1 1 2 1 1 4n 11 4 2 3 1 1 4n0，所以 an 13an，所以an是公比为 3 的
7、等比数列，所以a 4a7 a2a5 a2q2a5q2 a2a5 q29. 11(2021北大附中月考)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正 方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1 023 个正方形，且其最大 的正方形的边长为 2 2 ，则其最小的正方形的边长为 1 32. 解析：由题意，得正方形的边长构成以 2 2 为首项， 2 2 为公比的等比数列an，易知边长为 an的正方形 的个数为 2n 1.现已知共有 1 023 个正方形，则 122n11 023，得 n10，所以最小的正方形的边长 为 2 2 2 2 91 32. 12(
8、2021湖北黄冈月考)设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a12，对任意 p，qN*，都有 apqapaq， 则Sn 1Sn14260 an (n1 且 nN*)的最小值为 32. 解析： 当q1时， ap1apa12ap， 数列an是首项为2， 公比为2的等比数列， an2n.Sn212 n 12 2n 12，Sn 12n2，Sn1(Sn14)(2n2)(2n2)22n4， Sn 1Sn14260 an 2 2n256 2n 2n256 2n 2 25632，当且仅当 2n16，即 n4 时，等号成立故 所求式的最小值为 32. 三、解答题 13(2021陕西榆林一模)已知数列an，bn
9、满足 a11，b11 2，2a n1an1 2b n,2bn11 2a nbn. (1)证明：数列anbn，anbn为等比数列； (2)记 Sn为数列an的前 n 项和，证明：Sn10 3 . 证明：(1)依题意有 2an1an1 2b n， 2bn11 2a nbn， 两式相加得 an1bn13 4(a nbn)，又 a1b13 2，a nbn 是首项为3 2，公比为 3 4的等比数列 两式相减得 an1bn11 4(a nbn)，又 a1b11 2， anbn是首项为1 2，公比为 1 4的等比数列 (2)由(1)可得 anbn3 2 3 4 n1，anbn1 2 1 4 n1， 两式相加
10、得 an 1 4 n 3 4 n，故 Sn 1 4 1 1 4n 11 4 3 4 13 n 4n 13 4 0 在 x1，)时恒成立，f(x)2xx26，x1， )为增函数，而 f(5)f(4) 1 8，前 3 天走的路程为 1929648336(里)，则后 3 天走的路程为 37833642(里)，故选 C. 16(2021湖南长沙模拟)在数列an中，a11，a2b，前 n 项和为 Sn. (1)若an是等差数列，且 a822，求 b 的值； (2)对任意的 nN*，有an 2 an 4，且 S102a101.试证明：数列an是等比数列 解：(1)设等差数列an的公差为 d. 则由 a11
11、，a8a1(81)d17d22，解得 d3. 又a2a1d，即 b13，b4. (2)证明：对任意的 nN*，有an 2 an 4， 数列an的奇数项和偶数项分别是公比为 4 的等比数列 S10a1a2a3a10(a1a3a5a7a9)(a2a4a6a8a10)14 5 14 b14 5 14 4 51 3 b451 3 b1 3 45b1 3 . 又a10a244b44，2a1012b441. 由 S102a101，得b1 3 45b1 3 2b441， 解得 b2. 则 a2n114n22n，a2n24n122n1， a2n 1 a2n 22n 22n 12，又a 2 a12， 每一个偶数项后面的奇数项都是该偶数项的 2 倍 数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列
