1、第 1 页 共 5 页 概率概率 考试内容：考试内容： 随机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发 生的概率独立重复试验 考试要求：考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率 （4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生次的概率 11.11. 概率概率概率概率知识要点知识要点知识要点知识要点 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率
2、的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能 性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那 么事件 A 的概率 n m P(A) . 3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21 . 对立事件： 两个事件必有一个发生的互斥事件 叫对立事件. 例如：
3、 从 152 张扑克牌中任 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不 能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事 件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于 1：1)AP(A)AP(P(A). ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的 积，即 P(AB)=P(A)P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P
4、（AB）等于这两个事件发 生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽 一张设 A：“抽到老 K”；B：“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件看上去 A 与 B 有关系 很有可能不是独立事件，但 26 1 P(B)P(A), 2 1 52 26 P(B), 13 1 52 4 P(A).又事件 AB 表示“既 抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 26 1 52 2 B)P(A ，因此有 )BP(AP(B)P(A). 推广：若事件 n21 ,A,AA相互独立，则)P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21 . 第 2 页
5、 共 5 页 注意：i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与AB,与 B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多 个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. 独立重复试验： 若 n 次重复试验中， 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果， 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： knkk nn P)(1PC(k)P . 4. 对任
6、何两个事件都有)()()()(BAPBPAPBAP 第十二章第十二章- -概率与统计概率与统计 考试内容：考试内容： 抽样方法.总体分布的估计 总体期望值和方差的估计 考试要求：考试要求： （1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样 （2）会用样本频率分布估计总体分布 （3）会用样本估计总体期望值和方差 12.12. 概率与统计概率与统计知识要点知识要点知识要点知识要点 一、随机变量一、随机变量. . 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些
7、结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b 是常数.则ba 也是一个随机 变量.一般地，若是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则)(f也是随机变量.也就 是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量可能取的值为：, 21i xxx 取每一个值), 2 , 1( 1 ix的概率 ii pxP)(，则表称为随机变量的概率分布，简称的 分布列. 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p
8、 有性质, 2 , 1, 0 1 ip；1 21 i ppp. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 5 , 0即可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 k 次的概率是： knkk n qpCk)P( 其中pqnk1, 1 , 0 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B 第 3 页 共 5 页 （np），其中 n，p 为参数，并记p)nb(k;qpC knkk n . 二项分布的判断与应用. 二项分布，
9、实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且 每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小， 而每次抽取时又只有 两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验 时事件 A 发生记为 k A，事 A 不发生记为q)P(A,A kk ，那么)AAAAP(k)P( k1k21 .根 据相互独立事件的概率乘法分式：)P(AAP()A)P(AP(k)P( k1k21 ), 3
10、, 2 , 1( 1 kpq k 于是 得到随机变量的概率分布列. 123k Pqqp pq2 pq 1k 我们称服从几何分布，并记pqp)g(k, 1k ，其中3 , 2 , 1.1kpq 5. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取)Nnn(1件， 则其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为 )MNknM,0k(0 C CC k)P( n N kn MN k M . 分子是从 M 件次品中取 k 件， 从 N-M 件正品 中取 n-k 件的取法数，如果规定mr时0C r m ，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n. 超几何分布的另一种形式： 一批产品由 a 件
11、次品、 b 件正品组成， 今抽取 n 件 （1na+b） ， 则次品数的分布列为 n.,0,1,k C CC k)P( n ba kn b k a . 超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成， 不放回抽取 n 件时， 其中次品数服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ba 个产品编号，则抽取 n 次共 有 n ba)( 个 可 能 结 果 ， 等 可 能 ：k)( 含 knkk n baC 个 结 果 ， 故 n,0,1,2,k,) ba a (1) ba a (C b)(a baC k)P( knkk n n knkk n ，即)(
12、 ba a nB .我们先为 k 个次 品选定位置，共 k n C种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可 以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(k)P(，因此二项分布可作为超几 何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差二、数学期望与方差. . 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为 1 x 2 x i x P 1 p 2 p i p 第 4 页 共 5 页 则称 nnp xpxpxE 2211 为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数 学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. 随机变量ba 的数
13、学期望：baEbaEE)( 当0a时，bbE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. 当1a时，bEbE)(，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数 的和. 当0b时，aEaE)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的 乘积. 单点分布：ccE1其分布列为：cP ) 1(. 两点分布：ppqE10，其分布列为： （p + q = 1） 二项分布： npqp knk n kE knk )!( ! ! 其分布列为),(pnB.（P 为发生的概率） 几何分布： p E 1 其分布列为),(pkq.（P 为发生的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为), 2
14、 , 1()(kpxP kk 时，则称 nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()(为的方差. 显然0D，故.D为的 根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中 与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小 . 4.方差的性质. 随机变量ba 的方差DabaDD 2 )()(.（a、b 均为常数） 单点分布：0D其分布列为pP ) 1( 两点分布：pqD其分布列为：（p + q = 1） 二项分布：npqD 几何分布： 2 p q D 5. 期望与方差的关系. 如果E和E都存在，则EEE )( 设和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE)
15、(,)( 期望与方差的转化： 22 )(EED)()()(EEEEE（因为 E为一常数） 0EE. 三、正态分布三、正态分布. .（基本不列入考试范围基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于 x 轴上方，落在任一区间),ba内 的概率等于它与 x 轴.直线ax 与直线bx 所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为 图像的函数)(xf叫做的密度函数，由于“),(x” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为： 2 2 2 )( 2 1 )( x exf. 01 Pqp 01
16、 Pqp y x ab y=f(x) 第 5 页 共 5 页 （,Rx为常数， 且0） ， 称服从参数为,的正态分布， 用),( 2 N表示.)(xf 的表达式可简记为),( 2 N，它的密度曲线简称为正态曲线. 正态分布的期望与方差：若),( 2 N，则的期望与方差分别为： 2 ,DE. 正态曲线的性质. 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. 曲线关于直线x对称. 当x时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. 当x时，曲线上升；当x时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近. 当一定
17、时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为)( 2 1 )( 2 2 xex x ，则称 服从标准正态分布. 即) 1 , 0(N有)()(xPx，)(1)(xx求出，而 P（ab） 的计算则是)()()(abbaP. 注意：当标准正态分布的)(x的 X 取 0 时，有5 . 0)( x当)(x的 X 取大于 0 的数时，有 5 . 0)(x.比如5 . 00793. 0) 5 . 0 ( 则 5 . 0 必然小于 0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若),( 2 N则的
18、分布函数通 常用)(xF表示，且有) x (F(x)x)P( . 4.“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假 设里的变量服从正态分布),( 2 N.确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(. 做出判断：如果)3,3(a，接受统计假设. 如果)3,3(a，由于这是小 概率事件，就拒绝统计假设. “3”原则的应用：若随机变量服从正态分布),( 2 N则 落在)3,3(内的 概率为 99.7 亦即落在)3,3(之外的概率为 0.3，此为小概率事件，如果此事 件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）. x y a 标准正态分布曲线 S阴=0.5Sa=0.5+S S
