1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 三、函数与导数 一、单选题一、单选题 1 （2021全国（文） ）下列函数中是增函数的为（） A f xx B 2 3 x fx C 2 f xxD 3 f xx 2 （2021全国）若过点, a b可以作曲线exy 的两条切线，则（） AebaBeab C0ebaD0eab 3 （2021浙江）已知函数 2 1 ( ), ( )sin 4 f xxg xx，则图象为如图的函数可能是 （） A 1 ( )( ) 4 yf xg xB 1 ( )( ) 4 yf xg x C( ) ( )yf x g xD ( ) ( ) g x y f x 4
2、 （2021全国（文） ）设 f x是定义域为 R 的奇函数，且1fxfx.若 11 33 f ，则 5 3 f （） A 5 3 B 1 3 C 1 3 D 5 3 5（2021全国 （文） ） 青少年视力是社会普遍关注的问题， 视力情况可借助视力表测量 通 常用五分记录法和小数记录法记录视力数据， 五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记 录法的数据为（） （1010 1.259 ） A1.5B1.2C0.8D0.6 6 （2021全国（理） ）设函数 f x的定义域为 R，1f x为奇函数，2f x为偶 函
3、数，当1,2x时， 2 ( )f xaxb若 036ff，则 9 2 f （） A 9 4 B 3 2 C 7 4 D 5 2 7 （2021全国（理） ）设2ln1.01a ，ln1.02b ， 1.041c 则（） AabcBb caCbacDcab 8 （2021全国（理） ）设0a ，若xa为函数 2 fxa xaxb的极大值点， 则（） AabBabC 2 aba D 2 aba 9 （2021全国（文） ）下列函数中最小值为 4 的是（） A 2 24yxxB 4 sin sin yx x C 2 22 xx y D 4 ln ln yx x 10 （2021全国（理） ）设函数
4、1 ( ) 1 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（） A11f xB11f xC11f xD11f x 11 （2020海南）已知函数 2 ( )lg(45)f xxx在( , )a 上单调递增，则a的取值范 围是（） A(2, ) B2,)C(5,)D5,) 12 （2020天津）设 0.8 0.7 0.7 1 3 ,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为 （） AabcBb acCbcaDcab 13 （2020天津）已知函数 3, 0, ( ) ,0. xx f x xx 若函数 2 ( )( )2()g xf xkxxkR恰有 4 个零点，则k的取值范围是
5、（） A 1 ,(2 2,) 2 B 1 ,(0,2 2) 2 C(,0)(0,2 2)D(,0)(2 2,) 14 （2020天津）函数 2 4 1 x y x 的图象大致为（） AB CD 15 （2020海南）基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再 生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新 冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e) rt I t 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单 位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT.有学者基于已有数据估计 出 R0=3.28，T=6.据此，
6、在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时 间约为(ln20.69) （） A1.2 天B1.8 天 C2.5 天D3.5 天 16 （2020海南）若定义在R的奇函数 f(x)在(,0)单调递减，且 f(2)=0，则满足 (10)xf x的 x 的取值范围是（） A)1,13,B3, 1 ,0 1 C 1,01,)D 1,01,3 17 （2020全国（理） ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能 完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿 者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天
7、的新订 单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完 成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（） A10 名B18 名C24 名D32 名 18 （2020全国（理） ）已知 5584，13485设 a=log53，b=log85，c=log138，则（） AabcBbacCbcaDcab，则 Aln(ab)0B3a0Dab 32 （2018全国（文） ）函数 2 ee xx f x x 的图像大致为 () AB CD 33（2018浙江） 已知 1234 ,a a a a成等比数列， 且 1234123 ln()a
