1、课时作业课时作业 50利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 1(2020北京卷)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1的中点 (1)求证：BC1平面 AD1E； (2)求直线 AA1与平面 AD1E 所成角的正弦值 解：(1)证明：ABCDA1B1C1D1为正方体，D1C1A1B1，D1C1A1B1.又 ABA1B1，ABA1B1，D1C1AB， D1C1AB，四边形 ABC1D1为平行四边形，AD1BC1，又 AD1平面 AD1E，BC1平面 AD1E， BC1平面 AD1E. (2)不妨设正方体的棱长为 2，如图，以 A 为原点，分别以 AD，AB，AA1为 x 轴
2、、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)，E(0,2,1)， AA1 (0,0,2)，AD1 (2,0,2)，AE (0,2,1)，设平面 AD1E 的法向量为 n(x，y，z)，直线 AA1 与平面 AD1E 所成 的角为， 则 nAD1 0， nAE 0， 即 2x2z0， 2yz0， 令 z2，则 x2， y1， 此时 n(2,1，2)，sin|cosn， AA1 | |nAA1 | |n|AA1 | |4| 4142 2 3， 直线 AA1与平面 AD1E 所成角的正弦值为2 3. 2(2021山东聊城一模)如图，在四边
3、形 ABCD 中，BCCD，BCCD，ADBD，以 BD 为折痕把ABD 折起， 使点 A 到达点 P 的位置，且 PCBC. (1)证明：PD平面 BCD； (2)若 M 为 PB 的中点，二面角 PBCD 等于 60，求直线 PC 与平面 MCD 所成角的正弦值 解： (1)证明：因为 BCCD，BCPC，PCCDC，所以 BC平面 PCD.又因为 PD平面 PCD，所以 BC PD.又因为 PDBD，BDBCB，所以 PD平面 BCD. (2)因为 PCBC， CDBC， 所以PCD 是二面角 PBCD 的平面角， 即PCD60.在 RtPCD 中 PDCDtan60 3CD.取 BD
4、的中点 O，连接 OM，OC.因为 BCCD，BCCD，所以 OCBD.由题知 OM 为PBD 的中位线，所 以 OMPD. 又由(1)知，PD平面 BCD，所以 OM平面 BCD，所以 OMBD，OMOC，即 OM，OC，BD 两两垂直，以 O 为原点，OC，OD，OM 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 设 OB1， 则 P(0,1， 6)， C(1,0,0)， D(0,1,0)， M 0，0， 6 2 ， 则CP (1,1， 6)， CD (1,1,0)， CM 1，0， 6 2 . 设平面 MCD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则由 nCD 0
5、， nCM 0， 得 xy0， x 6 2 z0， 令 z 2，得 n( 3，3， 2)设直线 PC 与平面 MCD 所成角为， 所以 sin|cosn， CP |CP n| |CP |n| 3 4 ， 所以直线 PC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 3 4 . 3如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 解： (1)证明： 因为 APCPAC4， O 为 AC 的中点， 所以 OPAC， 且 OP2 3.连接
6、OB.因为 ABBC 2 2 AC， 所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2.由 OP 2OB2PB2，知 POOB. 由 OPOB，OPAC，OBACO，知 PO平面 ABC. (2)如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2，0)，C(0,2,0)，P(0,0，2 3)，AP (0,2，2 3)取平面 PAC 的法向量OB (2,0,0)设 M(a,2a,0)(0a2)，则AM (a,4a,0) 设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z) 由AP n0，AM n0，
7、 得 2y2 3z0， ax4ay0， 可取 n( 3(a4)， 3a，a)， 所以 cosOB ，n 2 3a4 2 3a423a2a2. 由已知可得|cosOB ，n| 3 2 . 所以 |2 3a4| 2 3a423a2a2 3 2 ，解得 a4(舍去)或 a4 3.所以 n 8 3 3 ，4 3 3 ，4 3 . 又PC (0,2，2 3)，所以 cosPC，n 3 4 . 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 . 4(2021辽宁葫芦岛一模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1平面 ABC，ABBC，AA1ABBC2. (1)求证：BC1平面 A1B1C； (
8、2)求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小； (3)点 M 在线段 B1C 上，且B1M B1C(0,1)，点 N 在线段 A 1B 上，若 MN平面 A1ACC1，求A1N A1B的值(用含的代 数式表示) 解： (1)证明： 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 因为 BB1平面 ABC， 所以 BB1平面 A1B1C1， 又因为 BB1平面 B1BCC1， 所以平面 B1BCC1平面 A1B1C1，交线为 B1C1.又因为 ABBC，所以 A1B1B1C1，所以 A1B1平面 B1BCC1.因为 BC1 平面 B1BCC1，所以 A1B1BC1，又在正方形 B1BCC1中，B1CBC1
