1、2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 最新考纲考情考向分析 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判 断、应用简单函数的周期性. 以理解函数的奇偶性、 会用函数的奇偶性 为主，常与函数的单调性、周期性交汇命 题，加强函数与方程思想、转化与化归思 想的应用意识， 题型以选择、 填空题为主， 中等偏上难度. 1函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数
2、 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 知识拓展 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反
3、的单 调性 (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点() (2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称() (3)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数(
4、) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件() (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期() 题组二教材改编 2P39A 组 T6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x(1x)，则 f(1) _. 答案2 解析f(1)122，又 f(x)为奇函数， f(1)f(1)2. 3P45B 组 T4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x1， 则 f 3 2 _. 答案1 解析f 3 2 f 1 2 4 1 2 221. 4P39A 组 T6设奇函数 f(x)
5、的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不 等式 f(x)0 的解集为_ 答案(2,0)(2,5 解析由图象可知，当 0 x2 时，f(x)0；当 2x5 时，f(x)0，又 f(x)是奇函数， 当2x0 时，f(x)0，当5x0. 综上，f(x)0 的解集为(2,0)(2,5 题组三易错自纠 5已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是() A1 3 B.1 3 C1 2 D.1 2 答案B 解析依题意得 f(x)f(x)，b0，又 a12a， a1 3，ab 1 3，故选 B. 6偶函数 yf(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)3
6、，则 f(1)_. 答案3 解析f(x)为偶函数，f(1)f(1) 又 f(x)的图象关于直线 x2 对称， f(1)f(3)f(1)3. 题型一题型一判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 典例 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x)lg1x 2 |x2|2； (3)f(x) x2x，x0， x2x，x0. 解(1)由 3x20， x230， 得 x23，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， f(x) 3x2 x230. f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由 1x20， |x2|2， 得定义域为(1
7、,0)(0,1)，关于原点对称 x20，|x2|2x，f(x)lg1x 2 x . 又f(x)lg1x 2 x lg1x 2 x f(x)， 函数 f(x)为奇函数 (3)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)， 函数 f(x)为奇函数 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断 f(x)与
8、f(x)是否具有等量关系 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x) f(x)0(偶函数)是否成立 跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() Ayxsin 2xByx2cos x Cy2x1 2x Dyx2sin x 答案D 解析对于 A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数； 对于 B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数； 对于 C，f(x)2 x1 2 x2 x1 2xf(x)，为偶函数； 对于 D，yx2sin x 既不是偶函数也不是奇函数， 故选 D. (2)
9、函数 f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0 且 a1)，则函数 F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x) g(x)的奇偶性是() AF(x)是奇函数，G(x)是奇函数 BF(x)是偶函数，G(x)是奇函数 CF(x)是偶函数，G(x)是偶函数 DF(x)是奇函数，G(x)是偶函数 答案B 解析F(x)，G(x)定义域均为(2,2)， 由已知 F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)， G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)， F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 题型二题型二函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用 1(20
10、17西安一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)2，则 f(4)f(5) 的值为() A2B1C1D2 答案A 解析f(x1)为偶函数， f(x1)f(x1)，则 f(x)f(x2)， 又 yf(x)为奇函数，则 f(x)f(x)f(x2)，且 f(0)0. 从而 f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为 4. f(4)f(5)f(0)f(1)022. 2(2017山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x) 6 x，则 f(919)_. 答案6 解析f(x4)f(x2)， f(x2)4)f(x2)2
11、)，即 f(x6)f(x)， f(x)是周期为 6 的周期函数， f(919)f(15361)f(1) 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f(1)f(1)6，即 f(919)6. 3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 018)_. 答案339 解析f(x6)f(x)，周期 T6. 当3x1 时，f(x)(x2)2； 当1x3 时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1， f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6
12、)1， f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)12 016 6 336. 又 f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2， f(1)f(2)f(3)f(2 018)339. 思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查， 主要涉及 函数周期性的判断，利用函数周期性求值 题型三题型三函数性质的综合应用函数性质的综合应用 命题点 1求函数值或函数解析式 典例 (1)(2017全国)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3 x2，则 f(2)_. 答案12 解析方法一令 x0，则x0. f(x)2x3x2.