8、aaaaaa 若 1 1a ，则 A 1324 ,aa aaB 1324 ,aa aa C 1324 ,aa aaD 1324 ,aa aa 34 （2018全国（文） ）设函数 20 10 x x f x x ， ， ，则满足12f xfx的 x 的 取值范围是 A1 ，B0 ，C1 0 ，D0， 35 （2018全国（文） ）已知 ( )f x是定义域为(,) 的奇函数,满足 (1)(1)fxfx.若 (1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50B0 C2D50 36 （2018全国（理） ）已知函数 e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ， ( )( )g xf x
9、xa若 g（x） 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A1，0）B0，+）C1，+）D1，+） 37 （2018全国（理） ）设 0.2 log0.3a ， 2 log 0.3b ，则 A0abab B0abab C0abab D0abab 38 （2017全国（理） ）函数 ( )f x在(,) 单调递增，且为奇函数，若(1)1f ，则 满足1(2)1f x 的x的取值范围是 A 2,2B 1,1C0,4D1,3 39 （2017天津（文） ）已知奇函数 f x在R上是增函数，若 2 1 log 5 af ， 2 log 4.1bf， 0.8 2cf，则, ,a b c的大小关系为 Aa
10、bcBb acCcbaDcab 40 （2017浙江）若函数 2 f x =xaxb在区间0,1上的最大值是 M,最小值是 m,则 Mm的值 A与 a 有关，且与 b 有关B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关D与 a 无关，但与 b 有关 41 （2017全国（理） ）设 x、y、z 为正数，且235 xyz ，则 A2x3y5zB5z2x3y C3y5z2xD3y2x0 时，讨论函数 g（x）= ( )( )f xf a xa 的单调性 56 （2020全国（理） ）已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； （2）证明
11、： 3 3 ( ) 8 f x ； （3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx 3 4 n n . 57 （2020全国（理） ）设函数 3 ( )f xxbxc，曲线( )yf x在点( 1 2 ，f( 1 2 )处的 切线与 y 轴垂直 （1）求 b （2） 若 ( )f x有一个绝对值不大于 1 的零点， 证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于 1 58 （2020全国（文） ）已知函数 32 ( )f xxkxk （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有三个零点，求k的取值范围 59 （2019全国（文） ）已知函数 32 ( )2
12、2f xxax. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）当0 1. （I）求函数 lnh xf xx a的单调区间； （II）若曲线 yf x在点 11 ,xf x处的切线与曲线 yg x在点 22 ,xg x处 的切线平行，证明 12 2lnln ln a xg x a ； （III）证明当 1 e ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf x的切线，也是曲线 yg x 的切线. 66 （2018江苏）记 ,fxgx 分别为函数 ,f xg x的导函数若存在 0 xR， 满足 00 f xg x且 00 fxgx，则称 0 x为函数 f x与 g x的一个“S点” （1）证明：函数
13、f xx与 2 22g xxx不存在“S点”； （2）若函数 2 1f xax与 lng xx存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数 2 f xxa ， x be g x x 对任意0a ，判断是否存在0b ， 使函数 f x与 g x在区间0,内存在“S点”，并说明理由 67 （2018北京（理） ）设函数 f x= 2 4143axaxa x e （1）若曲线 yf x在点（1， 1f）处的切线与x轴平行，求a； （2）若 f x在2x 处取得极小值，求a的取值范围 68 （2018北京（文） ）设函数 2 ( )(31)32 x f xaxaxae. （）若曲线( )yf x在点(
14、2,(2)f处的切线斜率为 0，求 a； （）若 ( )f x在 1x 处取得极小值，求 a 的取值范围. 69 （2018全国（理） ）已知函数 2 2ln 12fxxaxxx （1）若0a ，证明：当10 x 时， 0f x ；当0 x 时， 0f x ； （2）若0 x 是 f x的极大值点，求a 70 （2018全国（文） ）已知函数 2 1 x axx f x e （1）求曲线 yf x在点0, 1处的切线方程； （2）证明：当1a 时， 0f xe 71 （2018全国（文） ）已知函数 32 1 1 3 fxxa xx （1）若3a ，求 f x的单调区间； （2）证明： f x
