1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第 二类办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 1 m种不同的方法， 做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列： 一般地， 从n个不同的元素中任取()m mn个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
3、 n 表示 排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素并成一组，叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 乘法原理 【学而思高中数学讲义】 组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n n nnnmn m
4、m nm ，,m n N，并且mn 组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除法，从总体中排除
5、不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成()m mn组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从1n 个空中选1m 个空，各插一个隔板，有 1 1 m n C 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等， 必须除以m！ 8错位法：编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1
6、 到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或
7、组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 乘法原理 【例 1】 公园有4个门，
8、从一个门进，一个门出，共有_种不同的走法 【例 2】 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_ 【例 3】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排 一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安 排方法共有种 【例 4】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参 加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种 【例 5】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？ 【例 6】 六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【学而思高中数学讲义】 【例 7
9、】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的 奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答） 【例 8】 从集合1 2 311， ， ， ，中任选两个元素作为椭圆方程 22 22 1 xy mn 中的m和n，则 能组成落在矩形区域()| 11Bxyx，且| 9y 内的椭圆个数为（） A43B72 C86D90 【例 9】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族 函数” ，那么函数解析式为 2 yx ，值域为 19，的“同族函数”共有（） A7个B8个C9个D10个 【例 10】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码
10、，某人采用千位、百位上的数字之积作为 十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字 选0，并且千位、百位上都能取0这样设计出来的密码共有（） A90个B99个 C100个D112个 【学而思高中数学讲义】 【例 11】从集合 4321 0 1 2 3 4 5， ， ， ， ，中，选出5个数组成子集，使得这5 个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（） A10B32C110 D220 【例 12】若x、y是整数，且6x，7y，则以()，xy为坐标的不同的点共有多少 个？ 【例 13】用0，1，2，3，4，5这6个数字： 可以组成_个数字不重复的三位数 【学而思高中数学讲义】 可以组成_个数字允许重复的三位数 【例 14】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【例 15】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案 共有（）种 A5B6C7D8