13、 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x)f(x) f(x)2x3x2(x0) f(2)2232212. 方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212. (2)(2016全国改编)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)e x1x，则 f(x)_. 答案 e x1x，x0， ex 1x，x0 解析当 x0 时，x0， f(x)f(x)ex 1x， f(x) e x1x，x0， ex 1x，x0. 命题点 2求参数问题 典例 (1)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_. 答案1 解析f(x)f(x)， xln( ax2x)xln(x ax2)， ln( ax2)
14、2x20. ln a0，a1. (2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 在区间1， 1上， f(x) ax1，1x0， bx2 x1 ，0 x1， 其中 a，bR.若 f 1 2f 3 2 ，则 a3b 的值为_ 答案10 解析因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 所以 f 3 2 f 1 2 且 f(1)f(1)， 故 f 1 2 f 1 2 ， 从而 1 2b2 1 21 1 2a1， 即 3a2b2. 由 f(1)f(1)，得a1b2 2 ， 即 b2a. 由得 a2，b4，从而 a3b10. 命题点 3利用函数的性质解不等式 典例 (1)(2017安阳
15、模拟)已知函数 g(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，g(x)ln(1x)，函 数 f(x) x3，x0， gx，x0， 若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是() A(，1)(2，)B(，2)(1，) C(1,2)D(2,1) 答案D 解析g(x)是奇函数， x0 时，g(x)g(x)ln(1x)， 易知 f(x)在 R 上是增函数， 由 f(2x2)f(x)，可得 2x2x， 即 x2x20，2x1. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实数 a 的取值 范围为() A(1,4)B(2,0) C(1,0)
16、D(1,2) 答案A 解析f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)， f(1)1，f(5)2a3 a1 ， 2a3 a1 1，即a4 a10， 解得1a4，故选 A. 思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化 为已知区间上的问题 (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数在 x0 处有意义，则 f(0)0. 跟踪训练 (1)已知偶函数 f(x)在区间0， )上单调递增， 则满足 f(2x1)f 1 3 的 x 的取值范 围是() A. 1 3， 2 3B. 1
17、3， 2 3 C. 1 2， 2 3D. 1 2， 2 3 答案A 解析因为 f(x)是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称， 又 f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f 1 3 ， 所以|2x1|1 3，所以 1 3x 2 3. (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则() Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 答案D 解析因为 f(x)满足 f(x4)f(x)， 所以 f(x8)f(x)，所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则
18、 f(25)f(1)，f(80)f(0)， f(11)f(3) 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数且满足 f(x4)f(x)， 得 f(11)f(3)f(1)f(1) 因为 f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在 R 上是奇函数， 所以 f(x)在区间2,2上是增函数， 所以 f(1)f(0)f(1) 所以 f(25)f(80)0， 其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为() A1B2C3D4 (3)定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)0，且 f(4x)f(x)现有以下三个命题： 8 是函数 f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线 x2 对称；f(x)是
19、偶函数其中正确命 题的序号是_ 答案(1)B(2)B(3) 解析(1)函数 f(x)的定义域为 R， f(x)3 x 1 3 x 1 3 x3xf(x)， 函数 f(x)是奇函数 函数 y 1 3 x在 R 上是减函数， 函数 y 1 3 x在 R 上是增函数 又y3x在 R 上是增函数， 函数 f(x)3x 1 3 x在 R 上是增函数 故选 B. (2)易知中函数在(0,1)上为增函数；中函数不是奇函数；满足条件的函数为. (3)由 f(x)f(x2)0 可得 f(x4)f(x2)f(x)， 函数 f(x)的周期是 4，对；由 f(4x)f(x)， 可得 f(2x)f(2x)，f(x)的图
20、象关于直线 x2 对称，对；f(4x)f(x)且 f(4x)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对 二、函数性质的综合应用 典例 2(1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x3) 1 fx，当 1x3 时，f(x)cos x 3 ， 则 f(2 017)_. 答案2 解析由已知可得 f(x6)f(x3)3) 1 fx3 1 1 fx f(x)，故函数 f(x)的周期为 6. f(2 017)f(63361)f(1) f(x)为偶函数，f(1)f(1)， 而 f(13) 1 f1， f(1)f(1) 1 f2 1 cos 2 3 2. f(2 017)2. (2)函数
21、 f(x)log2 x2 018a x 在1，)上是增函数，则 a 的取值范围是_ 答案1,2 019) 解析由已知函数 yx2 018a x在1，)上是增函数，且 y0 恒成立 y1a x2，令 y0 得 ax 2(x1)， a1. 又由当 x1 时，y12 018a0，得 a2 019. a 的取值范围是1,2 019) . (3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足 f(2|a 1|) f( 2)，则 a 的取值范围是_ 答案 1 2， 3 2 解析f(2|a 1|)f( 2)f( 2)， 又由已知可得 f(x)在(0，)上单调递减， 2|a
22、 1| 2 1 2 2， |a1|1 2， 1 2a 3 2. 1下列函数为奇函数的是() Ay xBy|sin x| Cycos xDyexe x 答案D 解析函数 y x的定义域为0， )， 所以该函数不具有奇偶性， 排除选项 A， 函数 y|sin x|， ycosx 的图象关于y 轴对称，所以均为偶函数，排除选项 B，C，故选 D. 2设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是() A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案A 解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)