15、只有一个零点 72 （2018全国（理） ）已知函数 2x exf xa （1）若1a ，证明：当0 x 时， 1fx ； （2）若 f x在只有一个零点，求a的值. 73 （2018全国（理） ）已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x存在两个极值点 12 ,x x，证明： 12 12 2 f xf x a xx 74（2017天津 （理） ） 设aZ， 已知定义在 R 上的函数 432 ( )2336f xxxxxa 在区间(1,2)内有一个零点 0 x，( )g x为( )f x的导函数. （）求( )g x的单调区间； （）
16、设 00 1,)(,2mxx， 函数 0 ( )( )()( )h xg x mxf m， 求证： 0 ( ) ()0h m h x； （） 求证： 存在大于 0 的常数A， 使得对于任意的正整数 , p q， 且 00 1,)(,2, p xx q 满足 0 4 1 | p x qAq . 75（2017山东 （理） ） 已知函数 2 2cosfxxx， cossin22 x g xexxx， 其中2.71828e 是自然对数的底数. （）求曲线 yf x在点 , f 处的切线方程； （）令 h xg xaf xaR，讨论 h x的单调性并判断有无极值，有极值 时求出极值. 76（2017天
17、津 （文） ） 设, a bR，| 1a .已知函数 32 ( )63 (4)f xxxa axb， ( )( ) x g xe f x. （）求 ( )f x的单调区间； （）已知函数( )yg x和 x ye的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证： ( )f x在 0 xx处的导数等于 0； （ii）若关于 x 的不等式( ) x g xe在区间 00 1,1xx上恒成立，求 b 的取值范围. 77 （2017全国（文） ）已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)0，求 a 的取值范围. 78 （2017
18、全国（文） ）已知函数 2xx f xeeaa x （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若( )0f x ，求a的取值范围 79 （2017全国（理） ）已知函数)f x （ae2x+(a2) exx. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有两个零点，求 a 的取值范围. 四、填空题四、填空题 80 （2021浙江）已知Ra，函数 2 4,2 ( ) 3,2, xx f x xa x 若63ff ，则 a _. 81 （2021全国）函数 212lnf xxx 的最小值为_. 82 （2021全国）已知函数 3 22 xx xaf x 是偶函数，则a _. 83 （
19、2020北京）函数 1 ( )ln 1 f xx x 的定义域是_ 84 （2020北京） 为满足人民对美好生活的向往， 环保部门要求相关企业加强污水治理， 排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为( )Wf t， 用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改 期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： 在 12 , t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业
20、在 11223 0,tt tt t这三段时间中，在 1 0,t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_ 85 （2020全国（理） ）关于函数 f（x）= 1 sin sin x x 有如下四个命题： f（x）的图象关于 y 轴对称 f（x）的图象关于原点对称 f（x）的图象关于直线 x= 2 对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 86 （2019江苏）在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处 的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是_. 87 （2019浙江）已知aR，函数 3 ( )f xaxx，
21、若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，则实数a的最大值是_. 88 （2019全国（文） ）曲线 2 3()e x yxx在点(0,0)处的切线方程为_ 89 （2018上海）已知常数0a ，函数 2 2 x x f x ax 的图象经过点 6 5 P p ， 1 5 Q q ，若236 p q pq ，则a _ 90 （2018江苏）函数 ( )f x满足(4)( )()f xf x xR ，且在区间( 2,2上， cos,02, 2 ( ) 1 , 20, 2 x x f x xx 则 ( (15)f f 的值为_ 91 （2018江苏）若函数 32 21f xxaxa
