1、第第 8 讲讲二项分布与正态分布二项分布与正态分布 一、选择题 1.(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概 率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随 后一天的空气质量为优良的概率是() A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45 解析记事件 A 表示“一天的空气质量为优良”， 事件 B 表示“随后一天的空 气质量为优良”， P(A)0.75， P(AB)0.6.由条件概率， 得 P(B|A)P（AB） P（A） 0.6 0.750.8. 答案A 2.(2017衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是() A.
2、1 8 B.3 8 C.5 8 D.7 8 解析三次均反面朝上的概率是 1 2 3 1 8， 所以至少一次正面朝上的概率是 1 1 8 7 8. 答案D 3.(2016青岛一模)设随机变量 X 服从正态分布 N(1，2)，则函数 f(x)x22x X 不存在零点的概率为() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析函数 f(x)x22xX 不存在零点，44X1，X N(1，2)，P(X1)1 2，故选 C. 答案C 4.(2017武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B， 系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为1 8和 p，若在任意时刻恰有一个系
3、 统不发生故障的概率为 9 40，则 p( ) A. 1 10 B. 2 15 C.1 6 D.1 5 解析由题意得1 8(1p) 11 8 p 9 40，p 2 15，故选 B. 答案B 5.(2016天津南开调研)一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每 次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12)等于() A.C1012 3 8 10 5 8 2 B.C912 3 8 9 5 8 23 8 C.C911 5 8 2 3 8 2 D.C911 3 8 10 5 8 2 解析由题意知第 12 次取到红球，前 11 次中恰有
4、9 次红球 2 次白球，由于每 次取到红球的概率为3 8， 所以 P(X12)C911 3 8 9 5 8 2 3 8. 答案D 二、填空题 6.有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随 机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_. 解析设种子发芽为事件 A，种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗). 依题意 P(B|A)0.8，P(A)0.9. 根据条件概率公式 P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为 幼苗的概率为 0.72. 答案0.72 7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800， 502)的随机
5、变量， 记一天中从甲地去乙地的旅客人数 800X900 的概率为 p0，则 p0 _. 解析由 XN(800，502)，知800，50， 又 P(700X900)0.954 4， 则 P(800X900)1 20.954 40.477 2. 答案0.477 2 8.设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若 P(X1)5 9，则 P(Y1) _. 解析XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C02(1p)25 9，解得 p 1 3. 又 YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C03(1p)319 27. 答案 19 27 三、解答题 9.(2015湖南卷)某商场举行有奖促销活动
6、，顾客购买一定金额的商品后即可抽 奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白 球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一 等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列. 解(1)记事件 A1为“从甲箱中摸出的 1 个球是红球” ， A2为“从乙箱中摸出的 1 个球是红球”， B 为“顾客抽奖 1 次能获奖”， 则B表示“顾客抽奖 1 次没有获奖”. 由题意 A1与 A2相互
7、独立，则A1与A2相互独立，且BA1A2， 因为 P(A1) 4 10 2 5，P(A 2) 5 10 1 2， 所以 P(B)P(A1A2) 12 5 11 2 3 10， 故所求事件的概率 P(B)1P(B)1 3 10 7 10. (2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件 C， 由 P(C)P(A1A2) P(A1)P(A2)1 5， 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，则 XB 3，1 5 ， 于是 P(X0)C03 1 5 0 4 5 3 64 125， P(X1)C13 1 5 1 4 5 2 48 125， P(X2)C23 1 5 2 4 5 1 12 125， P(X
8、3)C33 1 5 3 4 5 0 1 125. 故 X 的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、 复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两 关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是 0.5，0.6，0.75， 能通过文考关的概率分别是 0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通 过政审关，若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的
9、分布列. 解(1)设 A，B，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率 P P(ABC)P(ABC)P(ABC)0.5(10.6)(10.75)(1 0.5)0.6(10.75)(10.5)(10.6)0.750.275. (2)甲被录取的概率为 P 甲0.50.60.3，同理 P乙0.60.50.3，P丙 0.750.40.3. 甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为 0.3，故可看成是独立重复试验，即 XB(3，0.3)，X 的可能取值为 0，1，2，3，其中 P(Xk)Ck3(0.3)k(10.3)3 k. 故 P(X0)C030.30(10.3)30.343， P(X1)C130
10、.3(10.3)20.441， P(X2)C230.32(10.3)0.189， P(X3)C330.330.027， 故 X 的分布列为 X0123 P0.3430.4410.1890.027 11.(2016郑州二模)先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别 为 x，y，设事件 A 为“xy 为偶数”，事件 B 为“xy”，则概率 P(B|A) () A.1 2 B.1 4 C.1 3 D.2 3 解析若 xy 为偶数， 则 x， y 两数均为奇数或均为偶数.故 P(A)233 66 1 2， 又 A，B 同时发生，基本事件一共有 233612 个，P(AB) 12 66 1
11、3， P(B|A)P（AB） P（A） 1 3 1 2 2 3. 答案D 12.(2017长沙模拟)排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜 的概率都为2 3，前 2 局中乙队以 20 领先，则最后乙队获胜的概率是( ) A.4 9 B. 8 27 C.19 27 D.40 81 解析乙队 30 获胜的概率为1 3， 乙队 31 获胜的概率为 2 3 1 3 2 9， 乙队 32 获胜的概率为 2 3 2 1 3 4 27.最后乙队获胜的概率为 P 1 3 2 9 4 27 19 27，故选 C. 答案C 13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成， 元件 1 或
12、元件 2 正常工 作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位： 小时)均服从正态分布 N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那 么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为_. 解析设元件 1，2，3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A，B，C， 显然 P(A)P(B)P(C)1 2，该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(AB ABAB)C， 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 8. 答案 3 8 14.(2016山东卷节选)甲、 乙两人组成
13、“星队”参加猜成语活动， 每轮活动由甲、 乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得 3 分；如 果只有一人猜对，则“星对”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星对”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是3 4，乙每轮猜对的概率是 2 3；每轮活动中甲、乙猜 对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列. 解(1)记事件 A：“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”， 记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”， 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”.
14、 由题意，EABCDABCDABCDABCDABCD. 由事件的独立性与互斥性，得 P(E)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD)P(ABCD) P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)3 4 2 3 3 4 2 32 1 4 2 3 3 4 2 3 3 4 1 3 3 4 2 3 2 3. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为2 3. (2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 P(X0)1 4
15、1 3 1 4 1 3 1 144， P(X1)2 3 4 1 3 1 4 1 3 1 4 2 3 1 4 1 3 10 144 5 72， P(X2)3 4 1 3 3 4 1 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 4 1 3 1 4 2 3 1 4 2 3 25 144， P(X3)3 4 2 3 1 4 1 3 1 4 1 3 3 4 2 3 12 144 1 12， P(X4)2 3 4 2 3 3 4 1 3 3 4 2 3 1 4 2 3 60 144 5 12， P(X6)3 4 2 3 3 4 2 3 36 144 1 4. 可得随机变量 X 的分布列为 X012346 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4
