1、高考专题突破六高考专题突破六高考中的概率与统计问题高考中的概率与统计问题 【考点自测】 1(2018合肥模拟)某小区有 1 000 户，各户每月的用电量近似服从正态分布 N(300,102)，则 用电量在 320 度以上的户数约为() (参考数据： 若随机变量服从正态分布 N(， 2)， 则 P()68.26%， P(2 2)95.44%，P(3320)1 21P(2803.841 可认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%. 题型一题型一古典概型与几何概型古典概型与几何概型 例 1 (1)(2017榆林二模)若函数 f(x) ex，0 x1， ln xe，1xe， 在区间0，e上随机
2、取一个实数 x，则 f(x)的值不小于常数 e 的概率是() A.1 e B11 e C. e 1e D. 1 1e 答案B 解析当 0 x1 时， f(x)0，即 a2b2.由 题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值 满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率为6 9 2 3. (2)(2017青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方
3、形拼成一个边长为 2 的 大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则 飞镖落在小正方形内的概率是_ 答案 2 3 2 解析易知小正方形的边长为 31， 故小正方形的面积为 S1( 31)242 3， 又大正方形的面积为 S224，故飞镖落在小正方形内的概率 PS1 S 42 3 4 2 3 2 . 题型二题型二求离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量的均值与方差 例 2 (2017南京模拟) 最强大脑 是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目 该 节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克某校为了增强学生的记忆力 和辨识力也组织了
4、一场类似最强大脑的 PK 赛，A，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队 各派一名选手 PK，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分假 设每局比赛两队选手获胜的概率均为 0.5，且各局比赛结果相互独立 (1)求比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率； (2)求比赛结束时 B 队得分 X 的分布列和均值 解(1)记第 i 局 A 队胜为事件 Ai(i1,2,3,4)， 比赛结束时 A 队得分高于 B 队得分的事件记为 C， 则 P(C)P(A1A2 A 3A4)P(A3)1P( A 1 A 2 A 4)1 2. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,
5、4,5. 则 P(X0)P(A1A2A3A4) 1 16， P(X1)C13 1 2 43 16， P(X2)P(A1A2 A 3A4)C23 1 2 41 4， P(X4)C23 1 2 43 16， P(X5) 1 16， P(X3)1 1 16 3 16 1 4 1 16 3 16 1 4. X 的分布列为 X012345 P 1 16 3 16 1 4 1 4 3 16 1 16 E(X)0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 16 5 2. 思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量 的分布是特殊类型，还是一般类型，如两
6、点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型； 二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机 变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练 2受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年现从该 厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下： 品牌甲乙 首次出现故障时间 x(年)0 x11202 轿车数量(辆)2345545 每辆利润(万元)1231.82.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生
7、产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的 利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当， 由于资金限制， 只能生产其中一种品牌的轿车 若 从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由 解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A)23 50 1 10. (2)依题意得，X1的分布列为 X1123 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列为 X21.82.9 P 1 10 9 10 (3)由(
8、2)得 E(X1)1 1 252 3 503 9 10 143 50 2.86(万元)， E(X2)1.8 1 102.9 9 102.79(万元) 因为 E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车 题型三题型三概率与统计的综合应用概率与统计的综合应用 例 3 (2018济南模拟)2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日， 第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举行， 某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的 40 名大学生的成绩分组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)， 第 5 组95,10
9、0，得到的频率分布直方图如图所示： (1)分别求出成绩在第 3,4,5 组的人数； (2)现决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 人进行面试 已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲或乙进入第二轮面试的概率； 若从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试， 设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试，求 X 的分布列和均值 解(1)由频率分布直方图知： 第 3 组的人数为 50.064012. 第 4 组的人数为 50.04408. 第 5 组的人数为 50.02404. (2)利用分层抽样，在第 3 组、第 4 组、第 5 组中分别抽取 3 人、2 人、1
10、 人 设“甲或乙进入第二轮面试”为事件 A，则 P(A)1C 3 10 C312 5 11， 所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 5 11. X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X0)C 2 4 C26 2 5，P(X1) C12C14 C26 8 15， P(X2)C 2 2 C26 1 15. 所以 X 的分布列为 X012 P 2 5 8 15 1 15 E(X)02 51 8 152 1 15 10 15 2 3. 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体， 已成为近几年高考的一大亮点和热 点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练
11、3经销商经销某种农产品， 在一个销售季度内， 每售出 1 t 该产品获得利润 500 元， 未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图， 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品 以X(单位：t,100X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润 (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例