22、R在0,内有且只有一个零点， 则 f x在1,1上的最大值与最小值的和为_ 92 （2018全国（文） ）已知函数 2 ln11f xxx， 4f a ，则 fa_ 93 （2018全国（理） ）曲线1 exyax在点 0 1，处的切线的斜率为 2，则 a _ 94 （2018天津（理） ）已知0a ，函数 2 2 2,0, ( ) 22 ,0. xaxax f x xaxa x 若关于x的方 程( )f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是_. 95 （2018天津（文） ）已知aR，函数 2 2 220 220 xxax f x xxax ， ， 若对任意 x 3，+） ，f(
23、x)x恒成立，则 a 的取值范围是_ 五、双空题五、双空题 96 （2019北京（理） ）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、 京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量， 李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔 订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的 最大值为_ 97（2019北京 （理） ） 设函数 f （x） =e
24、x+aex（a 为常数） 若 f （x） 为奇函数， 则 a=_； 若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_ 98 （2018浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一， 值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几 何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则 100, 1 53100, 3 xyz xyz 当81z 时， x _，y _ 99 （2018浙江）已知R，函数 f(x)= 2 4, 43, xx xxx ，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_ 100 （2
25、017北京（理） ）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示， 其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、 纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3. 记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数， 则 Q1， Q2， Q3中最大的是_. 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1，p2，p3中最大的是 _. 参考答案参考答案 1D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【解析】 对于 A， f xx 为R上的减函数，不合题意，舍. 对于 B， 2 3 x
26、 fx 为R上的减函数，不合题意，舍. 对于 C， 2 f xx在,0为减函数，不合题意，舍. 对于 D， 3 f xx为R上的增函数，符合题意， 故选：D. 2D 【分析】 解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形 确定结果； 解法二：画出曲线 x ye的图象，根据直观即可判定点, a b在曲线下方和x轴上方时才可 以作出两条切线. 【解析】 在曲线 x ye上任取一点, t P t e，对函数 x ye求导得exy ， 所以，曲线 x ye在点P处的切线方程为 tt yeext，即1 tt ye xt e， 由题意可知，点, a b在直线1 tt y
27、e xt e上，可得11 ttt baet eat e ， 令 1 t f tat e ，则 t ftat e. 当ta时， 0ft ，此时函数 f t单调递增， 当ta时， 0ft ，此时函数 f t单调递减， 所以， max a f tf ae， 由题意可知，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点，则 max a bf te， 当1ta时， 0f t ，当1ta时， 0f t ，作出函数 f t的图象如下图所示： 由图可知，当0 a be 时，直线yb与曲线 yf t的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线 x ye的图象如图所示，根据直观即可判定点, a b在曲线下方和x
28、轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 a be . 故选：D. 3D 【分析】 由函数的奇偶性可排除 A、B，结合导数判断函数的单调性可判断 C，即可得解. 【解析】 对于 A， 2 1 sin 4 yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排 除 A； 对于 B， 2 1 sin 4 yf xg xxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排 除 B； 对于 C， 2 1 sin 4 yf x g xxx ，则 2 1 2 sincos 4 yxxxx ， 当 4 x 时， 2 212 0 221642 y ，与图象不符，排除 C. 故选：D. 4C 【分析】 由题意利用
