1、第第 7 讲讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直 一、选择题 1.若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面的法向量为 n(2，0，4)， 则() A.lB.l C.lD.l 与相交 解析n2a，a 与平面的法向量平行，l. 答案B 2.若AB CD CE ，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( ) A.相交B.平行 C.在平面内D.平行或在平面内 解析AB CD CE ，AB， CD ，CE 共面. 则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案D 3.已知平面内有一点 M(1，1，2)，平面的一个法向量为 n(6，3，6
2、)， 则下列点 P 中，在平面内的是() A.P(2，3，3)B.P(2，0，1) C.P(4，4，0)D.P(3，3，4) 解析逐一验证法，对于选项 A，MP (1，4，1)， MP n61260，MP n， 点 P 在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内. 答案A 4.(2017西安月考)如图，F 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CD 的中点.E 是 BB1上一点，若 D1FDE，则有() A.B1EEB B.B1E2EB C.B1E1 2EB D.E 与 B 重合 解析分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形的 边长为 2，则 D(0，0，0)，
3、F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设 E(2，2，z)，D1F (0， 1，2)，DE (2，2，z)，D1F DE 02122z0，z1，B1E EB. 答案A 5.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相 等，则： A1MD1P； A1MB1Q； A1M平面 DCC1D1； A1M平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为() A.1B.2C.3D.4 解析A1M A1A AM A1A 1 2AB ，D1P D1D DP A1A 1 2AB ，A1M D1P ，所以 A1MD1P，由线面平行的判定定
4、理可知，A1M面 DCC1D1，A1M 面 D1PQB1.正确. 答案C 二、填空题 6.(2017武汉调研)已知平面内的三点 A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)， 平面的一个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关 系是_. 解析设平面的法向量为 m(x，y，z)， 由 mAB 0，得 x0yz0yz， 由 mAC 0，得 xz0 xz，取 x1， m(1，1，1)，mn，mn，. 答案 7.(2016青岛模拟)已知AB (1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x 1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 xy_. 解析由条件得 352z0，
5、x15y60， 3（x1）y3z0， 解得 x40 7 ，y15 7 ，z4， xy40 7 15 7 25 7 . 答案 25 7 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)， AD (4，2，0)，AP (1，2，1).对于结论：APAB；APAD；AP 是平面 ABCD 的法向量；AP BD .其中正确的序号是_. 解析AB AP0， AD AP 0， ABAP，ADAP，则正确.又AB 与AD 不平行， AP 是平面 ABCD 的法向量，则正确. 由于BD AD AB (2，3，4)，AP(1，2，1)， BD 与AP 不平行，故错误. 答案 三
6、、解答题 9.如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB1 2PD. 证明：平面 PQC平面 DCQ. 证明如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA，DP，DC 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 依题意有 Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则DQ (1，1，0)，DC (0，0，1)，PQ (1，1，0). PQ DQ 0， PQ DC 0. 即 PQDQ，PQDC， 又 DQDCD，PQ平面 DCQ， 又 PQ平面 PQC，平面 PQC平面 DCQ. 10.(2017郑州调研)如图所
7、示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形， PACD，PA1，PD 2，E 为 PD 上一点，PE2ED. (1)求证：PA平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的 位置，并证明；若不存在，说明理由. (1)证明PAAD1，PD 2， PA2AD2PD2，即 PAAD. 又 PACD，ADCDD， PA平面 ABCD. (2)解以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，P(0，0，1)， E 0，2 3，
8、1 3 ，AC (1，1，0)， AE 0，2 3， 1 3 .设平面 AEC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAC 0， nAE 0，即 xy0， 2yz0， 令 y1，则 n(1，1，2). 假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CF CP(01)， 使得 BF平面 AEC，则BF n0. 又BF BCCF(0，1，0)(，)(，1，)， BF n120，1 2， 存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点. 11.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为 () A.(1，1
9、，1)B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 解析设AC与BD相交于 O点， 连接 OE， 由AM平面BDE， 且 AM平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDEOE，AM EO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0，0，1)，F( 2，2，1). 由中点坐标公式，知点 M 的坐标 2 2 ， 2 2 ，1 . 答案C 12.(2017成都调研)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱 长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN 2a 3 ，则 MN
10、与平面 BB1C1C 的位置关系是() A.相交B.平行C.垂直D.不能确定 解析分别以 C1B1，C1D1，C1C 所在直线为 x，y，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图，A1MAN 2 3 a， 则 M a，2 3a， a 3 ，N 2a 3 ，2a 3 ，a ， MN a 3，0， 2 3a. 又 C1(0，0，0)，D1(0，a，0)， C1D1 (0，a，0)，MN C1D1 0，MN C1D1 . C1D1 是平面 BB1C1C 的法向量，且 MN平面 BB1C1C，MN平面 BB1C1C. 答案B 13.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，
11、DD1上的点，如果 B1E平面 ABF，则 CE 与 DF 的和的 值为_. 解析以 D1A1，D1C1，D1D 分别为 x，y，z 轴建立空间直角 坐标系，设 CEx，DFy， 则易知 E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)， B1E (x1，0，1)，FB (1，1，y)， 由于 B1E平面 ABF， 所以FB B1E (1，1，y)(x1，0，1)0 xy1. 答案1 14.(2014湖北卷改编)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F， M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB
12、1 上移动，且 DPBQ(02). (1)当1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ； (2)是否存在，使平面 EFPQ平面 PQMN？若存在，求出实数的值；若不存 在，说明理由. (1)证明以 D 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得 B(2， 2， 0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，M(2，1，2)，N(1， 0，2)，BC1 (2，0，2)，FP (1，0，)，FE(1，1，0)，MN (1， 1，0)，NP (1，0，2). 当1 时，FP (1，0，1)， 因为BC1 (2，0，2)， 所以BC1 2FP ， 即 BC1FP. 而 FP平面 EFPQ， 且 BC1平面 EFPQ， 故直线 BC1平面 EFPQ. (2)解设平面 EFPQ 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则由 FE n0， FP n0，可得 xy0， xz0.于是可取 n(，1). 同理可得平面 PQMN 的一个法向量为 m(2，2，1). 则 mn(2，2，1)(，1)0， 即(2)(2)10，解得1 2 2 . 故存在1 2 2 ，使平面 EFPQ平面 PQMN.