23、ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数， 又 f(x)ln1x 1xln 1 2 1x ，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故 选 A. 3(2017江西南城一中模拟)已知 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)x2x1，则 f(f(1)等于() A1B1C2D2 答案A 解析yf(x)是奇函数，f(1)f(1)1， f(f1)f(1)1. 4已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为 4，且当 x 3 2，0时，f(x) log2(3x1)，则 f(2 021)等于() A4B2C2Dlog27 答案C 解析函数 f
24、(x)是定义在 R 上的奇函数， 其最小正周期为 4， f(2 021)f(45051)f(1) f(1)1 3 2，0，且当 x 3 2，0时， f(x)log2(3x1)， f(1)log23(1)12， f(2 021)f(1)2. 5对于函数 f(x)，若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x)f(2ax)，则 称 f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是() Af(x) xBf(x)x2 Cf(x)tan xDf(x)cos(x1) 答案D 解析由 f(x)f(2ax)，yf(x)关于直线 xa 对称(a0)，题中四个函数中，存在对称轴 的有 B，D，而 B
25、中 f(x)x2的对称轴为 x0，不满足题意，故选 D. 6已知偶函数 f(x)对于任意 xR 都有 f(x1)f(x)，且 f(x)在区间0,1上是单调递增的， 则 f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是() Af(0)f(6.5)f(1) Bf(6.5)f(0)f(1) Cf(1)f(6.5)f(0) Df(1)f(0)f(6.5) 答案A 解析由 f(x1)f(x)，得 f(x2)f(x1)f(x)，函数 f(x)的周期是 2. 函数 f(x)为偶函数， f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1) f(x)在区间0,1上是单调递增的， f(0)f(0.5)f(1)，即
26、f(0)f(6.5)f(1) 7若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_. 答案3 2 解析函数 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，故 f(x)f(x)，即 ln(e 3x1)axln(e3x1) ax，化简得 ln 1e3x e3xe6x2axln e 2ax，即 1e3x e3xe6xe 2ax，整理得 e3x1e2ax3x(e3x1)，所以 2ax3x0， 解得 a3 2. 8已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则 f 5 2 f(1) _. 答案2 解析函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且周期为 2， f(1
27、)f(1)f(12)f(1)， f(1)0， f 5 2 f 1 2 f 1 2 1 2 42， f 5 2 f(1)2. 9设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当 0 x1 时，f(x)2x1，则 f 1 2 f(1)f 3 2 f(2)f 5 2 _. 答案2 解析依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2， f 1 2 f(1)f 3 2 f(2)f 5 2 f 1 2 f(1)f 1 2 f(0)f 1 2 f 1 2 f(1)f 1 2 f(0)f 1 2 f 1 2 f(1)f(0) 1 2 21211201 2. 10若函数
28、 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数如果实数 t 满足 f(ln t)f ln 1 t 2f(1)，那么 t 的取值范围是_ 答案 1 e，e 解析由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 所以 f(ln t)f ln1 t ， 由 f(ln t)f ln1 t 2f(1)， 得 f(ln t)f(1) 又函数 f(x)在区间0，)上是单调递增函数， 所以|ln t|1，即1ln t1，故1 ete. 11已知函数 f(x) x22x，x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数
29、 a 的取值范围 解(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x) 于是 x1， a21， 所以 10，f(x2) 1 fx，对任意 xR 恒成立，则 f(2 019) 等于_ 答案1 解析因为 f(x)0，f(x2) 1 fx， 所以 f(x4)f(x2)2 1 fx2 1 1 fx f(x)， 即函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(2 019)f(50541)f(1) 因为函数 f(x)为偶函数， 所以 f(2 019)f(1)f(1) 当 x1 时，f(12) 1 f1，得 f(1) 1 f1. 由 f(x)0，得 f(1)1
30、，所以 f(2 019)f(1)1. 14 设函数f(x)是定义在R上的偶函数， 且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)， 已知当x0,1 时，f(x)2x，则有 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是_ 答案 解析在 f(x1)f(x1)中，令 x1t， 则有 f(t2)f(t)， 因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确； 当 x0,1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2)上是 减函
31、数，在(2,3)上是增函数，故正确； 由知，f(x)在0,2上的最大值 f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值 f(x)minf(0)f(2)201 且 f(x) 是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错误 15(2017东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x) x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_ 答案7 解析因为当 0 x2 时，f(x)x3x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0， 则 f(6)f(4)f(2)f(0)0. 又 f(1)0
32、， f(3)f(5)f(1)0， 故函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点有 7 个 16函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解(1)对于任意 x1，x2D， 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0. (2)f(x)为偶函数 证明：令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)， f(1)1 2f(1)0. 令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)， f(x)为偶函数 (3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2， 由(2)知，f(x)是偶函数， f(x1)2 等价于 f(|x1|)f(16) 又 f(x)在(0，)上是增函数， 0|x1|16，解之得15x17 且 x1， x 的取值范围是x|15x17 且 x1