29、函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 5 3 f 的值. 【解析】 由题意可得： 5222 1 3333 ffff ， 而 21111 1 33333 ffff ， 故 51 33 f . 故选：C. 5C 【分析】 根据,L V关系，当4.9L 时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解. 【解析】 由5lgLV，当4.9L 时，lg0.1V ，则 1 0.1 10 10 11 10100.8 1.25910 V . 故选：C. 6D 【分析】 通过1f x是奇函数和2f x是偶函数条件，可以确定出函数解析式 2 22f xx ，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案 【解析】 因为1f x是
30、奇函数，所以11fxf x ； 因为2f x是偶函数，所以22f xfx 令1x ，由得： 024ffab ，由得： 31ffab， 因为 036ff，所以462ababa ， 令0 x ，由得： 11102fffb ，所以 2 22f xx 思路一：从定义入手 9551 22 2222 ffff 1335 11 2222 ffff 5113 22 = 2222 ffff 所以 935 222 ff 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数 f x的周期 4T 所以 9135 2222 fff 故选：D 7B 【解析】 2 22 2ln1.01ln1.01ln 1 0.01ln 1 2 0
31、.01 0.01ln1.02ab , 所以ba; 下面比较c与, a b的大小关系. 记 2ln 1141f xxx,则 00f, 21 41 22 11 411 4 xx fx xxxx ， 由于 2 2 14122xxxxxx 所以当 0 x0 时, 2 14120 xx, 所以 0gx ,即函数 g x在0,+)上单调递减，所以 0.0100gg,即 ln1.021.041 ,即 b1 时， 2 2 121 ( )110h x xxx ， 由此可得 h x在1,单调递增，所以当 t1 时， 1h th，即 1 2ln0tt t . 因为 2 1x ， 323 331(1)0tttt ，3
32、k ， 所以 33232 2 11 3312ln33132lnxtttk ttttttt tt 32 3 36ln1ttt t . 由()(ii)可知，当1t 时， 1g tg，即 32 3 36ln1ttt t ， 故 32 3 36ln10ttt t 由可得 121212 20 xxfxfxf xf x . 所以，当3k 时，任意的 12 ,1,x x ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx . 52 【解析】 （）因为 2 12f xx，所以 2fxx ， 设切点为 00 ,12xx，则 0 22x ，即 0 1x ，所以切点为1,11， 由点斜式可得切线方
33、程为：1121yx ，即2130 xy. （）显然0t ， 因为 yf x在点 2 ,12tt处的切线方程为： 2 122ytt xt ， 令0 x ，得 2 12yt，令0y ，得 2 12 2 t x t ， 所以 S t 2 2 112 12 22| | t t t ， 不妨设0t (0t 时，结果一样)， 则 42 3 241441144 (24) 44 tt S ttt tt ， 所以 S t 42 2 22 11443(848) (324) 44 tt t tt 222 22 3(4)(12)3(2)(2)(12) 44 ttttt tt ， 由 0S t ，得2t ，由 0S t
34、 ，得02t ， 所以 S t在0,2上递减，在2,上递增， 所以2t 时， S t取得极小值，也是最小值为 16 16 232 8 S . 53 【解析】 （I）( )1,0,1,( )0,( ) xx fxexefxf x QQ在(0,)上单调递增， 22 12,(2)240,(0)10afeaefa Q， 所以由零点存在定理得 ( )f x在(0,)上有唯一零点； （II） （i） 0 00 ()0,0 x f xexaQ， 00 2 0000 12(1)12(1) xx axaexxex ， 令 2 2 ( )1(02), ( )1(02), 2 xx x g xexxxh xexx
35、一方面： 1 ( )1( ), x h xexh x 1( ) 10 x hxe ， ( )(0)0,( )h xhh x在(0,2)单调递增，( )(0)0h xh， 2 2 10,2(1) 2 xx x exexx ， 另一方面：1211aaQ， 所以当 0 1x 时， 0 1ax 成立， 因此只需证明当01x时 2 ( )10 x g xexx ， 因为 11 ( )12( )( )20ln2 xx g xexg xgxex ， 当(0,ln2)x时， 1( ) 0gx ，当(ln2,1)x时， 1( ) 0gx ， 所以( )max(0),(1),(0)0,(1)30,( )0g xg
