1、 邹毅邹毅 内蒙古大学满洲里学院附属中学内蒙古大学满洲里学院附属中学 2.2.32.2.3向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 人民教育出版社人民教育出版社A A版版 数学必修数学必修4 4 目目 录录 教材教材 分析分析 教学教学 目标目标 教学教学 重难点重难点 教学教学 策略策略 教学教学 过程过程 学情学情 分析分析 教学教学 反思反思 01 教材分析教材分析 向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数 研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量 是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问
2、题的基本工 具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际 问题中发挥重要作用。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、 几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模 块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算 的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问 题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 一、教材分析教材分析-明确课标明确课标 新新 旧旧 课课 标标 对对 比比 20202020修订版修订版 课程标准课程标准 20132013版课程标准版课程标准 数学核心、学科素养数学核心、学科素养 本节课内容本节课内容 上节课内容上节
3、课内容 下节课内容下节课内容 一、一、教材分析教材分析-知识脉络知识脉络 向量向量 实际背景实际背景 线性运算线性运算 基本定理基本定理 坐标表示坐标表示 向量的应用向量的应用 向量及其向量及其 基本概念基本概念 向量的数向量的数 量积量积 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 是人教A版教材必修四第二章第2节 的第二课时。第一节是平面向量的 实际背景及概念；第二节平面向量 线性运算中的加法及几何意义为过 渡到本节课的学习起到了铺垫的作 用。本课题的理论、知识是学好之 后-平面向量基本定理及应用的基 础，它在整个教材中起着承上启下 的作用。 一、一、教材分析教材分析 -教材对比教材对比 在平面向
4、量及其应用的教学活动中，从力、速度、加速度等实际在平面向量及其应用的教学活动中，从力、速度、加速度等实际 情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算 法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性 与差异，可以引导学生运用向量解决一些与差异，可以引导学生运用向量解决一些几何几何和和物理物理问题。问题。 一、一、教材分析教材分析-核心素养、核心素养、“一核、四层、四翼一核、四层、四翼”、教学重点、教学重点 通过实例分析，掌握平面向量数乘运算、运算规则及其几何意义
5、。通过实例分析，掌握平面向量数乘运算、运算规则及其几何意义。 教学重点 数学抽象数学抽象逻辑推理逻辑推理直观想象直观想象数学运算数学运算 【解决策略】为了突出重点，让学生在创设情境、探究以及问题【解决策略】为了突出重点，让学生在创设情境、探究以及问题 串的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。串的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。 02 教学目标教学目标 学习目标学习目标 学业要求 能够从多种角度理解向量概念和运算法则，能够运用向量运算解决简 单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系。 学业要求 课堂教学目标 课程目标 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是
6、沟通代数、几何与 三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本章中，学生将了解 向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和 方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问 题的能力 单元目标 单元目标 本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义； 掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向 量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。 课程目标 二、二、教学目标教学目标 1 我能理解实数与向量的积我能理解实数与向量的积- 数乘运算的定义及几何意义数乘运算的定义及几何意义 2 我能熟悉数乘运算的运算律，我能熟悉数乘运算
