1、课时作业课时作业 29平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 1已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若AB 3a，则点 B 的坐标为(D) A(7,4)B(7,14) C(5,4)D(5,14) 解析： 设点 B 的坐标为(x， y)， 则AB (x1， y5) 由AB 3a， 得 x16， y59， 解得 x5， y14， 即 B(5,14) 2(2021百校联考冲刺)已知向量 a(1,0)，b(1， 3)，则与 2ab 共线的单位向量为(D) A. 1 2， 3 2 B. 1 2， 3 2 C. 3 2 ，1 2 或 3 2 ，1 2 D. 1 2， 3 2
2、 或 1 2， 3 2 解析：由题意可知 2ab(1， 3)，|2ab|2， 与 2ab 共线的单位向量为 2ab |2ab| 1 2， 3 2 . 3(2021湖北武汉模拟)已知向量 a(1，2)，|b|4|a|，ab，则 b(B) A(4,8)B(4，8)或(4,8) C(4，8)或(4,8)D(4,8) 解析：设 b(x，y)，依题意有 x2y24 1222， y2x0， 解得 x4， y8 或 x4， y8. 故选 B. 4(2021江西吉安、抚州、赣州一模)设 x，yR，a(x,1)，b(2，y)，c(2,2)，且 ab，bc， 则|2a3bc|(A) A2 34B. 26 C12D
3、2 10 解析：ab，bc，ac，ac2x20，可得 x1，则 a(1,1)bc，2y40，解 得 y2，则 b(2，2)，2a3bc(10，6)， |2a3bc|2 34. 5(2021河北衡水调研)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，则“a(4,2)”是“ab”的(C) A充要条件B必要不充分条件 C充分不必要条件D既不充分也不必要条件 解析：若 a(4,2)，则|a|25，且 ab；由 ab，可设 ab(2，)，由|a|2 5，得 42220， 所以24，所以2，所以 a(4,2)或 a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”的充分不必要条件 6已知向量 a sin，1 2
4、，b 1 2，cos 0 4 ，且 ab，则 cos 4 (A) A.1 2 B1 2 C 3 2 D. 3 2 解析： 因为向量a sin，1 2 ， b 1 2，cos， 且ab， 所以根据向量共线的坐标运算可得sincos1 2 1 2， 化简可得 sin21 2.因为 0 4，所以 12，则 cos 4 cos 12 4 cos 3 1 2，故选 A. 7已知平面内的三点 A，B，O 不共线，且AP OA OB ，则 A，P，B 三点共线的一个必要不充分 条件是(B) AB| CD1 解析： A， P， B 三点共线， 即存在一个实数 m， 使得AP mAB ， AP OA OB ，
5、mAB OA OB ， 即 m(OB OA )OA OB ， (m)OB (m)OA ，A，B，O 三点不共线，m0，m0，即m，A，B， P 三点共线的充要条件为，结合各选项知 A，B，P 三点共线的一个必要不充分条件为|.故选 B. 8(2021贵州毕节诊断)如图，在ABC 中，AN 2NC ，P 是线段 BN 上一点，若AP tAB 1 3AC ，则实 数 t 的值为(C) A.1 6 B.2 3 C.1 2 D.3 4 解析：由题意，P 是 BN 上一点，设BP BN ，01，设AP AB BP AB BN AB (AN AB ) (1)AB AN .又AN 2NC ，所以AN 2 3
6、AC ，所以AP (1)AB 2 3AC tAB 1 3AC ，所以 1t， 2 3 1 3， 解得 t1 2. 9(2021福建泉州联考)点 M 是ABC 的边 BC 上任意一点，N 在线段 AM 上，且AN xAB yAC ，若 xy1 2，则NBC 的面积与ABC 的面积的比值是( A) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.1 4 解析： 如图， 设BM BC (01)， AM AN (1)， AN 1 AM 1 (AB BM )1 (AB BC )1 (AB AC AB )1 AB AC ，AN xAB yAC ，且 xy1 2， 1 1 1 2，则2，AM 2NM .又 NBC
7、与ABC 的边 BC 相等，NBC 的面积与ABC 的面积的比值是 |NM | |AM | 1 2. 10(2021安徽淮北一模)已知正方形 ABCD 的边长为 2，动点 P 满足|PB |1，且AP xAB yAD ，则 2xy 的最大值为(B) A. 5 2 2B. 5 2 2 C.7 2 D.5 2 解析：如图，建立平面直角坐标系，A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)设 P(m，n)，因为AP xAB yAD ，所以(m， n)(2x,0)(0,2y)，即(m，n)(2x,2y)，得 m2x，n2y.因为PB (2m，n)，且|PB |1，所以 2m2n21， 整理得 22x22y2
