1、专题四概率与统计 第第 1 讲讲概率、随机变量及其分布列概率、随机变量及其分布列 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 2019 古典概型T6互斥事件、独立 事件、离散型随 机变量T18 独立重复试验的概率T15 随机变量的分布列、等比数列T21 2018 几何概型T10 古典概型T8 相互独立事件及二项 分布T8 二项分布、 导数的应用及变量的数学 期望、决策性问题T20 2017 数学文化、有关面积的几何概型T2 二项分布的方 差T13 频数分布表、概率分 布列的求解、数学期 望的应用T18 正态分布、二项分布的性质及概率、 方差T19 (1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热
2、点之一，命题形式为“一小一大”，即一 道选择题或填空题和一道解答题 (2)选择题或填空题常出现在第 410 题或第 1315 题的位置，主要考查随机事件的概 率、古典概型、几何概型，难度一般 考点一考点一古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”， 右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是() A. 5 16 B.11 32 C.21 32 D.11 16 2(2019济南市模拟考试)2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试
3、运行，济南轨道交 通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动市民可以通过济南地铁 APP 抢票， 小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一 起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为() A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.5 6 3.(2019福州市质量检测)如图， 线段 MN 是半径为 2 的圆 O 的一条弦， 且 MN 的长为 2.在圆 O 内，将线段 MN 绕点 N 按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将新线段 NM 绕新点 M 按逆时针方向转 动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动，点 M
4、 的轨迹所 围成的区域是图中阴影部分若在圆 O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为() A.46 3B.13 3 2 C.3 3 2 D.3 3 2 4某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 考点二考点二互斥事件、相互独立事件的概率互斥事件、相互独立事件的概率 1(2019广州市调研测试)已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球，现随机从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中
5、，再从乙袋中随机取出 1 个球，则从乙袋中 取出的球是红球的概率为() A.1 3 B.1 2 C.5 9 D.2 9 2(2019石家庄市模拟(一)袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球， 现从中不放回地摸取 2 个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为() A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.1 5 3 (2019全国卷)甲、 乙两队进行篮球决赛， 采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时， 该队获胜， 决赛结束) 根据前期比赛成绩， 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 设 甲队主场取胜的概率为0.6， 客场取胜的概率为0.5， 且各场比赛结果相互独立
6、， 则甲队以41 获胜的概率是_ 4(2019全国卷)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后， 每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛， 假设甲发球时甲得分的概率为 0.5， 乙发球时甲得分的概率为 0.4， 各球的结果相互独立 在 某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 (1)求 P(X2)； (2)求事件“X4 且甲获胜”的概率 考点三考点三随机变量的分布列、均值与方差随机变量的分布列、均值与方差 题型一超几何分布及其均值与方差 例 1(2019福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客， 决定
7、在 2019 年元旦来临之际举 行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该 超市面向该市某高中学生征集活动方案， 该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用 方 案如下： 将一个 444 的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成 64 个相同的小正方体 经 过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价 值为. (1)求 P(3) (2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着 色面数之和为 6，设为一等奖，获得价值 50 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之 和为 5，设为二等奖，获得价值 3
8、0 元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为 4，设 为三等奖，获得价值 10 元的礼品，其他情况不获奖求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的 分布列与数学期望 题型二相互独立事件的概率及均值与方差 例 2(2019石家庄市模拟(一)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天 购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市 场的需求情况，现统计该食品在本地区 100 天的销售量如下表： 销售量/份15161718 天数20304010 (视样本频率为概率) (1)根据
9、该食品 100 天的销售量统计表， 记两天中一共销售该食品份数为， 求的分布列 与数学期望； (2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 32 或 33 份， 哪一种得到的利润更大？ 题型三二项分布及其均值与方差 例 3(2019合肥模拟)前不久， 安徽省社科院发布了 2017 年度“安徽城市居民幸福排 行榜”，铜陵市成为本年度安徽“最幸福城市”随后，师大附中学生会组织部分同学，用 “10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取 16 名，如图所 示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分 数. (1)指出这
10、组数据的众数和中位数； (2)若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人的幸福度是“极幸福”的概率； (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据， 若从该社区(人数很多)任选 3 人， 记表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望 (2019广州市调研测试)某企业对设备进行升级改造， 现从设备改造前后生产的大量产品 中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20，40)内 的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设 备改造后样本的频数