7、的运算律， 并进行相关的计算并进行相关的计算 3 我能熟知平面向量我能熟知平面向量共线共线定理，定理， 并会判断两个向量是否共线并会判断两个向量是否共线 Sales, 1st Qtr, 8.2 Sales, 2nd Qtr, 3.2 Sales, 3rd Qtr, 1.4 Sales, 4th Qtr, 1.2 二、教学目标二、教学目标-学习目标学习目标 培养三会、培养三会、 获得四基、获得四基、 提高四能提高四能 03 学情分析学情分析 教学重点 通过实例分析，通过实例分析， 掌握平面向量数掌握平面向量数 乘运算、运算规乘运算、运算规 则及其几何意义。则及其几何意义。 教学难点 理解向量数乘
8、运理解向量数乘运 算的几何意义、算的几何意义、 平面向量共线定平面向量共线定 理及应用理及应用 04 教学重难点教学重难点 05 教学策略分析教学策略分析 五、教学策略五、教学策略-教法学法教法学法 利用直观演示，激发学生的 学习兴趣，活跃课堂气氛， 促进学生对知识的掌握。由 “感知表象抽象” 的认知规律，在教学中主要 采用了创设情境、动手操作 及自主探究的教学方法， 即 把问、说、讲、做的权利和 时间交给学生。 引导学生通过创设情 景等活动形式获取知 识，以学生为主体， 使学生的独立探索性 得到了充分的发挥， 培养学生的发现、提 出、分析、解决问题 能 力 和 活 动 组 织 能 力。 直观
9、演示法活动探究法小组合作讨论 针对教学重难点，组织 学生进行集体和分组语 境讨论，促使学生在学 习中解决问题，从而使 学生感悟抽象概括的数 学思想，积累了数学的 基本活动经验，培养学 生团结协作的精神。 01问题 已知非零向量已知非零向量 ，作出，作出 和和 ， 说明它们的意说明它们的意 义义 02 问题 通过数乘向量通过数乘向量 的定义并且比的定义并且比 较较 与与 得到得到 几何几何 意义意义 03问题 类比实数乘法类比实数乘法 的运算律验证的运算律验证 实数与向量积实数与向量积 的运算律的运算律 04问题 若若 ，则，则 与与 的位置关系？的位置关系？ 五、教学策略五、教学策略-“-“问
10、题串问题串”设计设计 目标目标1 1目标目标1 1 目标目标2 2目标目标3 3 a a a a ()()()aaa a ba b a 3a 1 2 a 06 教学过程教学过程 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 向量数乘向量数乘向量加法向量加法向量减法向量减法 几何意义几何意义运算法则运算法则 向量的线性运算向量的线性运算 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 02评价任务一.1 完成学案上作图，生成定义，小组内完成学案上作图，生成定义，小组内
11、展示交流并进行自评达标展示交流并进行自评达标 学习目标一.101 理解实数与向量的积理解实数与向量的积-数乘运算的定义数乘运算的定义 教学活动03 04 设计意图 向量的数乘运算可以直接由物理模型引入，同向量的数乘运算可以直接由物理模型引入，同 时又蕴含了几何的思想。这一点也更好的体现时又蕴含了几何的思想。这一点也更好的体现 了向量数乘运算具有的几何意义和数形结合的了向量数乘运算具有的几何意义和数形结合的 特征，也突出了本节课的教学重点，积累了作特征，也突出了本节课的教学重点，积累了作 图、研究图形的经验和建立空间想象能力。培图、研究图形的经验和建立空间想象能力。培 养了学生的数学抽象素养。养
12、了学生的数学抽象素养。 合作探究合作探究1 1总结总结 作图并生成定义作图并生成定义 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 02评价任务一.2 总结作图，小组内交流总结数乘总结作图，小组内交流总结数乘 运算的几何意义并进行自评达标运算的几何意义并进行自评达标 学习目标一.201 理解数乘运算的几何意义理解数乘运算的几何意义 教学活动03 04 设计意图 通过对比两个模型的作图，得到数乘运算的通过对比两个模型的作图，得到数乘运算的 几何意义。几何意义。突出了本节课的教学重难点。突出了本节课的教学重难点。期间期间 让学生开展自主探究、小组合作，培养学生让学生开展
13、自主探究、小组合作，培养学生 勇于探索、敢于创新的个性品质。锻炼学生勇于探索、敢于创新的个性品质。锻炼学生 小组合作的组织能力和语言表达能力，也践小组合作的组织能力和语言表达能力，也践 行了行了“新课标新课标”中的中的“三会三会”理念理念 合作探究合作探究2 2观察图形观察图形 并总结归纳几何意义并总结归纳几何意义 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 02评价任务二 小组内交流展示类比实数的运算小组内交流展示类比实数的运算 律总结数乘运算的运算律并进行律总结数乘运算的运算律并进行 自评达标自评达标 学习目标二01 熟悉数乘运算的运算律，熟悉数乘运算的运算律