8、1， 即(x1)2y21 4.设 z2xy， 当直线 z2xy 与圆(x 1)2y21 4相切时，z 取得最值，即 |210z| 221 1 2，所以 z2 5 2 ，于是 zmax2 5 2 .即 2xy 的最大值 为 2 5 2 . 二、填空题 11(2021山东潍坊模拟)已知向量 a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)c，则1 7. 解析：向量 a(1,1)，b(1,3)，所以 ab(1，13)，又(ab)c，c(2,1)，所以 2(1 3)1(1)0，解得1 7. 12(2021河北衡水适应性测试)已知在平行四边形 ABCD 中，BE 1 3BC ，AE xBD yBC
9、，则 xy 7 3. 解析： 由题意， 得AE AB BE AB 1 3BC ， AB DC BC BD ， 所以AE BC BD 1 3BC BD 4 3BC . 又AE xBD yBC ，所以 x1，y4 3，所以 xy 7 3. 13如图，在ABC 中，M，N 分别是边 AB，AC 的中点，点 O 是线段 MN 上异于端点的一点，且满 足OA 3OB 4OC 0(0)，则7. 解析：解法 1：由已知得OA 3 OB 4 OC ， 由 M，O，N 三点共线，知tR，使OM tON ， 故 2OM 2tON ，故OA OB t(OA OC )， 整理得OA 1 t1OB t 1tOC ， 对
10、比两式的系数，得 3 1 t1， 4 t 1t， 解得 t4 3， 7. 解法 2：因为 M 是 AB 的中点，所以OM 1 2(OA OB )， 于是OB 2OM OA ，同理OC 2ON OA ， 将两式代入OA 3OB 4OC 0， 整理得(7)OA 6OM 8ON 0， 因为 M，O，N 三点共线，故pR，使得OM pON ， 于是(7)OA (6p8)ON 0， 显然OA ，ON 不共线，故76p80，故7. 14给定两个长度为 1 的平面向量OA ， OB ，它们的夹角为 120.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的弧AB 上运动若OC xOA yOB ，其中 x，yR，则 xy
11、的最大值是 2. 解析： 建立如图所示的平面直角坐标系， 设AOC， 则 A(1,0)， B 1 2， 3 2 ， C(cos， sin)， 0120. 于是OC xOA y OB 可化为(cos，sin)x(1,0)y 1 2， 3 2 ， cosx1 2y， sin 3 2 y. xcos 1 3sin， y 2 3sin. xy 3sincos2sin(30)， 又 0120，当60时，(xy)max2. 15 在矩形 ABCD 中， AB1， AD2， 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上 若AP AB AD ， 则的最大值为(A) A3B2 2 C. 5D2 解析：分别
12、以 CB、CD 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(2,1)，B(2,0)，D(0,1)点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，可设 P 2 5cos， 2 5sin，R.则AB (0，1)，AD (2,0)， AP 2 5cos2， 2 5sin1. 又AP AB AD ， 2 5sin1， 1 5cos1.2 2 5sin 1 5cos2sin()， 其中 tan1 2，() max3. 16在ABC 中，A 3，O 为平面内一点，且|OA |OB |OC |，M 为劣弧 BC 上一动点，且OM pOB qOC ，则 pq 的取值范围为1,2 解析：因为|OA
13、|OB |OC |，所以 O 为ABC 外接圆的圆心，且BOC2 3 .以 O 为坐标原点，建立 如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为 1，则 B(1,0)，C 1 2， 3 2 ，设 M(cos，sin) 02 3 ，则OB (1,0)，OC 1 2， 3 2 ， 由OM pOB qOC ， 得 cospq 2， sin 3 2 q， 解得 pcos 1 3sin， q 2 3sin， 所以 pqcos 3sin2sin 6 ，由 02 3 ，知 6 6 5 6 ，所以当 6 2，即 3时，p q 取得最大值，最大值为 2；当 6 6或 6 5 6 ，即0 或2 3 时，pq 取得最小值，最小值为 1， 故 pq 的取值范围是1,2