11、分布表 设备改造前样本的频率分布直方图 设备改造后样本的频数分布表 质量指标 值 15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45) 频数2184814162 (1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值 (2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25，30) 内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在20，25)或30，35)内的定为二等品， 每件售价 180 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元根据上表的数据，用该组样 本中一等品、 二等品、 三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产 品的概
12、率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X(单位：元)，求 X 的分布 列和数学期望 考点四考点四正态分布正态分布 例 4为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽 取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3，3) 之外的零件数，求 P(X1)及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的
13、生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 99510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.02 9.2210.0410.059.95 用样本平均数 x 作为的估计值 ，用样本标准差 s 作为的估计值 ，利用估计值判断 是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据，用剩下的数据估 计和(精确到 0.01) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 4.0.997 416 0.959 2， 0.0080.09. 已知某厂生产的电子
14、产品的使用寿命 X(单位：小时)服从正态分布 N(1 000，2)，且 P(X800)0.1，P(X1 300)0.02. (1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1 200，1 300)的概率； (2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在800，1 200)的件数为 Y， 求 Y 的分布列和数学期望 E(Y) 考点五考点五概率问题中的交汇与创新概率问题中的交汇与创新 例 5(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药 更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对 于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一
15、轮的治疗结果得出后，再安排下一 轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且 施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的 白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙 两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分 为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，
16、p81，piapi1bpicpi1(i1， 2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8. 证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列； 求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性 1.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为1 3，某实验小组对该种植物的种子进行发芽 试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独 立)，用表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值 (1)求随机变量的概率分布和数学期望； (2)求不等式x2x10 的解集为 R 的概率 2.某网络广告公司计划从甲、乙两个网站中选择一个网站拓展
17、公司的广告业务，为此该 公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中 10 天的日访问量(单位：万次)，整理后得到如图所 示的茎叶图. (1)请说明该公司应该选择哪个网站； (2)根据双方规定，该公司将根据所选网站的日访问量进行付费，付费标准如下： 日访问量 n(单位：万次)n35 付费标准(单位：元/日)5007001 000 考虑到资金有限，若要使该公司每个月(按 30 天计)付的费用最少，则该公司应该选择 哪个网站？ 【课后专项练习】【课后专项练习】 A 组 一、选择题 1(2019贵州省适应性考试)在 2018 中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、 丁 4 名游客准备到贵州的黄果树瀑布、
18、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一 个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 2.(2019江西八所重点中学联考)小华的爱好是玩飞镖， 现有如图所示的由 两个边长都为 2 的正方形 ABCD 和 OPQR 构成的标靶图形，如果 O 正好是正 方形 ABCD 的中点，而正方形 OPQR 可以绕 O 点旋转若小华随机向标靶投 飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是() A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 7 3小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A“4 个 人去的景点
19、不相同”，事件 B“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)() A.2 9 B.1 3 C.4 9 D.5 9 4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为() A0.648B.0.432 C0.36D.0.312 5某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则 p() A0.7B.0.6 C0.4D.0.3 6(2019武汉市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学
20、生体育锻炼某校 篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为3 4，他前一球投不进则后一 球投进的概率为1 4.若他第 1 球投进的概率为 3 4，则他第 2 球投进的概率为( ) A.3 4 B.5 8 C. 7 16 D. 9 16 二、填空题 7(2019石家庄市模拟(一)已知实数 x0，10，则 x 满足不等式 x24x30 的概 率为_ 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想 是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30723.在不超过 30 的素数中， 随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是_ 9(2019山东烟台
21、期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试若高三 全体考生的数学成绩近似服从正态分布 N(100， 17.52) 已知成绩在 117.5 分以上(含 117.5 分) 的学生有 80 人，则此次参加考试的学生成绩不超过 82.5 分的概率为_；如果成绩大 于 135 分的为特别优秀， 那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有_人 (若 XN(， 2)，则 P(X)0.68，P(2X2)0.96) 三、解答题 10(2019唐山模拟)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在 223，228(单位：mm)内的零件为一等品，其余为二等品甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶 图如图所示