36、gggeg x Q ， ( )g x在(0,1)单调递减，( )(0)0g xg， 2 1 x exx ， 综上， 00 2 0000 12(1),12(1) xx exxexaxa . （ii） 0 000000 ()()()(1)(2) x aa t xx f ex f xaxexa e， 00 ()2(1)(2)0 aa t xexa eQ， 0 12(1)axa ， 0 ()(1)1(1)1(2)(1)(1)1(2) aaaa t xtaaeaa eeaa ae ， 因为12a，所以,2(1) a ee aa， 0 ()(1)(1)2(1)1(2) a t xeaaae， 只需证明 2
37、 2(1)1(2)(1)(1) a aaeea， 即只需证明 22 4(2)(1) (1) a eea， 令 22 ( )4(2)(1) (1),(12) a s aeeaa， 则 22 ( )8(2)(1)8 (2)(1)0 aa s ae eee ee， 2 ( )(1)4(2)0s ase，即 22 4(2)(1) (1) a eea成立， 因此 0 x 0 e(e 1)(1)x faa. 54 【解析】 （1）( )ln1 x f xexQ， 1 ( ) x fxe x ，(1)1kfe. (1)1fe Q，切点坐标为(1,1+e), 函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1(
38、1)(1)yeex ,即12yex, 切线与坐标轴交点坐标分别为 2 (0,2),(,0) 1e , 所求三角形面积为 122 2 |= 211ee ; （2）解法一： 1 ( )lnln x f xaexa Q, 1 1 ( ) x fxae x ，且 0a . 设( )( )g xfx,则 1 2 1 ( )0, x g xae x g(x)在(0,)上单调递增，即 ( )fx 在(0,)上单调递增， 当1a 时，( )01 f , 11 min f xf, 1f x 成立. 当1a 时， 1 1 a ， 1 1 1 a e ， 1 1 1 ( )(1)(1)(1)0 a ffa ea a
39、 , 存在唯一 0 0 x ，使得 0 1 0 0 1 ()0 x fxae x ，且当 0 (0,)xx时( )0fx，当 0 (,)xx时( )0fx， 0 1 0 1 x ae x ， 00 ln1lnaxx ， 因此 0 1 min00 ( )()lnln x f xf xaexa 00 00 11 ln1ln2ln122ln1axaaxa xx 1, 1,f x 1f x 恒成立； 当01a时，(1)ln1,faaa(1)1,( )1ff x不是恒成立. 综上所述，实数 a 的取值范围是1,+). 解法二： 11 1 xlna x f xaelnxlnaelnxlna 等价于 1 1
40、 lna xlnx elnaxlnxxelnx , 令 x g xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx, 显然 g x为单调增函数，又等价于1lnaxlnx ，即1lnalnxx， 令 1h xlnxx,则 11 1 x hx xx 在0,1上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上 h(x)1 时，( )g x=0，解得 x1= 2 1 3 d ，x2= 2 1 3 d 易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增 g(x)的极大值 g(x1)=g( 2 1 3 d )= 3 2 2 2 3(1) 6 3 9 d 0 g(x)的极小值
41、 g(x2)=g( 2 1 3 d )= 3 2 2 2 3(1) 6 3 9 d 若 g(x2)0，由 g(x)的单调性可知函数 y=g(x)至多有两个零点，不合题意 若 2 ()0,g x即 3 2 2 (1)27d ， 也就是10d ， 此时 2 dx，()6 30,g dd且 3 1 2| |, ( 2)6|26 362 106 30dx gddd ，从而由( )g x的单调性， 可知函数( )yg x在区间 1122 ( 2,),( ,),(,)d xx xxd内各有一个零点，符合题意 所以，d的取值范围是(,10)( 10,) 65 【解析】 （I）由已知， x h xaxlna，
42、有 x h xa lnalna. 令 0h x ，解得 x=0. 由 a1，可知当 x 变化时， h x ， h x的变化情况如下表： x,000, h x - - 0+ h x极小值 所以函数 h x的单调递减区间为,0，单调递增区间为0,. （II）由 x fxa lna，可得曲线 yf x在点 11 ,xf x处的切线斜率为 1 x a lna. 由 1 gx xlna ，可得曲线 yg x在点 22 ,xg x处的切线斜率为 2 1 x lna . 因为这两条切线平行，故有 1 2 1 x a lna x lna ，即 1 2 2 1 x x alna. 两边取以 a 为底的对数，得
43、212 20 a log xxlog lna，所以 12 2lnlna xg x lna . （III）曲线 yf x在点 1 1, x x a处的切线 l1： 11 1 xx yaa lnaxx. 曲线 yg x在点 22 , a x log x处的切线 l2： 22 2 1 a ylog xxx x lna . 要证明当 1 e ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf x的切线，也是曲线 yg x的切线， 只需证明当 1 e ae 时，存在 1 ,x ， 2 0,x ，使得 l1和 l2重合. 即只需证明当 1 e ae 时，方程组 1 11 2 12 1 1 x xx a a ln
