1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x cos2x1，sin x cos xtan x.2.能利用单位圆中 的三角函数线推导出 2，的正弦、余 弦、正切的诱导公式. 考查利用同角三角函数的基本关系、 诱导公式解 决条件求值问题， 常与三角恒等变换相结合起到 化简三角函数关系的作用， 强调利用三角公式进 行恒等变形的技能以及基本的运算能力 题型为 选择题和填空题，低档难度. 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan ( 2k，kZ) 2
2、三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角2k(kZ) 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 知识拓展 1同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin cos ； sin tan cos . 2诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名 称的变化 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若，为锐角，则 sin2cos21.() (
3、2)若R，则 tan sin cos 恒成立( ) (3)sin()sin 成立的条件是为锐角() (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin 1 3.( ) 题组二教材改编 2P19 例 6若 sin 5 5 ， 2，则 tan . 答案1 2 解析 2， cos 1sin22 5 5 ， tan sin cos 1 2. 3P22B 组 T3已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为 答案3 解析原式tan 1 tan 1 21 213. 4P28T7化简 cos 2 sin 5 2 sin()cos(2)的结果为 答案sin2 解析原式sin cos (sin )c
4、os sin 2. 题组三易错自纠 5(2017贵阳模拟)已知 sin cos 1 8，且 5 4 sin ， cos sin 0. 又(cos sin )212sin cos 121 8 3 4， cos sin 3 2 . 6已知 sin()log81 4，且 2，0，则 tan(2)的值为() A2 5 5 B.2 5 5 C2 5 5 D. 5 2 答案B 解析sin()sin log81 4 2 3， 又 2，0，得 cos 1sin2 5 3 ， tan(2)tan()tan sin cos 2 5 5 . 7(2017枣庄模拟)已知 cos 1 5， 20，则 cos 2 tan
5、costan 的值为 答案 6 12 解析 20， sin 1 1 5 22 5 6， tan 2 6. 则 cos 2 tancostan sin tan cos tan 1 tan 1 2 6 6 12. 题型一题型一同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用 1(2017长沙模拟)已知是第四象限角，sin 12 13，则 tan 等于( ) A 5 13 B. 5 13 C12 5 D.12 5 答案C 解析因为是第四象限角，sin 12 13， 所以 cos 1sin2 5 13， 故 tan sin cos 12 5 . 2(2017安徽江南十校联考)已知 tan 3 4，则
6、sin (sin cos )等于( ) A.21 25 B.25 21 C.4 5 D.5 4 答案A 解析sin (sin cos )sin2sin cos sin 2sin cos sin2cos2 tan 2tan tan21 ， 将 tan 3 4代入， 得原式 3 4 2 3 4 3 4 21 21 25. 3(2018贵州七校联考)已知 sin cos 2，则 tan cos sin 的值为( ) A1B2 C.1 2 D2 答案D 解析sin cos 2，(sin cos )22， sin cos 1 2. tan cos sin sin cos cos sin 1 sin co
7、s 2. 思维升华 (1)利用 sin2cos21 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定 符号；利用sin cos tan 可以实现角的弦切互化 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子， 利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二 (3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 题型二题型二诱导公式的应用诱导公式的应用 典例 (1)(2017聊城模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 3x y0 上，则 sin 3 2 2co
8、s sin 2sin . 答案 3 2 解析由已知得 tan 3， sin 3 2 2cos sin 2sin cos 2cos cos sin 3 1tan 3 2. (2)已知 cos 6a，则 cos 5 6 sin 2 3 的值是 答案0 解析cos 5 6 cos 5 6 a， sin 2 3 sin 2 6 a， cos 5 6 sin 2 3 aa0. 引申探究 若本例(1)中原题条件不变，求 cos 2sin cos 11 2 sin 9 2 的值 解原式sin sin sin cos 2tan tan 13. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角
9、为终了 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 (2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算 跟踪训练(1)(2018太原质检)化简：tancos2sin 3 2 cos3sin3 . 答案1 解析原式tan cos sin 2 2 cos3sin3 tan cos sin 2 cos sin tan cos cos cos sin tan cos sin sin cos cos sin 1. (2)已知角终边上一点 P(4,3)，则 cos 2sin cos 11 2 sin 9 2 的值为 答案3 4 解析原式sin sin sin cos
10、tan ， 根据三角函数的定义得 tan 3 4. 题型三题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 典例 (1)(2017福建四地六校联考)已知为锐角，且 2tan()3cos 250，tan() 6sin()10，则 sin 的值是() A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 答案C 解析由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得 tan 3，又为锐角， 故 sin 3 10 10 . (2)已知x0，sin(x)cos x1 5. 求 sin xcos x 的值； 求sin 2x2sin 2x
11、1tan x 的值 解由已知，得 sin xcos x1 5， 两边平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， 整理得 2sin xcos x24 25. (sin xcos x)212sin xcos x49 25， 由x0 知，sin x0， 又 sin xcos x12 250，sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5. sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos xsin x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175. 引申探究 本例(2)中