14、， 并进行相关的计算并进行相关的计算 教学活动03 04设计意图 引导学生通过类比实数的运算律猜想并引导学生通过类比实数的运算律猜想并 验证数乘运算的运算律，符合建构主义验证数乘运算的运算律，符合建构主义 的认知。也欣赏到两个法则在不同领域的认知。也欣赏到两个法则在不同领域 里的共性。培养和发展了学生的逻辑推里的共性。培养和发展了学生的逻辑推 理素养和直观想象素养。理素养和直观想象素养。 合作探究合作探究3 3类比并验证类比并验证 得到数乘运算的运算律得到数乘运算的运算律 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 02评价任务二 小组内交流展示类比实数的运算小组
15、内交流展示类比实数的运算 律总结数乘运算的运算律并进行律总结数乘运算的运算律并进行 自评达标自评达标 学习目标二01 熟悉数乘运算的运算律，熟悉数乘运算的运算律， 并进行相关的计算并进行相关的计算 教学活动03 04设计意图 引导学生通过类比实数的运算律猜想并引导学生通过类比实数的运算律猜想并 验证数乘运算的运算律，符合建构主义验证数乘运算的运算律，符合建构主义 的认知。也欣赏到两个法则在不同领域的认知。也欣赏到两个法则在不同领域 里的共性。培养和发展了学生的逻辑推里的共性。培养和发展了学生的逻辑推 理素养和直观想象素养。理素养和直观想象素养。 合作探究合作探究3 3类比并验证类比并验证 得到
16、数乘运算的运算律得到数乘运算的运算律 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 学习任务熟练运用运算律解题熟练运用运算律解题 设计意图：设计意图：巩固新知，达成目标。使学生理巩固新知，达成目标。使学生理 解向量运算的运算律并熟练运用运算律解题。解向量运算的运算律并熟练运用运算律解题。 培养和发展了学生的数学运算素养。培养和发展了学生的数学运算素养。 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 02评价任务三 1.1.小组内交流总结向量数乘运算的作用小组内交流总结向量数乘运算的作用 -向量共线向量共线 2.2.运用平面向量共线定理证明
17、向量共线运用平面向量共线定理证明向量共线 并进行自评达标并进行自评达标 学习目标三01 熟知平面向量熟知平面向量共线共线定理，定理， 并会判断两个向量是否共线并会判断两个向量是否共线 教学活动03 04设计意图 向量数乘运算的作用直接围绕着向量的向量数乘运算的作用直接围绕着向量的 共线。这种方法也经常出现在解析几何共线。这种方法也经常出现在解析几何 中。成功的突出了本节课的难点。培养中。成功的突出了本节课的难点。培养 和发展了学生的直观想象和逻辑推理素和发展了学生的直观想象和逻辑推理素 养。突显了学生发现问题、分析问题、养。突显了学生发现问题、分析问题、 解决问题的能力。解决问题的能力。 合作
18、探究合作探究4 4体会向量数体会向量数 乘运算的作用及应用乘运算的作用及应用 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 学习任务合作探究运用平面向量共线定理证明向量共线问题合作探究运用平面向量共线定理证明向量共线问题 六、教学过程 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 总结及自我评价 小组总结本节课的学习内容并小组总结本节课的学习内容并 自评预定目标是否达成，组长自评预定目标是否达成，组长 汇总组员学案并统计达标结果汇总组员学案并统计达标结果 02巩固拔高 练习册练习册2.2.32.2.3 基础题目01 教材教材P91 P91 练习练习9
19、9 预习新知 03 预习下一节课预习下一节课 平面向量基本定理平面向量基本定理 04探索发现 思考：怎样理解思考：怎样理解 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 六、教学过程 a a 情境再现 新知探究 总结提升 板书设计 分层作业 课前回顾 六、教学过程 07 教学反思教学反思 课后反思 Reflection after class 本节课主要是教给学生本节课主要是教给学生“动手做，动动手做，动 脑想；多训练，勤钻研脑想；多训练，勤钻研”的研讨式学的研讨式学 习方法。这样做，能让学生增加主动习方法。这样做，能让学生增加主动 参与的机会，增强了合作意识，教给参与的机会，增
20、强了合作意识，教给 学生获取知识的途径，思考问题的方学生获取知识的途径，思考问题的方 法；法； 这样做，还能让学生这样做，还能让学生“学学”有新有新 “思思”，“思思”有所有所“得得”，“练练” 有所有所“获获”；这样做，更能让我；这样做，更能让我 们的教与学适应新课程背景下培养们的教与学适应新课程背景下培养 “创新型创新型”人才的需要。人才的需要。 此外，本节课的设计较多应用了多媒此外，本节课的设计较多应用了多媒 体辅助教学的有效作用，在复习引入，体辅助教学的有效作用，在复习引入， 定理的探究以及定理的运用等过程中，定理的探究以及定理的运用等过程中， 力求恰到好处地使用多媒体，达到传力求恰到好处地使用多媒体，达到传 统教学与网络教学优势互补之境界。统教学与网络教学优势互补之境界。 课后应着重检查各小组的学案及达标课后应着重检查各小组的学案及达标 情况。情况。 本节课从导课到引入数乘向量的本节课从导课到引入数乘向量的 定义及几何意义的时候均联系了定义及几何意义的时候均联系了 物理上常见的知识点，物理基础物理上常见的知识点，物理基础 薄弱的学生在接受新知识的时候薄弱的学生在接受新知识的时候 效果不理想。效果不理想。 感谢您的观看感谢您的观看！ 邹毅邹毅 内蒙古大学满洲里学院附属中学内蒙古大学满洲里学院附属中学
