1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】下列说法正确的有 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平 面 若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直 平行于同一个平面的两条直线可能垂直 【例 2】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个 【例 3】已知在三棱锥ABCD中ACAD，BDBC，求证：ABCD A B C D E 【例 4】如图，已知三棱锥PABC，90ACB ，D 为
2、AB的中点，且PDB是正三角 形，PAPC 求证：PA面PBC；平面PAC平面ABC ? D ? P ? A ? B ? C 【例 5】 如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、 板块四.垂直关系的判断与证 明 【学而思高中数学讲义】 SC、SD分别于点E、F、G，求证：AESB，AGSD ? E ? B ? C ? F ? D ? G ? S ? A 【例 6】如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD， 60ABADACCDABC，PAABBC，E是PC的中点证明：面 ABE面PCD 【例 7】如图， 四面体PABC，PA面ABC，ABBC， 过A
3、作AEPB交PB于E， 过A作AFPC交PC于F求证：PCEF ? F ? E ? P ? A ? B ? C 【例 8】如图O是正方体下底面ABCD中心，B HD O，H为垂足求证：B H平 面AD C 【例 9】如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中 求证： 1 BD面 1 ABC 【学而思高中数学讲义】 ? A ? 1 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 10】在长方体 1111 ABCDABC D中，点E，F分别在 1 AA， 1 CC上且 1 BEAB， 1 BFBC，求证： 1 BD 面BEF 【例 11】在正方体 11
4、11 ABCDABC D中，P为 1 DD的中点，O为底面ABCD的中心 求 证： 1 BO面PAC 【例 12】在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，M，N分 别为PC，AB的中点 求证：MN平面PAD； 若45PDA ， 求证： MN 面PCD ? Q ? P ? D ? B ? C ? A ? M ? N 【例 13】已知平行六面体 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 且 11 60A ABA AD 求 证： 1 CCBD ? O ? A ? B ? C ? D ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 【学而思高中数学讲义】 【例 1
5、4】（2008 深圳高三联考）如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，当底面四边形 ABCD满足条件时，有 111 ACB D （注：填上你认为正确的一种条件 即可，不必考虑所有可能的情形） ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 15】如图，A、B、C、D是空间四点，在ABC中，2AB ，2ACBC， 等边ADB所在的平面以AB为轴可转动当ADB转动过程中，是否总有 ABCD？请证明你的结论 A B C D ? O 【例 16】在正方体 1111 ABCDABC D中，M是 1 AA的中点，问当点N位于AB上何处时， 1
6、 MNMC？ 【例 17】如图，直三棱柱 111 ABCABC中，1ACBC，90ACB， 1 2AA ， D是 11 AB的中点 求证 1 C D 平面 1 AB； 当点F在 1 BB上什么位置时，会使得 1 AB 平面 1 C DF？并证明你的结论 【学而思高中数学讲义】 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 18】（2000 全国，文 19） 如 图 已 知 平 行 六 面 体 1111 ABCDABC D的 底 面ABCD是 菱 形 ， 且 11 C CBC CDBCD 证明 1 C CBD； 当 1 CD CD 的值为多
7、少时，能使 1 AC 平面 1 C BD？请给出证明 ? 图 ? ?9-2-284 ? D ? 1 ? A ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 19】已知四面体ABCD， 若棱ABCD，求证 2222 ACBDADBC 若 2222 ACBDADBC，求证棱ABCD 【例 20】已知三棱锥PABC中，PC 底面ABC，ABBC，DF，分别为ACPC， 的中点，DEAP于E 求证：AP 平面BDE； 求证：平面BDE 平面BDF； 若:1:2AE EP ，求截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比 【例 21】（2009 扬州中学高三期末） 在四棱锥
8、PABCD中，90ABCACD ，60BACCAD ，PA 平面 ABCD，E为PD的中点，22PAAB 求四棱锥PABCD的体积V； 若F为PC的中点，求证PC 平面AEF 【例 22】（2003 京皖春） 如图所示，正四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长为2 2，侧棱长为4EF，分 别为棱ABBC，的中点，EFBDG 【学而思高中数学讲义】 求证：平面 1 B EF 平面 11 BDD B； 求点 1 D到平面 1 B EF的距离d； 求三棱锥 11 BEFD的体积V ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A