12、若将条件“x0”改为“0 x”，求 sin xcos x 的值 解若 0 x0，cos x0，故 sin xcos x7 5. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响 跟踪训练(1)(2018唐山模拟)已知角的终边在第三象限，tan 22 2，则 sin2sin(3 )cos(2) 2cos2等于() A 2 6 B. 2 6 C2 3 D.2 3 答案D 解析由 tan 222可得 tan 2 2tan 1tan22 2， 即2tan2tan 20， 解得 tan 2或 tan
13、 2 2 . 又角的终边在第三象限，故 tan 2， 故 sin2sin(3)cos(2) 2cos2 sin2sin cos 2cos2 sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 tan 2tan 2 tan21 2 2 2 2 221 2 3. (2)(2017西安模拟)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 017)的值为 () A1B1C3D3 答案D 解析f(4)asin(4)bcos(4) asin bcos 3， f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017) asin()bcos() asin bcos 3. 分类
14、讨论思想在三角函数中的应用 思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方 结果进行讨论 (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论 典例 (1)已知 Asink sin cosk cos (kZ)，则 A 的值构成的集合是() A1，1,2，2B1,1 C2，2D1，1,0,2，2 (2)已知 sin 2 5 5 ，则 tan() sin 5 2 cos 5 2 . 答案(1)C(2)5 2或 5 2 解析(1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2； 当 k 为奇数时，Asin sin cos cos 2. 所以 A
15、的值构成的集合是2，2 (2)sin 2 5 5 0， 为第一或第二象限角 tan() sin 5 2 cos 5 2 tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos . 当是第一象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2； 当是第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2. 综合知，原式5 2或 5 2. 1(2018福州质检)已知直线 2xy30 的倾斜角为，则sin cos sin cos 的值是( ) A3B2 C.1 3 D3 答案C 解析由已知得 tan 2， sin cos sin co
16、s tan 1 tan 1 21 21 1 3. 2若 tan 1 2，则 sin 4cos4的值为( ) A1 5 B.1 5 C.3 5 D3 5 答案D 解析tan 1 2，sin 4cos4(sin2cos2)(sin2cos2) sin 2cos2 cos2sin2 tan21 1tan2 3 5， 故选 D. 3(2017厦门模拟)已知 cos 31a，则 sin 239tan 149的值是() A.1a 2 a B. 1a2 C.a 21 a D 1a2 答案B 解析sin 239tan 149sin(27031)tan(18031)cos 31(tan 31) sin 31 1
17、a2. 4若 2，则12sinsin 3 2 等于() Asin cos Bcos sin C(sin cos )Dsin cos 答案A 解析因为12sinsin 3 2 12sin cos sin cos 2 |sin cos |， 又 2，所以 sin cos 0， 所以原式sin cos .故选 A. 5(2017广州二测)cos 121 3，则 sin 5 12等于() A.1 3 B.2 2 3 C1 3 D2 2 3 答案A 解析sin 5 12sin 2 12 cos 121 3. 6(2017孝感模拟)已知 tan 3，则12sin cos sin2cos2 的值是() A.
18、1 2 B2C1 2 D2 答案B 解析原式sin 2cos22sin cos sin2cos2 tan 22tan 1 tan21 961 91 2. 7(2018菏泽检测)已知 sin 23 5， 0， 2 ，则 sin()等于() A.3 5 B3 5 C.4 5 D4 5 答案D 解析由已知 sin 23 5，得 cos 3 5， 0， 2 ，sin 4 5， sin()sin 4 5. 8若角的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1cos2的值为( ) A3B3 C1D1 答案B 解析由角的终边落在第三象限， 得 sin 0，cos 0， 故原式 cos |cos |
19、 2sin |sin | cos cos 2sin sin 123. 9在ABC 中，若 tan A 2 3 ，则 sin A. 答案 22 11 解析因为 tan A 2 3 0，所以 A 为锐角， 由 tan Asin A cos A 2 3 以及 sin2Acos2A1， 可求得 sin A 22 11 . 10已知为钝角，sin 43 4，则 sin 4. 答案 7 4 解析因为为钝角，所以 cos 4 7 4 ， 所以 sin 4cos 2 4 cos 4 7 4 . 11(2018唐山检测)sin 4 3cos 5 6tan 4 3的值是 答案3 3 4 解析原式sin 3 cos
20、 6 tan 3 sin 3 cos 6 tan 3 3 2 3 2 ( 3)3 3 4 . 12(2018石家庄模拟)已知 kZ，化简：sinkcosk1 sink1cosk . 答案1 解析当 k2n(nZ)时， 原式sin2ncos2n1 sin2n1cos2n sincos sincos sin cos sin cos 1； 当 k2n1(nZ)时， 原式sin2n1cos2n11 sin2n11cos2n1 sincos sin cos sin cos sin cos 1. 综上，原式1. 13若 sin ，cos 是方程 4x22mxm0 的两根，则 m 的值为() A1 5B1
21、5 C1 5D1 5 答案B 解析由题意知 sin cos m 2，sin cos m 4， 又(sin cos )212sin cos ， m 2 4 1m 2 ， 解得 m1 5，又4m216m0， m0 或 m4，m1 5. 14已知为第二象限角，则 cos 1tan2sin 1 1 tan2 . 答案0 解析原式cos sin2cos2 cos2 sin sin2cos2 sin2 cos 1 |cos |sin 1 |sin |， 因为是第二象限角， 所以 sin 0，cos 0， 所以 cos 1 |cos |sin 1 |sin |110， 即原式等于 0. 15若 sin 61
22、 3，则 cos 2 3 2 等于() A7 9 B1 3 C.1 3 D.7 9 答案A 解析 3 6 2， sin 6sin 2 3 cos 31 3. 则 cos 2 3 2 2cos2 317 9. 16 (2018安徽六校联考)是否存在 2， 2 ， (0， )， 使等式 sin(3) 2cos 2， 3cos() 2cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由 解假设存在角，满足条件， 则由已知条件可得 sin 2sin ， 3cos 2cos ， 由22，得 sin23cos22. sin21 2，sin 2 2 . 2， 2 ， 4. 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又(0，)， 6，此时式成立； 当 4时，由式知 cos 3 2 ， 又(0，)， 6，此时式不成立，故舍去 存在 4， 6满足条件