22、： (1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等 级互不相同的概率； (2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件， 记这 3 个零件中一等品数量为 X， 求 X 的分布列和数学期望 11为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量， 现从某市大学生中随机 抽取 300 位同学进行调查，结果如下： 微信群 数量 0至5个6 至 10 个11 至 15 个16 至 20 个 20 个 以上 合 计 频数09090 x15300 频率00.30.3yz1 (1)求 x，y，z 的值； (2)以这 300 人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估
23、计概率，若从全市大学生(数 量很大)中随机抽取 3 人，记 X 表示抽到的是微信群个数超过 15 的人数，求 X 的分布列、数 学期望和方差 12 (2019合肥市第二次质量检测)某种大型医疗检查机器生产商， 对一次性购买 2 台机 器的客户，推出 2 种超过质保期后 2 年内的延保维修优惠方案， 方案一：交纳延保金 7 000 元，在延保的 2 年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维 修费 2 000 元； 方案二：交纳延保金 10 000 元，在延保的 2 年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取 维修费 1 000 元 某医院准备一次性购买 2 台这种机器 现需决策在购买机器
24、时应购买哪种延保方案， 为 此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保 2 年内维修的次数，得下表： 维修次数0123 台数5102015 以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率记 X 表示这 2 台机 器超过质保期后延保的 2 年内共需维修的次数 (1)求 X 的分布列； (2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据， 医院 选择哪种延保方案更合算？ B 组 1(2019广州市综合检测(一)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价， 居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户). 阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯 月用
25、电范围/度0，210(210，400(400，) 某市随机抽取 10 户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号12345678910 用电量/度538690124132200215225300410 (1)若规定第一阶梯电价每度 0.5 元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度 0.6 元，第三阶 梯超出第二阶梯的部分每度 0.8 元，试计算某居民用电户用电 410 度时应交电费多少元？ (2)现要从这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望 (3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取 10 户，若抽 到 k 户用电量为第一
26、阶梯的可能性最大，求 k 的值 2(2019昆明市质量检测)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山” 的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗 A，B，C，经引种试 验后发现， 引种树苗 A 的自然成活率为 0.8， 引种树苗 B， C 的自然成活率均为 p(0.7p0.9) (1)任取树苗 A， B， C 各一棵， 估计自然成活的棵数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 E(X) (2)将(1)中的 E(X)取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率该农户决定引种 n 棵 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有 75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处
27、理 后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活 求一棵 B 种树苗最终成活的概率； 若每棵树苗最终成活后可获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不 低于 20 万元，问至少引种 B 种树苗多少棵？ 3(2019济南市高三模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤， 使用寿命为十年如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串 联安装 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现， 在使用过程中， 一级滤芯和二级滤芯都需要 不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统 的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二
28、级滤芯每个 160 元若客户在使用过程中单独 购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元现需决策安装净水系统的同时购 滤芯的数量， 为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成 的图表， 其中图是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图， 表是根据 100 个二 级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表 二级滤芯更换频数分布表 二级滤芯更换的个数56 频数6040 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率， 以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率 (1)求一
29、套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； (2)记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 X 的分布列及 数学期望； (3)记 m， n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数 若 mn28，且 n5，6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望 为决策依据，试确定 m，n 的值 4 (2019湖南四大名校模拟) 超级病菌是一种耐药性细菌， 产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来 越多， 但是由于滥用抗生素的现象不断的发生， 很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性， 更可怕的是，抗生素药物对
30、它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、 痉挛、昏迷直到最后死亡 某药物研究所为筛查某种超级细菌， 需要检验血液是否为阳性， 现有 n(nN*)份血液样 本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验 n 次；(2) 混合检验，将其中 k(kN*且 k2)份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴 性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳 性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的 检验次数总共为 k1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验