44、a x lna ax a lnalog x lna 有解， 由得 1 2 2 1 x x alna ，代入，得 11 11 12 0 xx lnlna ax a lnax lnalna . 因此，只需证明当 1 e ae 时，关于 x1的方程存在实数解. 设函数 12 xx lnlna u xaxa lnax lnalna ， 即要证明当 1 e ae 时，函数 yu x存在零点. 2 1 x uxlnaxa ，可知,0 x 时， 0u x ； 0,x时， ux 单调递减， 又 010 u ， 2 1 2 1 10 lna ua lna ， 故存在唯一的 x0，且 x00，使得 0 0u x，
45、即 0 2 0 10 x lnax a. 由此可得 u x在 0 ,x上单调递增，在 0, x 上单调递减. u x在 0 xx处取得极大值 0 u x. 因为 1 e ae ，故1ln lna ， 所以 00 0000 2 0 121222 0 xx lnlnalnlnalnlna u xax a lnaxx lnalnalnalna xlna . 下面证明存在实数 t，使得 0u t . 由（I）可得1 x axlna ， 当 1 x lna 时，有 12 11 lnlna u xxlnaxlnax lnalna 2 2 12 1 lnlna lnaxx lnalna ， 所以存在实数 t
46、，使得 0u t 因此，当 1 e ae 时，存在 1 ,x ，使得 1 0u x. 所以，当 1 e ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 yf x的切线，也是曲线 yg x的切线. 66 【解析】 （1）函数 f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则 f（x）=1，g（x）=2x+2 由 f（x）=g（x）且 f（x）= g（x） ，得 2 22 122 xxx x ，此方程组无解， 因此，f（x）与 g（x）不存在“S”点 （2）函数 2 1f xax（ ）， lng xx，则 1 2fxaxgx x （ ）， （ ） 设 x0为 f（x）与 g（x）的“S”点，由 f（x0）与 g
47、（x0）且 f（x0）与 g（x0） ，得 2 00 0 0 1 1 2 axlnx ax x ，即 2 00 2 0 1 21 axlnx ax ， （*） 得 0 1 ln 2 x ，即 1 2 0 ex ，则 2 1 2 1e 2 2 a e 当 e 2 a 时， 1 2 0 ex 满足方程组（*） ，即 0 x为 f（x）与 g（x）的“S”点 因此，a 的值为 e 2 （3）对任意 a0，设 32 3h xxxaxa 因为 0011 320hahaa ，且 h（x）的图象是不间断的， 所以存在 0 x（0，1） ，使得 0 0h x，令 0 3 0 0 2 e1 x x b x ，则
48、 b0 函数 2 exb f xxag x x ， 则 2 e1 2 x bx fxxgx x ， 由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x） ，得 2 2 e e1 2 x x b xa x bx x x ，即 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2e e1 e12 2 e1 x x x x x xa xx xx x xx （*） 此时， 0 x满足方程组（*） ，即 0 x是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” 67 【解析】 （）因为 f x= 2 4143ax
49、axa x e， 所以 f （x）=2ax（4a+1） ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR） =ax2（2a+1）x+2ex f (1)=(1a)e 由题设知 f (1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1 （）由（）得 f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex 若 a 1 2 ，则当 x( 1 a ，2)时，f (x)0所以 f (x)0 在 x=2 处取得极小值 若 a 1 2 ，则当 x(0，2)时，x20，ax1 1 2 x10 所以 2 不是 f (x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是（ 1 2 ，
50、+） 68 【解析】 （）因为 2 3132 exf xaxaxa ， 所以 2 11 exfxaxax . 2 221 efa， 由题设知 20 f ，即 2 21 e0a，解得 1 2 a . （）方法一：由（）得 2 11 e11 e xx fxaxaxaxx . 若 a1，则当 1 ,1x a 时， 0fx ； 当1,x时， 0fx . 所以 f x在 x=1 处取得极小值. 若1a ，则当0,1x时，110axx ， 所以 0fx . 所以 1 不是 f x的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是1,. 方法二： 11 exfxaxx . （1）当 a=0 时，令 0fx 得 x=1