9、，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1C. (2)如图，建立空间直角坐标系 Bxyz，由题意得 B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0,2,2)，B1(0,0,2)， 所以B1C (2,0，2)，A1B (0，2，2)，所以 cosA1B ， B1C A1B B1C |A1B |B1C | 1 2，故异面直线 B 1C 与 A1B 所成角的大小为 3. (3)易知平面 A1ACC1的一个法向量为 n(1,1,0)，由B1M B1C，得 M(2，0,22)，设 A1N A1B，得 N(0,22，2 2)，则MN (2，22，22)， 因为 MN平面 A1ACC1，所以MN n
10、0， 即(2，22，22)(1,1,0)0， 解得1，所以A1N A1B1. 5(2021广东四校联考)如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，直线 PC平面 ABC，E，F 分别是 PA，PC 的中点 (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明； (2)设 PC2AB，求二面角 ElC 大小的取值范围 解：(1)l平面 PAC. 证明如下：EFAC，AC平面 ABC，EF平面 ABC， EF平面 ABC，又 EF平面 BEF，平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，EFl，而 l平面 PAC，E
11、F平面 PAC，l平面 PAC. (2)设直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D，连接 DE，DB.由题意，知 ACBC，PCAC，PCBC，所以以 C 为坐 标原点， CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴， CP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB2， BCt(0t2)， 则 B(0，t,0)，F(0,0,2)，D( 4t2，t,0)，则BF (0，t,2)，BD ( 4t2，0,0)， 设平面 DBF 的法向量为 m(x，y，z)， 则由 mBF 0， mBD 0， 得 ty2z0， 4t2x0， 取 y2，得 m(0,2，t) 易知平面 BCD 的一个法向量
12、为 n(0,0,1) 设二面角 ElC 的大小为，易知为锐角， cos |mn| |m|n| t 4t2 1 4 t21 0， 2 2 ， 4 2，即二面角 ElC 的大小的取值范围是 4， 2 . 6(2020山东烟台一模)如图，三棱锥 PABC 中，点 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的重心 (1)证明：GF平面 PAC； (2)若平面 PAB平面 ABC，PAPB，PAPB，ACBC，AB2BC，求平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角 的余弦值 解：(1)证明：延长 EG 交 BC 于点 D，连接 DF，则点 D 为 BC 的中点因为 D，E 分别是 BC，
13、AB 的中点，所 以 DE 是ABC 的中位线， 所以 DEAC， 又 DE平面 PAC，AC平面 PAC， 所以 DE平面 PAC.同理可证 EF平面 PAC. 又 DEEFE，DE平面 DEF，EF平面 DEF， 所以平面 DEF平面 PAC， 因为 GF平面 DEF，所以 GF平面 PAC. (2)连接 PE，因为 PAPB，E 是 AB 的中点，所以 PEAB，又平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB， PE平面 PAB，所以 PE平面 ABC. 以 E 为坐标原点，向量EB ，EP所在的方向分别为 y 轴，z 轴的正方向，以与向量EB，EP垂直的方向为 x 轴的正 方
14、向，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz.设 EB1， 则 E(0,0,0)，P(0,0,1)，F 0，1 2， 1 2 ，G 3 6 ，1 2，0， 则FE 0，1 2， 1 2 ，FG 3 6 ，0，1 2 ， FP 0，1 2， 1 2 . 设平面 EFG 的法向量为 m(x，y，z)，则 mFE 0， mFG 0， 即 1 2y 1 2z0， 3 6 x1 2z0， 令 z1，得 y1，x 3， 于是取 m( 3，1,1)，设平面 PFG 的法向量为 n(x1，y1，z1)，则 nFG 0， nFP 0， 即 3 6 x11 2z 10， 1 2y 11 2z 10， 令 y11，得 z11，x 3，于是取 n( 3，1,1)，设平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的大小为， 则 cos|cosm，n|mn| |m|n| 3 5 5 3 5. 所以平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值为3 5.