31、结果是阳性还是 阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1) (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经 过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； (2)现取其中 k(kN*且 k2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次 数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2. ()试运用概率统计的知识，若 E(1)E(2)，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf(k)； ()若 p1 1 3 e ， 采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln
32、20.693 1，ln 31.098 6，ln 41.386 3，ln 51.609 4，ln 61.791 8. 第第 2 讲讲统计、统计案例统计、统计案例 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 2019数字特征T5 频率分布直方图、均值 的应用T17 2018统计图的识别与分析T3 折线图、线性回归方程 模型问题T18 茎叶图的应用及独立性 检验T18 2017 频率分布直方图、独立 性检验T18 折线图的识别与分 析T3 (1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计 总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在 34 题的位置 (2)统计与
33、统计案例在解答题中多出现在第 18 或 19 题位置，考查茎叶图、直方图、数 字特征及统计案例，多以计算为主 考点一考点一抽样方法抽样方法 1福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02，03，32，33 这 33 个两位号 码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为() 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82
34、 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12B.33 C.06D.16 解析：选 C被选中的红色球号码依次为 17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中 的红色球号码为 06，故选 C. 2利用系统抽样法从编号分别为 1，2，3，80 的 80 件不同产品中抽出一个容量为 16 的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为 13，则抽到产品的最大编号为() A73B.78 C77D.76 解析：选 B样本的分段间隔为80 165，所以 13 号在第三组，则最大的编号为 13(16 3)578.故选 B. 3某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进
35、行调查，参加调查的一共有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示： 最喜爱喜爱一般不喜欢 4 8007 2006 4001 600 电视台为了了解观众的具体想法和意见， 打算从中抽选 100 人进行更为详细的调查， 为 此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为() A.25，25，25，25B.48，72，64，16 C.20，40，30，10D.24，36，32，8 4某班共有学生 56 人，学号依次为 1，2，3，56，现用系统抽样的方法抽取一个 容量为 4 的样本，已知学号为 2，30，44 的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为 _ 考点二考点二
36、用样本估计总体用样本估计总体 例 1(2019全国卷)为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试验： 将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠 给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科 学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ，根据直方图得到 P(C)的估计 值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间
37、的中点值为代 表) 解(1)由已知得 0.70a0.200.15， 1 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量， 如下表所示： 用电量/度120140160180200 户数23582 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是() A180，170B.160，180 C160，170D.180，160 2 (2019贵阳模拟)如图的折线图是某超市 2018 年一月份至五月份的营业额与成本数据， 根据该折线图，下列说法正确的是() A该超市 2018 年的前五个月中三月份的利润最高 B该超市 2018 年的前五个月的利润一直呈增长趋势 C该超市 2018 年的
38、前五个月的利润的中位数为 0.8 万元 D该超市 2018 年前五个月的总利润为 3.5 万元 3(2019武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的 1 000 名选手的初赛成绩(满分：100 分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图 (1)根据直方图完成以下表格； 成绩50，60)60，70)70，80)80，90)90，100 频数 (2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)如果从参加初赛的选手中选取380 人参加复赛， 那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 考点三考点三统计案例统计案例 题型一回归分析在实际问题中的应用 例 2(2018全国卷)下图
39、是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位： 亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回 归模型根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2， ， 17)建立模型：y 30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，7)建立模型 ：y 9917.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 题型二独立性检验在实际问题中的应用 例 3(2
40、019武汉市调研测试)2019 年，在庆祝中华人民共和国成立 70 周年之际，又 迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运 会”)据悉，这次军运会将于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在美丽的江城武汉举行，届时将 有来自 100 多个国家的近万名军人运动员参赛相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军 运会或许对很多人来说还很陌生， 所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相 关知识内容， 特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛 为便于对答 卷进行对比研究，组委会抽取了 1 000 名男生和 1 000 名女生的答卷， 他
