1、第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 学习目标学习目标 1.通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质 特征，并能解决问题。 2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。 我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 提出问题提出问题 列表 x1/41/212 4 xy 2 log -2 -1 0 1 2 xy 2 1 log 作图步骤：1. 列表 2. 描点 3. 连 线 问题1. 画出函数 和 的图象。 xy 2 log xy 2 1 log 问题探究问题探究 描点连线 2 1 -1 -2 1240 y x3 2 11 4 y=log2x x 1/41/212 4 xy 2 log
2、 xy 2 1 log -2 -1 0 1 2 列表 问题探究问题探究 问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关 于 y轴对称对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某 种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函 数的图象？ xy 2 logxy 2 1 log 描点 连线 2 1 - 1 - 2 124 0 y x3 2 11 4 y=log1/2x y=log2x x1/41/212 4 xy 2 log xy 2 1 log -2 -1 0 1 2 列表 这两个函数的 图象有什么关 系呢？ 关于x轴对称 问题3：底数a（a，且a）的若干个不同
3、的值，在同 一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象观察这些图象 的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 由此你能概括出对数函数 （a，且a）的 值域和性质吗？ log a yx= 问题探究问题探究 问题探究问题探究 y=logax（a1）的图象 问题探究问题探究 y=logax（0a 1 时，y 0; 当 0 x 1 时， y 1 时，y 0; 当 0 x 0. 对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 对数函数的性质的助记口诀: 对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减,
4、 图象都过(1,0)点. 记忆口诀记忆口诀 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 ； log23.4 1, 函数在区间（0，+）上是增函数； 3.48.5 例题解析例题解析 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解（2）：考察函数y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函数在区间（0，+）上是减函数； 1.8 log 0.3 2.7 例题解析例题解析 例1：比较下列各组中，两个值的大小： （3） log a 5.1与 log a 5.9 （a，且a） 解（3）：考察函数log a 5.1与
5、 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1， 因此需要对底数a进行讨论 当a 1时, 因为y=log a x是增函数， 且5.1 5.9，所以log a 5.1 log a 5.9 ； 当0 a 1时, 因为y=log a x是减函数， 且5.1 log a 5.9 ； 例题解析例题解析 归纳总结：当归纳总结：当底数相同底数相同, ,真数不同真数不同时时, ,利用对数函数利用对数函数 的的增减性增减性比较大小。注意比较大小。注意: :当底数不确定时当底数不确定时, ,要对底要对底 数与数与1 1的大小进行的大小进行分类讨论
6、分类讨论。 归纳总结归纳总结 跟踪训练跟踪训练 练习练习2：已知下列不等式，比较正数：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：的大小： (1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1) m n m n m n 跟踪训练跟踪训练 7 .:lg, /. (1) (2)10/ . pHpHpHH H pH H pH + + +- = - = 例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为 其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升 根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； 已知纯净
7、水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯 净水的值 1 1 (1)lg lglg, pHHH H + - + =-=解：根据对数的运算性质得 ., , , . 1 lg 1 ), 0( 其酸碱度就越小越大即溶液中氢离子的浓度 减小增大所以 减小也减小，即减小，增大，上，在 pHH pH HH H 例题解析例题解析 . 7 . 710lg10)2( 77 是即纯净水的 时，当解： pH pHH .0 . 70 . 5之间之间应该在应该在的的国家规定，饮用纯净水国家规定，饮用纯净水pH 7 .:lg, /. (1) (2)10/ . pHpHpHH H pH H pH + + +- = - = 例2溶液
8、酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为 其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升 根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； 已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯 净水的值 因此，函数因此，函数 y = logax (a0,且且a1)与指数函数与指数函数y = ax 已知函数已知函数 y=2x （xR ，y （0，+） 可得到可得到x=log2y ，对于任意一个，对于任意一个 y（0，+），），通过式子通过式子x=log2y ，x在在R中都有唯一确定的值和它对应。也就中都有唯一确定的值和它对应。也就 是说，可以把是说，可以把y作为自变
9、量，作为自变量，x作为作为y的函数，这是我们就说的函数，这是我们就说x=log2y （y（0， +）是函数）是函数 y=2x （ xR） 的的反函数反函数。 但但习惯上习惯上，我们通常用，我们通常用x表示自变量，表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数表示函数。为此我们常常对调函数 x=log2y 中的字母中的字母x，y，把它写成，把它写成y=log2x ,这样，对数函数这样，对数函数y=log2x （ x（0， +） ）是指数函数）是指数函数y=2x （xR ）的反函数。）的反函数。 反函数反函数 图图 象象 性性 质质 对数函数y=log a x (a0, a1)指数函数y=ax (a
10、0,a1) (4) a1时时, x0,0y0,y1 0a1时时,x1;x0,0y1时时,0 x1,y1,y0 0a1时时,0 x0; x1,y1时时, 在在R上是增函数；上是增函数； 0a1时时,在在(0,+)是增函数；是增函数； 0a1) y=ax (0a1) y=logax (0a1，01，yax是减函数， ylogax是增函数，故选C. 当堂达标当堂达标 3.已知f(x)loga|x|，满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象. 当堂达标当堂达标 当堂达标当堂达标 5.比较下列各组数中两个值的大小: 6log, 7log)1( 76 8.0log,log)2( 23 解:(1)log67log661 log76log771 log67log76 (2)log3log310 log20.8log210 log3log20.8 方法方法:当底数不同，真数不同时，当底数不同，真数不同时， 可考虑这些数与可考虑这些数与1或或0的大小的大小 。 当堂达标当堂达标 6:解不等式:2log) 12(log 2 1 2 1 x 解：原不等式可化为：解：原不等式可化为： 212 012 x x 2 1 2 1 x 2 1 2 1 ，原不等式的解集是 当堂达标当堂达标 课堂小结课堂小结 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法； 数形结合思想方法是研究函数图像和性质；