12、如：若需求量 X100,110)，则取 X105，且 X 105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的均值 解(1)当 X100,130)时， T500X300(130X)800X39 000. 当 X130,150时，T50013065 000. 所以 T 800X39 000，100X5.024， 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下能认为科类的选择与性别有关 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率 计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对 应起来，只有这样才能有效地解决问题
13、跟踪训练 4电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” (1)根据已知条件完成下面的22列联表， 并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计 男 女1055 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每 次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结 果是相互独立的，求 X 的
14、分布列、均值 E(X)和方差 D(X) 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0)0.100.050.01 k02.7063.8416.635 解(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为 100(100.020100.005)25， “非体育迷”人数为 75，从而 22 列联表如下： 非体育迷体育迷合计 男301545 女451055 合计7525100 将 22 列联表的数据代入公式计算，得 k nadbc2 abcdacbd 10030104515 2 45557525 100 33 3.030. 因为 2.7063.0303.841， 所以有 90%的把握认为“体
15、育迷”与性别有关 (2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取 一名“体育迷”的概率为1 4.由题意，XB 3，1 4 ，从而 X 的分布列为 X0123 P 27 64 27 64 9 64 1 64 E(X)np31 4 3 4， D(X)np(1p)31 4 3 4 9 16. 1在区间 6， 2 上随机取一个数 x，则 sin xcos x1， 2的概率是() A.1 2 B.3 4 C.3 8 D.5 8 答案B 解析因为 x 6， 2 ，所以 x 4 12， 3 4 ， 由 sin xcos x 2sin x 4 1， 2， 得 2 2
16、 sin x 4 1，所以 x 0， 2 ， 故要求的概率为 20 2 6 3 4. 2从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形 边长的概率为_ 答案 3 5 解析取 2 个点的所有情况为 10 种， 所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种， 概率为 6 10 3 5. 3(2018重庆检测)在不等式组 xy10， xy20， y0 所表示的平面区域内随机地取一点 P，则 点 P 恰好落在第二象限的概率为_ 答案 2 9 解析画出不等式组 xy10， xy20， y0 表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为 SABC 1 23 3 2 9
17、 4，S AOD1 211 1 2，所以点 P 恰好落在第二象限的概率为 SAOD SABC 1 2 9 4 2 9. 4(2017贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男 生中随机抽取 50 人， 从女生中随机抽取 70 人参加消防知识测试， 统计数据得到如下列联表： 优秀非优秀总计 男生153550 女生304070 总计4575120 (1)试判断能否有 90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？ (2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出 6 人组成宣传小组现从这 6 人中随机抽取 2 人到校外宣传，
18、求到校外宣传的同学中男生人数 X 的分布列和均值 附：K2 nadbc2 abcdacbd. P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.010 k01.3232.0722.7063.8415.0246.635 解(1)因为 k12015403530 2 50704575 2.057， 且 2.05783838790a99， 得 a8， 有 8 种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观 众的平均人数， 所求概率为 8 10 4 5. (2)由表中数据，计算得 x 35， y 3.5， b 4 i1xiyi4 xy 4 i1x 2 i4 x2 5
19、254353.5 5 4004352 7 100， a y b x 3.5 7 10035 21 20. y 7 100 x 21 20. 当 x55 时，y 4.9. 即预测年龄为 55 岁的观众周均学习成语知识的时间为 4.9 小时 6为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近 50 多年气象 数据资料的统计分析，发现 8 月份是该市雷电天气高峰期，在 31 天中平均发生雷电 14.57 天 (如图所示)如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互 独立 (1)求在该市运动会开幕(8 月 12 日)后的前 3 天比赛中， 恰好有 2 天发生雷
20、电天气的概率(精确 到 0.01)； (2)设运动会期间(8 月 12 日至 23 日，共 12 天)，发生雷电天气的天数为 X，求 X 的均值和方 差 解(1)设 8 月份一天中发生雷电天气的概率为 p，由已知，得 p14.57 31 0.47.因为每一天发 生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前 3 天比赛中，恰好有 2 天 发生雷电天气的概率 PC230.472(10.47)0.351 2310.35. (2)由题意，知 XB(12,0.47) 所以 X 的均值 E(X)120.475.64， X 的方差 D(X)120.47(10.47)2.989 2. 7将某质地
21、均匀的正十二面体玩具的十二个面上分别标记数字 1,2,3，12.抛掷该玩具一 次，记事件 A：向上的面标记的数字是完全平方数(即能写成整数的平方形式的数，如 932,9 是完全平方数) (1)甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定： 甲抛掷该玩具一次，若事件 A 发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分；若事件 A 没有 发生，则甲得 0 分； 乙抛掷该玩具一次，将向上的一面对应数字作为乙的得分 ()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的均值； ()甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率； (2)抛掷该玩具一次，记事件 B：向上一面的点数不超过 k(1k12)若事件 A 与 B
22、 相互独 立，试求出所有的整数 k. 解(1)设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 X，Y. ()易得 X，Y 的分布列分别为 点数149其他 X624540 P 1 12 1 12 1 12 9 12 点数1212 Y1212 P 1 12 1 12 1 12 故 E(X)7，E(Y)13 2 . ()PP(X6,1Y6)P(X24)P(X54) 1 12 6 12 1 12 1 12 5 24. (2)易知抛掷该玩具一次，基本事件总数为 12，事件 A 包含 3 个基本事件(1 点，4 点，9 点) 记 n(AB)，n(B)分别表示事件 AB，B 包含的基本事件数，由 P(AB)P(A)P(B)及古典概型， 得nAB 12 3 12 nB 12 ，所以 n(B)4n(AB)， 故 B 事件包含的基本事件数必为 4 的倍数， 即 k4,8,12， 当 k4 时，n(B)4，AB1,4，n(AB)2，不符合， 当 k8 时，n(B)8，AB1,4，n(AB)2，符合， 当 k12 时，n(B)12，AB1,4,9，n(AB)3，符合， 故 k 的所有可能值为 8 或 12.