41、们的成绩(单位：分) 频率分布直方图如下： (注：答卷满分为 100 分，成绩80 的答卷为“优秀”等级) (1)从现有 1 000 名男生和 1 000 名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀” 等级的概率； (2)求下面列联表中 a，b，c，d 的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？ 男女总计 优秀abab 非优秀cdcd 总计1 0001 0002 000 (3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较 附： P(K2k0)0.050.0250.010 k03.8415.0246.635 K2
42、 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd. 1(2019福建质量检测)“工资条里显红利，个税新政入民心”随着 2019 年新年钟声 的敲响，我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施 的阶段某 IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在 26 岁35 岁(2009 年2018 年)之间各年的月平均收入 y(单元：千元)的散点图： (1)由散点图知，可用回归模型 ybln xa 拟合 y 与 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回归方程； (2)如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3 000 元/月，
43、试利用(1)的结果，将 月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他 36 岁时每个月少缴纳的个人所得税 附注：1.参考数据：错误错误!i55，错误错误!i155.5，错误错误!(xi x )282.5， 错误错误!(xi x )(yi y )94.9，错误错误!i15.1，错误错误!(ti t )24.84， 错误错误!(ti t )(yi y )24.2，其中 tiln xi；取 ln 112.4，ln 363.6. 2参考公式：回归方程 vbua 中斜率和截距的最小二乘估计分别为b 错误错误!，a v b u . 3新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下： 旧个税税
44、率表(个税起征点 3 500 元)新个税税率表(个税起征点 5 000 元) 缴税级数 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点 税率(%) 每月应纳税所得额(含税) 收入个税起征点专项 附加扣除 税率 (%) 1不超过 1 500 元的部分3不超过 3 000 元的部分3 2 超过 1 500 元至 4 500 元 的部分 10 超过 3 000 元至 12 000 元的 部分 10 3 超过 4 500 元至 9 000 元 的部分 20 超过 12 000 元至 25 000 元 的部分 20 4 超过 9 000 元至 35 000 元 的部分 25 超过 25 000 元至 35 0
45、00 元 的部分 25 5 超过 35 000 元至 55 000 元的部分 30 超过 35 000 元至 55 000 元 的部分 30 . 2 (2019江西八所重点中学联考)2019 年 2 月 25 日， 第 11 届罗马尼亚数学大师赛(简称 RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无 一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第 15 名，总成绩排名第 6.在分量极重的国际数学奥 林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续 4 年没有拿到冠军了人们 不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”， 一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”
46、 成为社会讨论的热点 某重点高中培优班共 50 人， 现就这 50 人对“禁奥令”的态度进行问 卷调查，得到如下的列联表： 不应下“禁奥 令” 应下“禁奥 令” 总计 男生5 女生10 总计50 若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从 50 人中抽出 10 人进行重点调查， 知道 其中认为不应下“禁奥令”的同学共有 6 人 (1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为对下“禁奥令”的态度 与性别有关？说明你的理由 (2)现从这 10 人中抽出 2 名男生、2 名女生，记此 4 人中认为不应下“禁奥令”的人数 为，求的分布列和数学期望 参考公式与数据：K2 nadbc2 a
47、bcdacbd P(K2k0)0.1000.0500.0100.001 k02.7063.8416.63510.828 考点四 概率与统计的综合问题 例 4从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 200 件，测量这些产品的一项质量指 标值(记为 Z)，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)公司规定：当 Z95 时，产品为正品；当 Z95 时，产品为次品公司每生产一件这 种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元，记为生产一件这种产品的利 润，求随机变量的分布列和数学期望； (2)由频率分布直方图可以认为， Z 服从正态分布 N(， 2)， 其中近似为样本平均数 x ， 2近
48、似为样本方差 s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表) 利用该正态分布，求 P(87.8Z112.2)； 某客户从该公司购买了 500 件这种产品，记 X 表示这 500 件产品中该项质量指标值 位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用的结果，求 E(X) 附： 15012.2. 若 ZN(，2)，则 P(Z)0.682 7. P(2Z0) 的方差为 8，则 a 的值为_ 9(2019广东六校第一次联考)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定 节能减排的目标，先调查了用电量 y(单位：kWh)与气温 x(单位：)之间的关系，随机选取 了 4 天的用电量与当天气温，并制作
49、了如下对照表： x(单位：)1714101 y(单位：kWh)243438a 由表中数据得线性回归方程：y 2x60，则 a 的值为_ 三、解答题 10 (2019兰州市诊断考试)“一本书， 一碗面， 一条河， 一座桥”曾是兰州的城市名片， 而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片， 随着全民运动健康意识的提高， 马拉松 运动不仅在兰州， 而且在全国各大城市逐渐兴起， 参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加 为 此， 某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查 其中一项调查是调查人员从参与马 拉松运动的人中随机抽取 200 人， 对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计， 得到以下 统计表：
50、 平均每周进行 长跑训练天数 不大于 23 或 4不少于 5 人数3013040 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于 5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非 热烈参与者” (1)经调查，该市约有 2 万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下列 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不 超过 0.01 的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者非热烈参与者总计 男140 女55 总计 附：K2 nadbc2 abcdacbd(n 为样本容量) P(K2 k0) 0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.02
